把握三次函數(shù)本質(zhì)，巧思妙解綜合應(yīng)用

摘要：三次函數(shù)及其綜合問題作為典型函數(shù)模型，在近年的高考、競賽試題中頻繁出現(xiàn)，成為“出鏡率”很高的函數(shù)模型之一.通過對(duì)一道三次函數(shù)高考真題的展示，結(jié)合多思維視角切入，妙層次分析挖掘，總結(jié)歸納結(jié)論，全面提升解題能力.

關(guān)鍵詞：三次函數(shù)；零點(diǎn)；極值；對(duì)稱軸；對(duì)稱中心

在新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)試卷中，以三次函數(shù)為情境的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，是知識(shí)綜合與技能應(yīng)用中的一類基本考點(diǎn).借助三次函數(shù)的應(yīng)用場景，結(jié)合參數(shù)值、單調(diào)性、極值、最值、對(duì)稱性（包括對(duì)稱軸與對(duì)稱中心）等問題的創(chuàng)設(shè)，應(yīng)用非常廣泛，成為高考數(shù)學(xué)命題中的一個(gè)重要材料.本文中結(jié)合2024年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第11題的破解給出相應(yīng)的教學(xué)啟示.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題（多選題）設(shè)函數(shù)f（x）=2x3－3ax2+1，則（）.

A.當(dāng)a>1時(shí)，f（x）有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)a<0時(shí)，x=0是f（x）的極大值點(diǎn)

C.存在a，b，使得x=b為曲線y=f（x）的對(duì)稱軸

D.存在a，使得點(diǎn)（1，f（1））為曲線y=f（x）的對(duì)稱中心

此題以三次函數(shù)這一熱點(diǎn)函數(shù)模型為場景，利用多選題的形式來創(chuàng)設(shè)，借助函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的極值、函數(shù)圖象的對(duì)稱性（包括對(duì)稱軸與對(duì)稱中心）等相關(guān)命題真假的判定來設(shè)置，全面考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用、函數(shù)的圖象與基本性質(zhì)等.

2 真題破解

依題，由函數(shù)f（x）=2x3－3ax2+1，可得f′（x）=6x2－6ax=6x（x－a）.

令f′（x）=0，解得x=0或x=a.

【對(duì)于選項(xiàng)A】

方法1（極值轉(zhuǎn)化法）：

當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，a）上單調(diào)遞減，在（－∞，0）和（a，+∞）上單調(diào)遞增，則f（x）的極大值為f（0）=1>0，f（x）的極小值為f（a）=1－a3<0，

所以函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)A正確.

方法2（零點(diǎn)定理法）：

當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，

而f（－a）=1－5a3<0，f（0）=1>0，f（a）=1－a3<0，f（2a）=4a3+1>0，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理，可知f（x）在區(qū)間（－∞，0），（0，a），（a，2a）上各有一個(gè)零點(diǎn)，

所以函數(shù)f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)A正確.

【對(duì)于選項(xiàng)B】

當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f（x）在（a，0）上單調(diào)遞減，在（－∞，a）和（0，+∞）上單調(diào)遞增，則知x=0是f（x）的極小值點(diǎn)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

點(diǎn)評(píng)：涉及三次函數(shù)的零點(diǎn)與極值問題，借助常規(guī)的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用即可達(dá)到目的.通過求導(dǎo)，并結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)確定，利用導(dǎo)函數(shù)在相關(guān)區(qū)間上的正負(fù)，確定函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而利用極值的大小情況得以確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).當(dāng)然也可以借助函數(shù)零點(diǎn)存在定理來分析與判斷.而單調(diào)性的變化情況就直接決定著對(duì)應(yīng)函數(shù)的極值點(diǎn)的情況.

【對(duì)于選項(xiàng)C】

方法1（性質(zhì)法）：任何三次函數(shù)都不存在對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤.

方法2（反證法）：假設(shè)存在這樣的a，b，使得x=b為曲線y=f（x）的對(duì)稱軸，即存在這樣的a，b，使得f（x）=f（2b－x），則有2x3－3ax2+1=2（2b－x）3－3a（2b－x）2+1，

根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊（2b－x）3展開式含有x3的項(xiàng)為2C33·（2b）0·（－x）3=－2x3，于是等式左右兩邊x3的系數(shù)不相等，原等式不可能恒成立，

于是不存在這樣的a，b，使得x=b為曲線y=f（x）的對(duì)稱軸，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

方法3（對(duì)稱推理法）：假設(shè)x=b為曲線y=f（x）的對(duì)稱軸，點(diǎn)（x，y）為曲線y=f（x）=2x3－3ax2+1的圖象上任意一點(diǎn)，

而點(diǎn)（x，y）關(guān)于x=b的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（2b－x，y），且點(diǎn)（2b－x，y）也在曲線y=f（x）=2x3－3ax2+1的圖象上，則有y=2（2b－x）3－3a（2b－x）2+1，

所以2（2b－x）3－3a（2b－x）2+1=2x3－3ax2+1，即x3－3bx2+（6b2－3ab）x+3ab2－4b3=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，于是1=0，－3b=0，6b2－3ab=0，3ab2－4b3=0同時(shí)成立，顯然1=0是不成立的，則知x=b不是曲線y=f（x）的對(duì)稱軸，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

點(diǎn)評(píng)：涉及曲線y=f（x）的對(duì)稱軸問題，抓住曲線上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱性及其應(yīng)用，往往是解決此類問題中比較常用的基本方法，只是涉及的數(shù)學(xué)運(yùn)算量以及邏輯推理量比較大.而合理利用三次函數(shù)的圖象結(jié)構(gòu)特征，可以較快分析與處理問題.對(duì)于命題的推理論證，有時(shí)反證法也是推理中的一種基本方法.

