問題深入挖掘，思維合理發散

摘要：涉及分段函數的綜合應用問題是歷年高考中的常考題型之一，難度中等，背景多變，形式多樣，是數學基礎知識與基本技能交匯與融合的一大重要載體.結合一道高考真題，借助分段函數的場景創設與函數單調性的應用，合理剖析方法技巧，總結規律策略，有效指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：分段函數；單調性；直接；排除；導數

涉及分段函數的綜合應用問題，是歷年高考中的熱點與難點問題之一，也是高考試題中的一類常見題型.此類問題以分段函數為問題場景，借助函數的解析式、函數的基本性質、函數的圖象與零點等眾多相關的數學基礎知識加以合理交匯融合，有較好的選拔性與較高的區分度，備受命題者青睞，時常在高考試題中“閃亮”登場，常考常新，形式各樣，變化多端，不斷變更分段函數的解析式背景與交匯條件，烹出一道道美味的分段函數的綜合應用的美味“盛宴”.本文中就2024年高考數學新高考Ⅰ卷第6題加以分析.

1 真題呈現

高考真題（2024年高考數學新高考Ⅰ卷·6）已知函數f（x）=－x2－2ax－a，x<0，ex+ln（x+1），x≥0在R上單調遞增，則a的取值范圍是（）.

A.（－∞，0] B.[－1，0]

C.[－1，1]D.[0，+∞）

此題以含參的分段函數為問題背景，結合函數在實數集上的單調性，進而確定參數的取值范圍.該問題重點體現了分類討論思想與數形結合思想，考查了數學抽象、邏輯推理等數學核心素養.

該試題巧妙融合了分段函數、二次函數、指數函數與對數函數等相關的基本函數類型，借助函數的基本性質加以合理創設，題目難度中等，從而較好全面考查基本初等函數以及對應的基本性質等，實現問題的綜合與應用.

在實際解決該分段函數的綜合應用問題時，往往可以直接從問題中函數的單調性入手，結合各段對應的函數的解析式與基本性質來分析與處理；也可以通過選項中的數據信息逆向思維，合理利用特殊值思維與排除法處理；還可以借助函數與導數的應用，利用函數的單調性所對應的導函數的基本性質，并結合函數的圖象與求值的變化規律加以合理的分析與推理等.

2 真題破解

解法1：直接法1.

當x≥0時，函數f（x）=ex+ln（x+1）在[0，+∞）上單調遞增.

結合分段函數的圖象與性質，要保證當x<0時，函數f（x）=－x2－2ax－a在（－∞，0）上單調遞增，只須滿足該二次函數的對稱軸在y軸的右側（包括y軸），同時在x=0處的取值小于等于f（0）即可，即－2a2≥0，－02－2a×0－a≤e0+ln（0+1），解得－1≤a≤0.

所以a的取值范圍是[－1，0].故選：B.

解法2：直接法2.

令函數h（x）=－x2－2ax－a，函數g（x）=ex+ln（x+1）.

由于函數y=ex與y=ln（x+1）在[0，+∞）上均為增函數，則函數g（x）在[0，+∞）上為增函數.

而函數h（x）的對稱軸為x=－a，如圖1所示.

而要滿足函數f（x）在R上單調遞增，則有－a≥0，h（0）≤g（0），解得－1≤a≤0.

所以a的取值范圍是[－1，0].

故選：B.

點評：直接法是解決此類分段函數問題時最為常用的一種方法，通過直接分析函數在各段區間上的基本性質，包括單調性、最值等，以及函數圖象的變化情況與規律等，數形結合，直觀想象來分析與求解.該問題中，直接法的本質就是數形結合思維的直觀應用，需做到“胸中有數”“胸中有圖”，直觀想象，合理轉化.

解法3：排除法.

觀察各選項中的參數的取值范圍的情況，不妨令a=1，則知當x<0時，函數f（x）=－x2－2x－1=－（x+1）2，此時該函數與題設中函數f（x）在（－∞，0）上單調遞增矛盾，則知a≠1，由此排除選項C，D；

進一步，不妨令a=－2，則知當x<0時，函數f（x）=－x2+4x+2=－（x－2）2+6<2，此時f－18=－－18－22+6=9564>1，而f（0）=e0+ln（0+1）=1，此時該函數與題設中函數f（x）在R上單調遞增矛盾，則知a≠－2，由此排除選項A.

