拓展數學思維，總結解題技巧

涉及函數值、參數值或代數式等的大小比較問題，是近年新高考數學中一類創新熱點與基本考點.此類問題以各種創新新穎的方式加以設置，常考常新，形式多樣，變化多端，而萬變不離其宗，問題中都巧妙融合了冪函數、指數函數或對數函數，以及三角函數等基本初等函數模型，通過對應函數的圖象與基本性質，以及不等式的基本性質等相關內容來交匯與融合，充分落實并貫徹新課標中“在知識交匯點處命題”的命題思想.同時此類問題，有時還創新滲透初等數學知識與高等數學知識的交匯與綜合應用，是近年新高考數學命題中的一大亮點與難點.

1 真題呈現

高考真題（2024年高考數學北京卷·9）已知（x1，y1），（x2，y2）是函數y=2x圖象上不同的兩點，則下列正確的是（）.

A.log2y1+y22>x1+x22

B.log2y1+y22<x1+x22

C.log2y1+y22>x1+x2

D.log2y1+y22<x1+x2

這道題目以指數函數為問題場景，結合指數函數的圖象上不同兩點所對應縱坐標的平均值的對數值、兩點所對應橫坐標的平均值的大小比較來設置，合理加以分析與判斷.其實，這也是高考中涉及大小比較關系的另一種考查方式，要加以高度關注.

該問題巧妙地運用了對數函數與指數函數模型，深入考查了基本不等式的綜合應用.在歷年高考數學北京卷中，基本不等式經常與其他數學知識點相互交匯與融合，而今年這一結合的方式顯得尤為巧妙，題目不僅體現了數學公式的深度融合，還與函數的凹凸性等有著微妙的關聯，為考生提供了一次綜合運用數學知識與數學技能的機會.

在實際分析與判斷時，可以抓住基本不等式的內涵加以放縮與應用，也可以利用函數的凹凸性的本質加以數形結合，還可以利用特殊值的巧妙選取加以驗證排除等，都是處理該問題中比較常用的技巧與方法.

2 真題破解

解法1：基本不等式法.

依題，可知y1=2x1>0，y2=2x2>0，利用基本不等式有y1+y2=2x1+2x2≥22x1×2x2=22x1+x2，當且僅當x1=x2時等號成立.

由于（x1，y1），（x2，y2）是函數y=2x圖象上不同的兩點，因此x1≠x2，所以y1+y22＞2x1+x22.以上不等式兩邊同時取對數，可得log2y1+y22>x1+x22.

故選：A.

點評：根據指數函數建立對應變量之間的關系，合理利用基本不等式加以巧妙放縮與轉化，進一步利用不等式的基本性質以及對數的運算來變形與轉化，實現對應不等式的判定與應用.該問題中，基本不等式的應用隱藏得比較深，如果不進行相應的挖掘與分析，就無法直接加以聯系，這也是數學基礎知識與基本技能的綜合與應用的充分體現.

解法2：函數凹凸性法.

依題，顯然函數f（x）=2x是定義域R上的凹函數，如圖1.設A（x1，0），B（x2，0），Cx1+x22，0，y1=f（x1），y2=f（x2）.

數形結合，可知

y1+y22>fx1+x22=2x1+x22.

以上不等式兩邊同時取對數，可得

log2y1+y22>x1+x22.

故選：A.

點評：根據指數函數的問題場景與函數模型，結合各選項中對應兩點的橫坐標、縱坐標的平均數，聯想到對應的中點坐標公式，進而抓住函數圖象的凹凸性，構建對應的函數圖象，合理直觀想象，巧妙數形結合，實現問題的突破與解決.該問題中，涉及函數的凹凸性問題，只是課堂教學與學習的深度探究與綜合應用的產物，特別是參與競賽的學生比較熟悉的一個基本知識點，而借助函數圖象來直觀分析，可以為大部分學生所接受與掌握.

解法3：特殊值驗證法.

選取特殊值x1=0，x2=1，可得y1=2x1=1，y2=2x2=2，此時x1+x2=1，x1+x22=12，y1+y22=32，可得log2y1+y22=log232∈12，1，由此可以排除選項B，C.

再選取特殊值x1=－1，x2=0，可得y1=2x1=12，y2=2x2=1，此時x1+x2=－1，x1+x22=－12，y1+y22=34，得log2y1+y22=log234∈－12，0，由此可以進一步排除選項D.

