棱臺場景創設，線面角求解

摘要：立體幾何中的空間角是歷年高考試卷中的常客之一，備受高考命題者所垂青，成為新高考數學試卷中的一個基本考點.結合一道高考真題，以棱臺場景創設，通過立體幾何中的線面角的設置與求解，從不同數學思維角度切入，結合不同的數學方法來破解，總結規律，有效指導數學學習與教學.

關鍵詞：正三棱臺；體積；線面角；正切

立體幾何中的空間角（異面直線所成的角、線面角、二面角等），可以比較集中且有效地考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力以及數學運算能力與核心素養等，是歷年高考試卷中的常客，備受高考命題者垂青.特別在新課標、新教材、新高考的“三新”背景下，基于臺體的綜合應用問題，當然也包括空間角問題，更是其中考查的一個重要場景.由于背景創新新穎，設問角度豐富多彩，因此給問題的切入與求解創設了更加豐富的空間.本文中就2024年高考數學新高考Ⅱ卷第7題的解法進行探究.

1 真題呈現

高考真題已知正三棱臺ABC-A1B1C1的體積為523，AB=6，A1B1=2，則A1A與平面ABC所成角的正切值為（）.

A.12

B.1

C.2

D.3

此題以正三棱臺為問題背景，結合正三棱臺的上、下底面的邊長及其體積這些相關數據信息的給出，求解相應的側棱與底面所對應的線面角的正切值問題.

依托正三棱臺的立體幾何背景，合理通過空間幾何體的結構特征與幾何性質的應用，巧妙轉化，空間想象，借助直接法思維、補形法思維、轉化法思維等，進而結合線面角的定義來分析與求解，實現問題的求解與突破.

2 真題破解

解法1：直接法.

如圖1所示，分別取BC，B1C1的中點D，D1，則AD=33，A1D1=3，

S△ABC=12×6×33=93，S△A1B1C1=12×2×3=3.

設正三棱臺ABC—A1B1C1的高為h，則其體積為VABC－A1B1C1=13（93+3+93×3）h=523，解得h=433.

分別過A1，D1作底面ABC的垂線，垂足分別為M，N.設AM=x，則

AA1=AM2+A1M2=x2+163，

DN=AD－AM－MN=23－x.

易得DD1=DN2+D1N2=（23－x）2+163.

結合等腰梯形BCC1B1，可得BB21=6－222+DD21，即x2+163=4+（23－x）2+163，解得x=433.

所以A1A與平面ABC所成角的正切值為tan ∠A1AD=A1MAM=1.故選：B.

點評：借助直接法思維，通過正三棱臺的體積公式來求解其高，結合空間幾何體的結構特征，并根據線面角的定義來分析與求解.直接法思維的根本就是依托臺體的結構特征，合理構建對應的輔助線，結合平面圖形的基本性質與立體圖形的基本性質等，利用相關數據信息來計算并求解對應元素的數值，為進一步分析與求解創造條件.

解法2：補形法.

依題，如圖2所示，將正三棱臺ABC-A1B1C1補成正三棱錐P-ABC，則A1A與平面ABC所成角即為PA與平面ABC所成角.

因為PA1PA=A1B1AB=13，則VP-A1B1C1VP-ABC=127，VABC-A1B1C1=2627VP-ABC=523，所以VP-ABC=18.

設正三棱錐P-ABC的高為d，則VP-ABC=13d×12×6×6×32=18，解得d=23.

取底面ABC的中心為O，則PO⊥底面ABC，且AO=23.

余略.

點評：借助補形法思維，將對應的三棱臺問題轉化為三棱錐問題，使得問題更加熟知，操作起來更加方便.通過邊長的比與體積比例關系的轉化，利用補形后正三棱錐的高來求解.補形法思維的根本就是回歸空間幾何體的本質，利用逆向思維來分析與處理一些臺體與錐體之間的結構特征與幾何性質問題.

解法3：轉化法.

設正三棱臺ABC-A1B1C1的高為h，三條側棱延長后交點一點O，如圖3所示.

由AB=3A1B1，可得O到上底面A1B1C1的距離為12h，O到下底面ABC的距離為32h.

所以A1A與平面ABC所成角即為OA1與平面A1B1C1所成角∠OA1O1，其中O1為正三角形A1B1C1的中心.

余略.

點評：借助轉化法思維，將對應的三棱臺問題轉化為一個與之相關的三棱錐問題，實際與補形法思維基本類似，從而實現問題的轉化與應用.轉化法思維的根本就是利用空間幾何體的結構特征與幾何性質，合理進行邊、角等信息的化與應用，給問題的分析與求解創造更加簡單的應用，使得問題的分析與求解更加簡捷易操作.

3 變式拓展

依托棱臺的場景創設，結合對應數據信息的給出，保留原高考真題的問題背景，將空間幾何體中的線面夾角問題變化為求解相應的二面角的角問題，得到如下對應的變式問題.

變式已知正三棱臺ABC-A1B1C1的體積為523，AB=6，A1B1=2，則正三棱臺的側面與平面ABC所成角的正切值為.

解析：以上部分同原高考真題中的方法1，解得h=433，x=433，則知DN=23－x=233.

結合正三棱臺的結構特征，可知正三棱臺的側面B1BCC1與平面ABC所成角的二面角的平面角即為∠D1DN，則tan ∠D1DN=D1NDN=h233=433233=2.

故填答案：2.

除了以上同原高考真題中的直接法，還可以借助補形法或轉化法等其他思維方法來解決該變式問題，這里不多加以展開.

4 教學啟示

4.1 方法指導

在立體幾何中的空間幾何體知識中，柱體、錐體、臺體之間的關系是辯證統一的，特別是臺體必須是由相應的錐體截得的.回歸問題本質，因此臺體的側棱（或母線）延長之后交于一點，在解題時“臺體還原為錐體”的補形法思維，是解決臺體及其應用問題的常用方法之一.

同時，對于柱體、錐體、臺體的側面積、表面積和體積公式的計算與綜合應用問題，要求準確記憶這些相應計算公式并加以靈活應用.特別，在教學與學習過程中，要注意體會這幾類空間幾何體所對應的計算公式之間的相互轉化，以及與之對應的基本數學思想，并理解公式間的聯系，加以合理綜合與應用.

4.2 教學建議

在課堂教學與復習備考過程中，重視數學基礎知識和“通性通法”的理解與掌握，重基礎，重根本.以上涉及臺體（棱臺或圓臺）的體積計算與應用問題，特別是涉及臺體的體積計算公式，已經連續四年在新高考試卷中得以體現.例如：2021年高考數學新高考Ⅱ卷第5題基于正四棱臺背景下的體積問題；2022年高考數學新高考Ⅰ卷第4題基于南水北調工程背景下的棱臺的體積問題，新高考Ⅱ卷第7題基于正三棱臺背景下的外接球的表面積問題；2023年高考數學新高考Ⅰ卷第14題基于正四棱臺背景下的體積問題，新高考Ⅱ卷第14題基于正四棱臺背景下的體積問題；2024年高考數學新高考Ⅱ卷第7題基于正三棱臺背景下的線面角問題.這些都以看似“冷門”知識點來連續考查.

正是基于以上高考命題的信息，從涉及臺體（棱臺或圓臺）的體積計算與應用問題這個點入手，可以由此及彼，推廣到其他數學基礎知識點，其實質正是通過對數學基礎知識連續多次的深化考查，引導教學培養學生全面掌握數學主干知識、提升數學基本能力，靈活地整合知識解決問題.