三角搭臺 導數唱戲：探究與三角函數交匯的函數導數問題

摘要：以三角函數為載體的函數導數問題，在近年高考試題中頻頻出現.文章以幾道2023年高考試題為例，探究該類問題的一般求解策略.

關鍵詞：三角；導數；求解策略

2023年高考新高考全國卷Ⅱ第22題，全國甲卷理第21題、文第20題均考查以三角函數為載體的導數問題.該類問題由于對三角函數無論進行幾次求導，仍含有三角函數，成為解題中的難點.下面筆者以2023年高考試題為引例，探究該類問題解題策略，以期拋磚引玉.

1 引例

（2023年高考數學全國甲卷·文20）已知函數f（x）=ax－sin xcos 2x，x∈0，π2.

（1）當a=1時，討論f（x）的單調性；

（2）若f（x）+sin x<0，求a的取值范圍.

解法賞析：（1）因為a=1，所以函數f（x）=x－sin xcos 2x，x∈0，π2，于是求導可以得到

f′（x）=1－cos x＼5cos 2x－2cos x＼5（－sin x）＼5sin xcos 4x=1－cos 2x+2sin 2xcos 3x

=cos 3x－cos 2x－2（1－cos 2x）cos 3x=cos 3x+cos 2x－2cos 3x.

令t=cos x，由于x∈0，π2，則有t=cos x∈（0，1），所以cos 3x+cos 2x－2=t3+t2－2=t3－t2+2t2－2=t2（t－1）+2（t+1）（t－1）=（t2+2t+2）＼5（t－1）.因為t2+2t+2=（t+1）2+1>0，t－1<0，cos 3x=t3>0，

所以f′（x）=cos 3x+cos 2x－2cos 3x<0在0，π2上恒成立，故f（x）在0，π2上單調遞減.

評析：代入a=1后，再對f（x）求導，同時利用三角函數的平方關系化簡f′（x），再利用換元法判斷其分子與分母的正負情況，從而得解.

（2）法一：令g（x）=f（x）+sin x=ax－sin xcos 2x+sin x0<x<π2，則

g′（x）=a－1+sin 2xcos 3x+cos x0<x<π2.

若g（x）=f（x）+sin x<0，且g（0）=f（0）+sin 0=0，

結合g′（x）的單調性，則g′（0）=a－1+1=a≤0，解得a≤0.

當a=0時，因為sin x－sin xcos 2x=sin x1－1cos 2x，

又x∈0，π2，則0<sin x<1，1cos 2x>1，

所以f（x）+sin x=sin x－sin xcos 2x<0，滿足題意；

當a<0時，由于0<x<π2，顯然ax<0，

所以f（x）+sin x=ax－sin xcos 2x+sin x<sin x－sin xcos 2x<0，滿足題意.

綜上，若f（x）+sin x<0，等價于a≤0.

所以a的取值范圍為（－∞，0］.

評析：構造函數g（x）=f（x）+sin x，可以得到g（x）<0，注意到g（0）=0，結合g′（x）的單調性得到g′（0）≤0，進而得到a≤0，再分類討論a=0與a<0的情況即可得解.

法二：易得sin x－sin xcos 2x=sin xcos 2x－sin xcos 2x=sin x（cos 2x－1）cos 2x=－sin 3xcos 2x.

因為x∈0，π2，所以0<sin x<1，0<cos x<1.故sin x－sin xcos 2x<0在0，π2恒成立.

（ⅰ）當a=0時，f（x）+sin x=sin x－sin xcos 2x<0，滿足題意.

（ⅱ）當a<0時，由于0<x<π2，顯然ax<0，

所以f（x）+sin x=ax－sin xcos 2x+sin x<sin x－sin xcos 2x<0，滿足題意.

（ⅲ）當a>0時，f（x）+sin x=ax－sin xcos 2x+sin x=ax－sin 3xcos 2x.

令g（x）=ax－sin 3xcos 2x0<x<π2，則g′（x）=a－3sin 2xcos 2x+2sin 4xcos 3x.

注意到g′（0）=a－3sin 20cos 20+2sin 40cos 30=a>0.

若x∈0，π2，g′（x）>0，則g（x）在0，π2上單調遞增.

注意到g（0）=0，所以g（x）>g（0）=0，即f（x）+sin x>0，不滿足題意.

若x0∈0，π2，g′（x0）<0，則g′（0）g′（x0）<0，

所以在0，π2上最靠近x=0處必存在零點x1∈0，π2，使得g′（x1）=0，

此時在（0，x1）上有g′（x）>0，所以g（x）單調遞增，

則在（0，x1）上有g（x）>g（0）=0，即f（x）+sin x>0，不滿足題意.

綜上，可知a≤0.

評析：先化簡并判斷得sin x－sin xcos 2x<0恒成立，再分類討論a=0，a<0與a>0三種情況，利用零點存在定理與隱零點知識判斷得a>0時不滿足題意.

2 高考鏈接

題1（2019年高考全國Ⅰ卷·理20）已知函數f（x）=sin x－ln（1+x），f′（x）為f（x）的導數.證明：

（1）f′（x）在區間－1，π2存在唯一極大值點；

（2）f（x）有且僅有2個零點.

題2（2023年高考數學新課標Ⅱ卷·22）

（1）證明：當0<x<1時，x－x2<sin x<x；

（2）已知函數f（x）=cos ax－ln（1－x2），若x=0是f（x）的極大值點，求a的取值范圍.

3 方法歸納

根據三角函數的特點，破解這類函數與導數交匯問題，除了使用求解導數問題的常規方法外，還可充分結合三角函數的性質，在解法上呈現特別的“三角味”，常見的有以下方法：

（1）三角函數在各個象限符號的變化及周期性，研究三角函數的零點問題，常用逐個區間分析法.

（2）根據三角函數的有界性，常利用|sin x|≤1及|cos x|≤1這兩個結論進行放縮.

（3）利用當x∈0，π2時，sin x＜x進行放縮變形，實現“超越式”到“非超越式”的轉化.

（4）對一個較復雜的三角函數式，先觀察式中幾部分之間的聯系，利用換元可使得式子簡化，同時實現了“超越式”到“非超越式”的轉化，換元時須注意新變量的取值范圍.

4 變式訓練

變式1已知函數f（x）=ex－2x－cos x.

①當x∈（－∞，0）時，求證：f（x）＞0；

②若函數g（x）=f（x）+ln（x+1），求證：函數g（x）存在極小值.

方法提示：第（1）問即利用sin x≤1判斷出f′（x）＜0，第（2）問先構造函數h（x）=g′（x），由逐個區間分析法易得當x∈0，π2時，h′（x）＞0，從而h（x）=g′（x）＞g′（0）=0，進而研究h′（x）在x∈（－1，0）時的符號.顯然h′（0）=1，直觀感知當x→－1時，h′（x）＜0，但如何取函數h′（x）在（－1，0）上的零點是一個難點.這里仍需關注三角函數的有界性，取一個接近－1的數，如取－910，可得h′－910＜0.

變式2已知函數f（x）=ax－sin x（a∈R）.當0＜x＜π2時，f（x）＜x36恒成立，求a的取值范圍.

方法提示：利用當x∈0，π2時，sin x＜x，從而有sin 2x2＜x22.