綜上分析，故選：B.

點評：排除法是解決選擇題中比較常用的一種基本技巧方法，而排除法的關鍵就是抓住各選項中數據的相似點與異同點，合理通過特殊值的選取，為相關選項的排除創造條件.往往在實際運用排除法解題時，有時一次特殊值的選取無法直接達到目的，可以兩次及三次選取特殊值來達到排除的目的.

解法4：導數+極限法.

易知當x≥0時，由函數f（x）=ex+ln（x+1）在[0，+∞）上單調遞增.

而當x<0時，由函數f（x）=－x2－2ax－a在（－∞，0）上單調遞增，可知f′（x）=－2x－2a≥0，解得a≤－x，結合x<0，則有a≤0.

而當x→0-時，f（x）→－a，而當x=0時，f（0）=e0+ln（0+1）=1，則有－a≤1，解得a≥－1.

綜上分析可知，－1≤a≤0.

所以a的取值范圍是[－1，0].

故選：B.

點評：導數法是解決含參函數的單調性問題中最為常用的一種思維方式，借助含參函數的求導運算并利用其在相應區間上的單調性，合理構建對應的不等式來巧妙確定參數的取值范圍；而通過分段函數在界點處的取值變化情況，巧妙通過極限法思維來轉化與應用，給參數的取值范圍的確定創造條件.兩種技巧方法加以巧妙融合，實現問題的創新應用與合理突破.

3 變式拓展

3.1 類比變式

變式1已知函數f（x）=x2+2ax－a，x<0，

e－x－ln（x+1），x≥0在R上單調遞減，則a的取值范圍是（）.

A.（－∞，－1]

B.[－1，0]

C.[－1，1]

D.[1，+∞）

解析：令函數h（x）=x2+2ax－a，x<0，函數g（x）=e-x－ln（x+1），x≥0.

由于函數y=e-x與y=－ln（x+1）在[0，+∞）上均為減函數，則知函數g（x）在[0，+∞）上為減函數.

易知函數h（x）的對稱軸為x=－2a2=－a.

如果要滿足函數f（x）在R上單調遞減，那么有－a≥0，h（0）≥g（0），解得a≤－1.

所以a的取值范圍是（－∞，－1].

故選：A.

在變式1中，還可以從不同思維視角來變換分段函數中對應各段函數的解析式，進而加以合理的變式與應用.

3.2 拓展變式

變式2已知函數f（x）=ax，x<0，ax+a，x≥0在R上單調遞增，則a的取值范圍是（）.

A.（0，+∞）

B.（0，1）

C.（1，+∞）

D.[1，+∞）

解析：依題，要滿足函數f（x）在R上單調遞增，則必須滿足a>1，0+a≥a0=1，解得a>1.

所以a的取值范圍是（1，+∞）.

故選：C.

4 教學啟示

4.1 技cbnLRZRnjw8lo6BgJUOFP/lgl4RrX/WjssMv4jgb2I4=巧方法總結

涉及分段函數的綜合應用問題，要抓住函數中各段的解析式及其對應函數的基本屬性，以及整體函數的結構特征與基本性質等，合理把握整體與細節之間的區別與聯系，特別抓住其中的一些節點（如端點處的函數值等），根據函數的圖象、性質等合理進行數形結合與直觀想象，從直觀思維切入并根據題設條件合理構建對應的方程（組）、不等式（組）等，實現問題的突破與求解.

4.2 破解基本思路

解決涉及分段函數的綜合應用問題的基本思路是，根據函數的解析式與基本性質等，合理加以化歸與轉化，將整體的分段函數問題轉化為兩個或多個易于操作的基本初等函數的圖象與性質問題等，借助函數基本性質法的邏輯推理，或函數圖象法的直觀想象等，從而合理邏輯推理或數形結合.該類題型對分析問題的能力與作圖能力以及邏輯推理能力等的要求比較高，一理掌握了破解思路和處理方法，則可順利解決.