存在性判定，思維性應(yīng)用

摘要：圓錐曲線中的存在探究性問題是一類全面考查數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)能力的綜合應(yīng)用問題，通常是高考中的一大熱點(diǎn)與難點(diǎn).結(jié)合一道橢圓解答題中存在性探究實(shí)例，以創(chuàng)新場景創(chuàng)設(shè)，就點(diǎn)的存在性問題加以合理判定與思維性應(yīng)用，歸納解題技巧方法與策略規(guī)律，指導(dǎo)解題研究與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：橢圓；動點(diǎn)；切線；等差數(shù)列；存在

探究性問題通常是高考中備受命題者青睞的一種題型.而圓錐曲線中的探究性問題，更是該模塊命題的常見題型之一，以點(diǎn)的存在性、直線的存在性以及參數(shù)的存在性等方式來創(chuàng)新設(shè)置，通過存在性場景下條件的成立與判斷來全面考查并落實(shí)數(shù)學(xué)“四基”，數(shù)學(xué)知識范圍廣，解題技巧靈活性大，數(shù)學(xué)思維性與應(yīng)用性強(qiáng).本文中結(jié)合一道橢圓解答題的探究，就點(diǎn)的存在性問題加以分析.

1 問題呈現(xiàn)

問題已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），右頂點(diǎn)為A，直線l：x=4與x軸交于點(diǎn)M，且|AM|=a|AF|.

（1）求C的方程.

（2）B為l上的動點(diǎn)，過B作C的兩條切線，分別交y軸于點(diǎn)P，Q.

（ⅰ）證明：直線BP，BF，BQ的斜率成等差數(shù)列.

（ⅱ）⊙N經(jīng)過B，P，Q三點(diǎn)，是否存在點(diǎn)B，使得∠PNQ=90°？若存在，求|BM|；若不存在，請說明理由.

此題以橢圓為問題場景，第（1）問利用橢圓的一些基本點(diǎn)以及對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，得以求解橢圓的方程，比較簡單，給大部分考生得分的機(jī)會；第（2）問的第②小問通過“動點(diǎn)”的引入，利用動點(diǎn)向橢圓引兩條切線，先證明對應(yīng)三條直線的斜率成等差數(shù)列，難度中等，給50%左右的考生得分的機(jī)會；接下來通過存在性問題的設(shè)置來探究，難度有所提升，給一些能力較好的考生以提升與區(qū)分的機(jī)會.

三個問題的層次設(shè)置合理巧妙，層層遞進(jìn)，具有較高的區(qū)分度，充分體現(xiàn)了選拔性，是一道非常優(yōu)秀的高考模擬題.

2 問題破解

2.1 第（1）問的解析

由F（1，0）為右焦點(diǎn)，得c=1，則a＞1.

因?yàn)閨AM|=a|AF|，所以|4－a|=a（a－1）.

若a≥4，則a－4=a（a－1），得a2－2a+4=0，無解；

若a<4，則4－a=a（a－1），得a2=4.

所以b2=3.因此C的方程為x24+y23=1.

2.2 第（2）問的解析

設(shè)B（4，t），易知過B且與C相切的直線斜率存在，設(shè)l方程為y－t=k（x－4）.

聯(lián)立y－t=k（x－4），x24+y23=1，消去y，得

（3+4k2）x2+8k（t－4k）x+4（t－4k）2－12=0.

由Δ=64k2（t－4k）2－4（3+4k2）[4（t－4k）2－12]=0，得12k2－8tk+t2－3=0.

設(shè)兩條切線BP，BQ的斜率分別為k1，k2，則

k1+k2=8t12=2t3，k1k2=t2－312.

（ⅰ）設(shè)BF的斜率為k3，則

k3=t4－1=t3=12（k1+k2）.

所以k1+k2=2k3，即直線BP，BF，BQ的斜率成等差數(shù)列.

（ⅱ）方法1（數(shù)量積法1）：在y－t=k1（x－4）中，令x=0，得yP=t－4k1，所以P（0，t－4k1）.同理，得Q（0，t－4k2）.所以PQ的中垂線為y=t－2（k1+k2）.

易得BP中點(diǎn)為（2，t－2k1），所以BP的中垂線為y=－1k1（x－2）+t－2k1.

聯(lián)立y=t－2（k1+k2），y=－1k1（x－2）+t－2k1，解得點(diǎn)N的坐標(biāo)為

（2k1k2+2，t－2（k1+k2））.

所以NP=（－2k1k2－2，2k2－2k1），NQ=（－2k1k2－2，2k1－2k2）.

如圖1，要使NP·NQ=0，即4（k1k2+1）2－4（k1－k2）2=0，整理得|k1k2+1|=|k1－k2|.