故選：A.

點評：回歸問題的本質與內涵，結合兩組特殊值的選取，以特殊性來解決一般性，是解決此類答案確定且唯一問題中比較常用的一種“巧技妙法”.特殊值的選取一般追求數字比較簡潔，方便進一步的求值與運算.同時要注意的是，若一次特殊值的選取無法直接確定答案，往往可以進行第二次或第三次特殊值的選取，直至最后一個.特殊值驗證法是大部分考生所追求的一種比較方便且有效的解題技巧與方法，關鍵要結合題設條件選取合理且科學的特殊值，這樣才可以保證問題分析過程的簡捷有效.

3 變式拓展

3.1 類比變式

變式1已知（x1，y1），（x2，y2）是函數y=log2x圖象上不同的兩點，則下列正確的是（）.

A.2y1+y22>x1+x22

B.2y1+y22<x1+x22

C.2y1+y22>x1+x2

D.2y1+y22<x1+x24

解析：依題，可知y1=log2x1，y2=log2x2，則有x1=2y1>0，x2=2y2>0，利用基本不等式有x1+x2=2y1+2y2≥22y1×2y2=22y1+y2，當且僅當y1=y2時等號成立.

由于（x1，y1），（x2，y2）是函數y=log2x圖象上不同的兩點，此時y1≠y2，所以x1+x22＞2x1+x22.故選項B正確.

同樣地，借助特殊值驗證法，可以用來排除選項C，D.選取特殊值x1=1，x2=2，可得y1=log2x1=0，y2=log2x2=1，此時x1+x2=3，y1+y22=12，可得2y1+y22=2<3=x1+x2，由此可以排除選項C；

又2y1+y22=2>34=x1+x24，由此可以排除選項D.

故選：B.

3.2 深度變式

變式2（2024年河北省部分示范性高中高三下學期一模數學試卷）已知實數a，b∈（1，+∞），且2（a+b）=e2a+2ln b+1，e為自然對數的底數，則（）.

A.1<b<aB.a<b<2a

C.2a<b<aD.ea<b<e2a

解析：依題，由2（a+b）=e2a+2ln b+1，可得e2a－2a－1=2（b－ln b－1）=2（eln b－ln b－1）.

同構函數f（x）=ex－x－1，x>0，則f′（x）=ex－1>0，所以函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，且f（0）=0.而由于a，b∈（1，+∞），有ln b>0，可得f（ln b）>0，則有f（2a）=2f（ln b）>f（ln b），即2a>ln b，亦即e2a>b.

又由于e2a－2a－1>2（ea－a－1），則有f（2a）=2f（ln b）>2f（a），即ln b>a，則b>ea.

綜上分析，可得ea<b<e2a.

故選：D.

4 教學啟示

4.1 方法歸納，知識總結

涉及函數值、參數值或代數式大小比較的高考數學試題，常見的解題技巧與策略主要有以下幾個方面：（1）冪函數、指數函數、對數函數等基本性質（主要是單調性）的應用；（2）合理尋找中間值0，1等介值加以間隔與區分；（3）巧妙同構函數法來轉化；（4）借助基本不等式等放縮分析處理等.

無論哪種技巧方法的應用，往往離不開函數的圖象與基本性質，不等式的基本性質等基本知識點，以及函數與方程、化歸與轉化、特殊與一般等數學思想，抽象概括、推理論證、運算求解等能力，對于進一步落實數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗這“四基”有奇效.

4.2 開拓思維，深度學習

借助以上代數式的大小比較這一典型問題的“一題多解”，在數學教學與學習的基礎上，進一步深入與研究，有效進行深度學習，在理解并掌握數學“四基”的基礎上，全面掌握破解問題的常規思維、“通性通法”與“巧技妙法”，從而深化對相應的數學基礎知識與數學基本思想方法等方面的掌握與提升.

在“一題多解”的基礎上，全面開闊解題思路，發散解題思維，從而合理歸納與總結，尋找更加合理有效、簡單快捷的破解方法，提升問題的綜合性與解答的靈活性，進而不斷深入，實現深度學習，達到“一題多得”“一題多用”“一題多變”等良好效果，數學思維和數學能力等方面都得到更好的拓寬和加強，舉一反三，觸類旁通.