挖掘問題本質，實現“一題多解”

三角最值問題一直是高考數學試卷中的常見熱點題型之一，可以合理并巧妙融合三角函數的基本概念與基本公式、函數與方程、不等式等相關知識，實現不同知識模塊間的交匯，這也為此類三角最值問題的解決提供了方式各異的數學思維視角與切入點，是充分展示知識交匯、體現方法多樣性的一大重要場所.

1 問題呈現

問題（2023年北京大學優秀中學生寒假學堂數學測試）設x，y∈0，π2，則1cos2x+1sin2xsin2ycos2y的最小值為（）.

A.8

B.9

C.10

D.其他三個選項均不對

本題以雙變量所對應的三角函數關系式的構建，交匯與融合

了三角函數、函數、不等式等相關知識.

破解此類多變元（特別是雙變元）代數式的最值問題，往往從不等式、函數與方程等視角切入，結合不同的數學思維與技巧策略加以分析與應用，呈現精彩紛呈、靈活多變的技巧方法.

2 問題破解

2.1 思維視角一：不等式思維

方法1：基本不等式法.

解析：由三角變換及基本不等式，可得

1cos2x+1sin2xsin2ycos2y=1cos2x+4sin2xsin22y≥1cos2x+4sin2x=sin2x+cos2xcos2x+4sin2x+4cos2xsin2x=sin2xcos2x+4cos2xsin2x+5≥2sin2xcos2x×4cos2xsin2x+5=9，

當且僅當sin22y=1，且sin2xcos2x=4cos2xsin2x，即y=π4，tan x=2時，等號成立.

所以1cos2x+1sin2xsin2ycos2y的最小值為9.選：B.

解后反思：根據三角關系式進行二倍角的恒等變形，借助三角函數的基本性質加以合理放縮達到消參的目的，利用常數1=sin2x+cos2x進行代換處理，進而結合三角關系式的恒等變形，利用基本不等式來確定相應的最值問題.借助關系式的結構特征，合理配湊基本不等式成立的條件，為進一步利用基本不等式確定最值提供條件.

這里利用三角恒等變換中的二倍角公式以及三角函數的基本性質來進行消參與放縮法，得到1cos2x+1sin2xsin2ycos2y=1cos2x+4sin2xsin22y≥1cos2x+4sin2x，其實還可以利用以下其他方法來進行合理放縮與消元處理，都可以達到相應的目的.

（1）基本不等式法：1cos2x+1sin2xsin2ycos2y≥1cos2x+1sin2x×sin2y+cos2y22=1cos2x+4sin2x，當且僅當sin y=cos y，即y=π4時，等號成立.

（2）權方和不等式法：1cos2x+1sin2xsin2ycos2y=1cos2x+1sin2x1sin2y+1cos2y≥1cos2x+1sin2x×（1+1）2sin2y+cos2y=1cos2x+4sin2x，當且僅當sin y=cos y，即y=π4時，等號成立.

方法2：柯西不等式法.

解析：由三角變換及柯西不等式，可得

1cos2x+1sin2xsin2ycos2y=1cos2x+4sin2xsin22y≥1cos2x+4sin2x=1cos2x+4sin2x（cos2x+sin2x）≥1cos x×cos x+2sin x×sin x2=9，

當且僅當sin22y=1，且1cos x×sin x=2sin x×cos x，即y=π4，tan x=2時，等號成立.

所以1cos2x+1sin2xsin2ycos2y的最小值為9.

解后反思：根據題設在放縮消參后，利用常數1=sin2x+cos2x進行“乘1”處理，利用柯西不等式來確定相應的最值問題.在關系式的恒等變形與合理配湊時，要注意柯西不等式中等號成立的條件，同時要注意變量之間的對應，目的就是同時滿足等號成立的條件以及合理確定最值.

方法3：權方和不等式法.

解析：由三角變換及權方和不等式，可得

1cos2x+1sin2xsin2ycos2y=1cos2x+4sin2xsin22y≥1cos2x+4sin2x≥（1+2）2cos2x+sin2x=9，

當且僅當sin22y=1，且1cos2x=2sin2x，即y=π4，tan x=2時，等號成立.

所以1cos2x+1sin2xsin2ycos2y的最小值為9.

解后反思：根據題設在放縮消參后，利用分式關系式的結構特征吻合權方和不等式的條件，進而借助權方和不等式進行合理放縮處理，得以確定相應的最值問題.倒數和式的關系式結構特征，同時滿足常數1=sin2x+cos2x這一基本公式，借助權方和不等式可以達到非常好的消參與確定最值的目的.

2.2 思維視角二：函數與方程思維

方法4：判別式法.

解析：由于1cos2x+1sin2xsin2ycos2y=1cos2x+4sin2xsin22y≥1cos2x+4sin2x，因此

令t=1cos2x+4sin2x>1，則t=11－sin2x+4sin2x（t＞1），整理可得tsin4x－（t+3）sin2x+4=0.

依題知，以上關于sin2x的二次方程有實根，

利用判別式可得Δ=（t+3）2－16t≥0，整理有t2－10t+9≥0，解得t≥9，或t≤1（舍去）.

所以1cos2x+1sin2xsin2ycos2y的最小值為9，當且僅當sin22y=1，且sin2x=23，即y=π4，sin x=63時，等號成立.

解后反思：根據題設在放縮消參后，合理進行整體換元處理，結合“1=sin2x+cos2x”這一基本關系式進行消元，轉化為相關的二次方程問題，借助判別式法巧妙構建對應的不等式，利用不等式的求解來確定相應的最值問題.合理聯系起三角關系式，巧妙放縮，結合換元處理以及方程的構建，利用判別式法轉化為對應的不等式問題，實現問題的轉化與應用.

方法5：導數法.

解析：由于1cos2x+1sin2xsin2ycos2y=1cos2x+4sin2xsin22y≥1cos2x+4sin2x，因此可令t=sin2x∈（0，1），構建函數f（t）=11－t+4t，t∈（0，1）.

求導，得f′（t）=1（1－t）2－4t2.

由f′（t）=0，可得t=23，或t=2（舍去）.

當t∈0，23時，f′（t）<0，函數f（t）單調遞減；當t∈23，1時，f′（t）>0，函數f（t）單調遞增.

所以可得f（t）min=f23=9，即1cos2x+1sin2xsin2ycos2y的最小值為9，當且僅當sin22y=1，且t=sin2x=23，即y=π4，sin x=63時，等號成立.

解后反思：根據題設在放縮消參后，合理整體換元，結合“1=sin2x+cos2x”這一基本關系式進行消元處理，將問題轉化為相關的函數問題，結合函數的構建，通過導函數零點的確定以及函數單調性的判斷，得以確定函數的最值問題.函數的構建為進一步利用導數法來處理問題提供基礎，也是解決此類問題中比較常用的一種技巧與方法，思路常規，數學運算量大.

3 變式拓展

變式1設x，y∈0，π2，則1cos2x+4sin2x的最小值為.

變式2設正數x，y滿足x+y=1，則1x+4y的最小值為.

注：變式1與變式2的答案均為9.

4 教學啟示

借助三角函數、函數的最值等多知識模塊之間的交匯與融合問題，多思維視角切入，多技巧方法破解，并加以深入分析、探究、拓展與應用，充分挖掘這一典型問題，達到“一題多思”“一題多解”的目的，在此基礎上加以不斷提升，實現“一題多變”“一題多拓”，充分復習、鞏固、總結數學相關知識和數學思想方法，為學生形成良好的思維方法、優良的數學品質以及數學核心素養做了有益的嘗試.