重心巧創新，向量妙“包裝”

摘要：三角形的重心作為平面幾何中的一個基本知識點，具有良好的幾何性質與創設場景，往往在解三角形、平面向量、解析幾何等相關問題中具有非常重要的價值.結合一道拋物線模擬題，就三角形重心背景下的解析幾何問題加以剖析，多思維視角切入，多技巧方法破解，總結解題技巧規律，啟示教學應用與解題研究.

關鍵詞：拋物線；向量；重心；坐標；面積

三角形中的“心”（重心、內心、外心、垂心、旁心）問題，是初中平面幾何的一個重點與難點.而借助三角形中“心”的巧妙創設，合理融合初中與高中數學知識，形成二者之間的無縫結合，是一類非常不錯的創新應用問題.

而對于三角形的重心，因其良好的幾何性質、結構形式、向量形式、坐標形式等眾多的識別特征，同時兼備“數”與“形”的雙重特征，可以合理交匯起平面幾何、解三角形、平面向量、三角函數以及解析幾何等相關知識，情境創新，應用性強，是新高考數學命題中一類熱點與創新問題，倍受各方關注.

1 問題呈現

問題〔2023屆重慶市巴蜀中學高三（上）數學適應性試卷（四）〕設拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，過拋物線上一點P作l的垂線，垂足為Q.若M（3，0），N（－1，0），PF與MQ相交于點T，且TN+TP=MT，則△TMF的面積為.

此題以拋物線為問題場景進行創設，結合點的坐標、直線的交點、平面向量的線性關系式等要素，巧妙將三角形的重心這一平面幾何的元素，借助平面向量的線性關系這一表述加以合理創新“包裝”，正確轉化與識別，巧妙挖掘與回歸，問題的轉化也就水到渠成了.

這里選用了解析幾何中的拋物線作為載體，利用平面向量的線性關系與線性形式來表示三角形的重心，破解的關鍵在于正確剖析題設條件，做出正確的轉化，借助三角形的重心的基本性質及相關應用，無論是平面幾何中的相似比或性質法，還是解析幾何中的坐標法等，都可以快速、準確地求出結果.

2 問題破解

2.1 平面幾何思維

方法1：三角形相似轉化法.

解析：由TN+TP=MT，可得TM+TN=－TP.

又因為易知F（1，0）為線段MN的中點，則TM+TN=2TF，所以2TF=－TP.

所以T為PF的三等分點，且|TP|=2|TF|，如圖1所示.

又因為PQ∥MF，所以易證△TMF∽△TQP，則可得|MF||QP|=|TF||TP|=12，可得|QP|=2|MF|=4.

不失一般性，設P（x0，y0），且在第一象限.

由拋物線的定義，得|QP|=x0+1=4，則x0=3.

又因為點P（3，y0）在拋物線上，代入拋物線方程y2=4x，可得y0=23，所以P（3，23）.

根據三角形的相似關系，可得yT=13y0=233，所以S△TMF=12×|MF|×yT=233.故填答案：233.

方法2：平行四邊形轉化法.

解析：如圖2所示，設MT=TR，連接PR，NR，

根據TN+TP=MT，可得TN+TP=TR，所以可知四邊形TNRP為平行四邊形.

所以RN∥PT，|RN|=|PT|.

而F（1，0）為MN的中點，結合三角形的中位線定理可得|RN|=2|TF|，

則知T是線段PF的三等分點.

又因為PQ∥MF，所以△TMF∽△TQP，則|MF||QP|=|TF||TP|=12，可得|QP|=2|MF|=4.

不失一般性，設P（x0，y0），且在第一象限.

由拋物線的定義，得|QP|=x0+1=4，則x0=3.

又因為點P（3，y0）在拋物線上，代入拋物線方程y2=4x，可得y0=23，所以P（3，23）.

根據三角形的相似關系，可得yT=13y0=233，所以S△TMF=12×|MF|×yT=233.故填答案：233.

方法3：重心性質轉化法.

解析：由TN+TP=MT，可得TN+TP+TM=0，則知點T是△PMN的重心.