而|k1－k2|=（k1+k2）2－4k1k2=2t32－4×t2－312=t2+93.

所以t2－312+1=t2+93，解得t2=7，t=±7，因此|BM|=7.

故存在符合題意的點(diǎn)B，使得NP·NQ=0，此時|BM|=7.

方法2（數(shù)量積法2）：同方法1解得xN=2k1k2+2.

如圖1所示，要使NP·NQ=0，則∠PNQ=90°，所以|xN|=|PQ|2，即|k1k2+1|=|k1－k2|.

下同方法1，略.

方法3（夾角公式法）：要使∠PNQ=90°，即∠PBQ=45°或135°，如圖2.則|tan ∠PBQ|=1，又tan ∠PBQ=k1－k21+k1k2，所以|k1－k2||1+k1k2|=1.

余略.

方法4（數(shù)量積公式法）：要使∠PNQ=90°，即∠PBQ=45°或135°，如圖2所示，則有|cos ∠PBQ|=|BP＼5BQ||BP||BQ|=22.

在y－t=k1（x－4）中，令x=0，得yP=t－4k1，所以P（0，t－4k1）.同理得Q（0，t－4k2）.

因此BP=（－4，－4k1），BQ=（－4，－4k2）.

所以BP＼5BQ|BP||BQ|=16+16k1k241+k21×41+k22=22.

故2（1+k1k2）=1+k21k22+k21+k22，即2+2k21k22+4k1k2=1+k21k22+k21+k22，整理得

k21k22+6k1k2+1=（k1+k2）2.

所以t2－3122+6×t2－312+1=2t32，整理得t4+2t2－63=0，解得t2=7或－9（舍去）.因此t=±7，|BM|=7.

故存在符合題意的點(diǎn)B，使得NP·NQ=0，此時|BM|=7.

方法5（等面積法）：要使∠PNQ=90°，即∠PBQ=45°或135°，如圖2所示.

同方法1，得P（0，t－4k1），Q（0，t－4k2）.

由等面積法，得12|PQ||xB|=S△PBQ=12|BP|×|BQ|×22，即12|4k1－4k2|×4=12×41+k21×41+k22×22，整理得（k1+k2）2=k21k22+6k1k2+1.

所以2t32=t2－3122+6×t2－312+1，整理得t4+2t2－63=0，解得t2=7或－9（舍去）.因此t=±7，|BM|=7.

故存在符合題意的點(diǎn)B，使得NP·NQ=0，此時|BM|=7.

點(diǎn)評：在解決圓錐曲線中的存在性探究問題時，常用的技巧方法就是轉(zhuǎn)化為直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，在此基礎(chǔ)上，利用存在性的類型與內(nèi)容，選用不同的方式與方法來分析與處理.該問題中，對于點(diǎn)的存在性探究，在方法1與方法2中，通過∠PNQ=90°，轉(zhuǎn)化為數(shù)量積NP·NQ=0，通過點(diǎn)的坐標(biāo)以及數(shù)量積的坐標(biāo)公式來應(yīng)用；在方法3與方法4中，利用圓心角∠PNQ=90°進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為圓周角問題，進(jìn)而分別利用斜率的夾角公式以及數(shù)量積的夾角公式來求解；在方法5中，在轉(zhuǎn)化為圓周角的基礎(chǔ)上，利用等面積法，通過面積公式加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用也是一種非常不錯的選擇.技巧方法多樣，殊途同歸.

3 教學(xué)啟示

涉及圓錐曲線中的存在性探究類問題，往往是基于點(diǎn)的存在、直線的存在或參數(shù)的存在等形式，結(jié)合條件進(jìn)行合理邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算，根據(jù)推理結(jié)果或運(yùn)算結(jié)果以及問題場景得到一個合情合理的結(jié)論，進(jìn)而對存在性問題作出相應(yīng)的回答與判斷，形成一個基本的解題思維.

其實(shí)，涉及圓錐曲線中的存在性探究類問題，無論創(chuàng)設(shè)場景與存在性條件如何變化，常見的基本類型主要包括以下幾種類型：（1）肯定型，即符合條件的對象必存在；（2）否定型，即具有某種性質(zhì)的對象不存在；（3）探索型，即是否存在具有某種性質(zhì)的對象不得而知，通過分析、推理，最終產(chǎn)生結(jié)論.

對于圓錐曲線中的存在性探究類問題的解決，以創(chuàng)新開放的形式來合理創(chuàng)設(shè)，給問題的設(shè)置創(chuàng)設(shè)合理的梯度與難度，方便人才教育的培養(yǎng)與選拔，進(jìn)而有效提高了問題的綜合性、應(yīng)用性以及創(chuàng)新性等，成為更加全面、細(xì)致地考查學(xué)生的“四基”與“四能”的一種重要方式.