【對(duì)于選項(xiàng)D】

方法1（特例法）：當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2x3－6x2+1=2（x－1）3－6（x－1）－3，則點(diǎn)（1，－3）為曲線y=f（x）的中心對(duì)稱，故選項(xiàng)D正確.

方法2（對(duì)稱中心確定法1）：由于f（1）=3－3a，若存在這樣的a，使得點(diǎn)（1，3－3a）為曲線y=f（x）的對(duì)稱中心，則有f（x）+f（2－x）=6－6a.

事實(shí)上，f（x）+f（2－x）=2x3－3ax2+1+2（2－x）3－3a＼5（2－x）2+1=（12－6a）x2+（12a－24）x+18－12a，于是有6－6a=（12－6a）x2+（12a－24）x+18－12a，

可得12－6a=0，12a－24=0，18－12a=6－6a，解得a=2，即存在a=2，使得點(diǎn)（1，f（1））為曲線y=f（x）的對(duì)稱中心，故選項(xiàng)D正確.

方法3（對(duì)稱中心確定法2）：假設(shè)點(diǎn)（m，n）為曲線y=f（x）的對(duì)稱中心，點(diǎn)（x，y）為y=f（x）=2x3－3ax2+1的圖象上任意一點(diǎn)，

而點(diǎn)（x，y）關(guān)于點(diǎn)（m，n）對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（2m－x，2n－y），且點(diǎn)（2m－x，2n－y）也在f（x）=2x3－3ax2+1的圖象上，則有2n－y=2（2m－x）3－3a（2m－x）2+1，

所以2（2m－x）3－3a（2m－x）2+1=2n－2x3+3ax2－1，整理有（3a－6m）x2+（12m2－6am）x+n－1－8m3+6am2=0.

因?yàn)閤∈R，所以3a－6m=0，12m2－6am=0，n－1－8m3+6am2=0同時(shí)成立，于是m=a2，n=1－12a3.

又2a23－3aa22+1=1－12a3，所以點(diǎn)a2，fa2為曲線y=f（x）=2x3－3ax2+1的對(duì)稱中心.若點(diǎn)（1，f（1））也是該三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，則有a2=1，解得a=2，

所以存在a=2，使得點(diǎn)（1，f（1））為曲線y=f（x）的對(duì)稱中心.故選項(xiàng)D正確.

方法4（拐點(diǎn)結(jié)論法）：由于任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，而f′（x）=6x2－6ax，可得f″（x）=12x－6a，由f″（x）=0解得x=a2，于是該三次函數(shù)的對(duì)稱中心為a2，fa2.若點(diǎn)（1，f（1））也是該三次函數(shù)的對(duì)稱中心，則有a2=1，解得a=2，所以存在a=2，使得點(diǎn)（1，f（1））為曲線y=f（x）的對(duì)稱中心.故選項(xiàng)D正確.

故選AD.

點(diǎn)評(píng)：涉及曲線y=f（x）的中心對(duì)稱問題，抓住曲線上的點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱性及其應(yīng)用，往往是解決此類問題中比較常用的基本技巧方法，不過相應(yīng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算量與邏輯推理量比較大.而依托三次函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線的基本結(jié)構(gòu)特征，掌握三次函數(shù)的對(duì)稱中心與相應(yīng)的拐點(diǎn)知識(shí)，有時(shí)可以為此類小題的突破提供更加便捷的通道.

3 教學(xué)啟示

3.1 結(jié)論歸納，規(guī)律點(diǎn)睛

在解決以上三次函數(shù)及其綜合應(yīng)用問題中，有關(guān)對(duì)稱性的問題，常見的基本結(jié)論歸納總結(jié)如下：

（1）曲線y=f（x）的對(duì)稱軸為x=bSymbol對(duì)稱中心是三次函數(shù)的拐點(diǎn)，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是f″（x）=0的解，即對(duì)應(yīng)點(diǎn)－b3a，f－b3a是三次函數(shù)的對(duì)稱中心.

3.2 合理轉(zhuǎn)化，關(guān)注“三次”

隨著新教材的使用與新高考改革的進(jìn)一步推廣，借助函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用來解決一些涉及高次或無理函數(shù)的圖象和基本性質(zhì)成為現(xiàn)實(shí)，從而三次函數(shù)及其綜合問題成為高考、競賽中出現(xiàn)頻率很高的一類特殊函數(shù)模型.

而一些高次函數(shù)、分式函數(shù)等可以轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來解決，三次函數(shù)的深入關(guān)注與拓展研究很有必要，特別涉及三次函數(shù)與三次方程之間的關(guān)系及其綜合，成為研究中的一個(gè)重點(diǎn).特別地，抓住“三次”問題的本質(zhì)，可以直接利用“三次”問題的相關(guān)結(jié)論與性質(zhì)等解決問題，處理起來更加直接有效，簡化數(shù)學(xué)運(yùn)算，優(yōu)化解題過程，也成為一個(gè)比較有效的技巧方法.