又因為PQ∥MF，則有|MF||QP|=|TF||TP|=12，所以|QP|=2|MF|=4.

不失一般性，設P（x0，y0），且在第一象限.

由拋物線的定義，得QP=x0+1=4，則x0=3.

又因為點P（3，y0）在拋物線上，代入拋物線方程y2=4x，可得y0=23，所以P（3，23）.

根據三角形的相似關系，可得yT=13y0=233，所以S△TMF=12×|MF|×yT=233.故填答案：233.

解后反思：根據題設條件，借助平面幾何思維，通過兩個三角形相似、平行四邊形的構建或三角形重心的確定等方式，結合相似比或基本性質，構建線段之間的倍數關系，進一步綜合拋物線的定義與幾何性質來確定對應點的坐標，結合三角形的面積公式來分析與求解.利用平面幾何思維解決解析幾何問題，其關鍵是數形結合，借助平面幾何的基本性質來直觀分析與巧妙轉化.

2.2 解析幾何思維

方法4：重心坐標法.

解析：由TN+TP=MT，可得TN+TP+TM=0，則知點T是△PMN的重心.

設點P（t2，2t），結合M（3，0），N（－1，0），利用三角形的重心坐標公式可得Tt2+23，2t3，如方法1中的圖1所示.

而Q（－1，2t），結合kMQ=kMT，可得2t－0－1－3=2t3－0t2+23－3，整理有t2=3，則|t|=3.

所以S△TMF=16S△PMN=16×12×|MN|×|2t|=233.故填答案：233.

解后反思：根據題設條件，通過平面向量的線性運算與轉化，進行三角形重心的確定，結合三角形重心的幾何性質與坐標公式來確定對應的重心坐標，利用三點共線時對應的直線斜率相等，結合直線的斜率公式、三角形的面積公式來分析與求解.利用解析幾何思維來處理解析幾何問題，回歸本質與內涵，關鍵是合理設點或設線，并結合公式對參數進行轉化與求值.

3 變式拓展

探究1：回歸問題的實質，將平面向量的線性關系式的“包裝”直接換成三角形的重心這一條件，得到以下更加直接的變式問題.

變式1設拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，過拋物線上一點P作l的垂線，垂足為Q.若M（3，0），N（－1，0），PF與MQ相交于點T，且點T恰好是△PMN的重心，則△TMF的面積為.

答案：233.

變式2設拋物線y2=4x的焦點為F，準線為l，過拋物線上一點P作l的垂線，垂足為Q.若M（3，0），N（－1，0），PF與MQ相交于點T，且TN+TP=MT，則點T的縱坐標為.

答案：±233.

以上兩個變式問題的具體解析過程，可以參照以上原問題的解析來展開，這里不多加敘述.

4 教學啟示

4.1 掌握重心特征，尋覓切入視角

涉及三角形的重心的幾何特征與基本性質主要包括以下幾類：（1）長度比值的角度，表現為1∶2（或2∶1等）的比例關系；（2）坐標參數的角度，表示為坐標形式xA+xB+xC3，yA+yB+yC3；（3）平面向量的線性關系的角度，表示為GA+GB+GC=0（其中G為△ABC的重心）等.

借助以上三角形重心的幾何特征加以挖掘，在此基礎上尋覓合適的視角切入，結合平面幾何、解析幾何、解三角形等相關知識加以分析與處理，都會有不錯的收獲.

4.2 創新思維方法，提升關鍵能力

在實際分析與解決相關的數學問題時，關鍵在于合理挖掘題設條件，開闊并發散數學思維，從而形成多思維、多視角、多方法的解題與應用，一題多解，創新數學思維與技巧方法.

通過數學思維方法的創新與應用，結合“一題多解”，開闊解題思路，發散數學思維，使得我們學會多角度分析和解決問題.在此基礎上，全面實現數學基礎知識、數學思想方法的綜合與應用，融合初中與高中相關數學之間的聯系與應用，提升關鍵能力，培養數學核心素養.