2024年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第15題的探究

解三角形的基本應(yīng)用問(wèn)題，是綜合解三角形與三角函數(shù)這些主干知識(shí)的一個(gè)基本考查點(diǎn)，也是高考數(shù)學(xué)的一個(gè)重要考查點(diǎn).此類(lèi)問(wèn)題，往往依托初中平面幾何圖形的應(yīng)用場(chǎng)景，聯(lián)系起高中的解三角形、三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)，合理構(gòu)建初、高中階段知識(shí)的聯(lián)系與應(yīng)用，同時(shí)也交匯高中數(shù)學(xué)中的函數(shù)與方程、平面向量等其他相關(guān)知識(shí)，充分落實(shí)新課標(biāo)中“在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題”的高考基本指導(dǎo)思想，備受各方關(guān)注.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin A+3cos A=2.

（1）求A；

（2）若a=2，2bsin C=csin 2B，求△ABC的周長(zhǎng).

2 問(wèn)題剖析

此題依托解三角形這一主干知識(shí)，結(jié)合三角函數(shù)、平面幾何等相關(guān)知識(shí)的交匯與融合，通過(guò)三角函數(shù)中的三角恒等變換公式、解三角形中的正余弦定理等的轉(zhuǎn)化與變形，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與變形，得以求解三角形中對(duì)應(yīng)的角與三角形的周長(zhǎng)問(wèn)題.

第（1）問(wèn)依托題設(shè)條件中三角形內(nèi)角滿(mǎn)足“sin A+3cos A=2”，合理聯(lián)想并應(yīng)用相關(guān)的三角函數(shù)思維、函數(shù)與方程思維、構(gòu)造思維等來(lái)分析與處理，實(shí)現(xiàn)角A的大小的求解.

第（2）問(wèn)，在第（1）問(wèn)的基礎(chǔ)上確定三角形的一個(gè)內(nèi)角的具體值，并結(jié)合該內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)度，以及相應(yīng)的三角函數(shù)方程“2bsin C=csin 2B”，進(jìn)一步求出三角形的另一個(gè)內(nèi)角，從解三角形中的正弦定理思維與平面幾何中的直觀思維來(lái)分析與求解，進(jìn)而確定三角形的周長(zhǎng).

總體來(lái)說(shuō)，該解三角形的基本應(yīng)用問(wèn)題，屬于基本考題，難度中等，大部分考生都能有所突破與收獲.在實(shí)際分析與求解過(guò)程中，要注意答題過(guò)程中邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、數(shù)學(xué)運(yùn)算的正確性等.

3 真題破解

3.1 第（1）問(wèn)的解答

（1）三角函數(shù)思維

解法1：輔助角公式法.

由sin A+3cos A=2，可得12sin A+32cos A=1，即sinA+π3=1.

由A∈（0，π），可得A+π3∈π3，4π3，所以A+π3=π2，解得A=π6.

解法2：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式法.

由sin A+3cos A=2，結(jié)合平方關(guān)系sin 2A+cos 2A=1，消去sin A并整理可得4cos 2A－43cos A+3=0，則有（2cos A－3）2=0，解得cos A=32，而A∈（0，π），所以A=π6.

（2）導(dǎo)數(shù)思維

解法3：極值點(diǎn)法.

設(shè)f（x）=sin x+3cos x，x∈（0，π），則有f（x）=2sin（x+π3），x∈（0，π）.

顯然當(dāng)x=π6時(shí)，f（x）max=2.

而f（A）=sin A+3cos A=2=2sinA+π3，f（x）max=f（A），在開(kāi)區(qū)間（0，π）上取到最大值，于是x=A必定是極值點(diǎn)，由f′（A）=0=cos A－3sin A，得tan A=33.

而A∈（0，π），所以A=π6.

（3）構(gòu)造思維

解法4：向量數(shù)量積公式法.

設(shè)平面向量a=（1，3），b=（sin A，cos A），結(jié)合條件可得a·b=sin A+3cos A=2.

由向量的數(shù)量積公式，可得a·b=|a||b|cos 〈a，b〉=2cos 〈a，b〉，則2cos 〈a，b〉=2，即cos 〈a，b〉=1，此時(shí)〈a，b〉=0，即向量a，b同向.

由向量共線(xiàn)條件，可得sin A1=cos A3，即tan A=33，而A∈（0，π），所以A=π6.

解法5：構(gòu)造法.

構(gòu)造如圖1所示的△ABC，其中C為直角，令a=1，b=3，利用勾股定理可得c=a2+b2=2.

結(jié)合已知條件sin A+3cos A=2，即cos B+3cos A=2，滿(mǎn)足三角形的射影定理acos B+bcos A=c.

利用三角函數(shù)的定義，可知sin A=ac=12，又因?yàn)锳∈0，π2，所以A=π6.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題設(shè)條件中的三角函數(shù)方程求解對(duì)應(yīng)角的大小，解法1中的輔助角公式法與解法2中的同角三角函數(shù)基本關(guān)系式法，是依托三角函數(shù)方程的常規(guī)方法，要么轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，要么轉(zhuǎn)化為一元二次方程，都是基本的突破口與應(yīng)用.這也是考生在考場(chǎng)中最容易想到的兩種基本技巧方法.

解法3中的極值點(diǎn)法，回歸三角函數(shù)方程的方程本質(zhì)，依托三角函數(shù)的內(nèi)涵，借助函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用來(lái)解決解三角形問(wèn)題；而解法4中的向量數(shù)量積公式法以及解法5中的構(gòu)造法，都是構(gòu)造思維在解三角形問(wèn)題中的應(yīng)用，依托三角函數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，或從“數(shù)”的基本屬性視角來(lái)合理構(gòu)造，或從“形”的幾何特征視角來(lái)直觀構(gòu)造，都能很好實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的突破與求解.

3.2 第（2）問(wèn)的解答

解法1：正弦定理法.

由2bsin C=csin 2B，根據(jù)正弦定理可得2sin Bsin C=sin Csin 2B，結(jié)合二倍角公式有2sin Bsin C=2sin Csin Bcos B.

而sin B≠0，sin C≠0，可得2=2cos B，即cos B=22，而B(niǎo)∈0，π2，所以B=π4.

而A=π6，可得C=π－A－B=7π12.

而a=2，結(jié)合正弦定理asin A=bsin B=csin C，即212=b22=c6+24，解得b=22，c=6+2.

所以△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=2+6+32.

解法2：幾何法.

由（1）知A=π6，而a=2.如圖2所示，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D.

由2bsin C=csin 2B，得2bsin C=2csin Bcos B，則有212·2bsin C=212·2csin B·cos B.

結(jié)合三角形的面積公式有2S=2Scos B，則cos B=22，而B(niǎo)∈0，π2，所以可得B=π4.

利用圖形直觀可知，|CD|=asin B=2，|BD|=acos B=2.

而|CD|=bsin A=12b=2，可得b=22，則有|AD|=b＼5cos A=6.

所以△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=2+6+32.

點(diǎn)評(píng)：在第（1）問(wèn)的基礎(chǔ)上確定三角形的一個(gè)內(nèi)角值，進(jìn)而結(jié)合該已知內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)度以及相應(yīng)的三角函數(shù)方程來(lái)求解三角形的周長(zhǎng).解法1中的正弦定理法，是解決此類(lèi)問(wèn)題的常規(guī)方法，依托三角恒等變換公式的合理變形與轉(zhuǎn)化，并通過(guò)正弦定理分別求解各相應(yīng)的邊長(zhǎng)，得以求解三角形的周長(zhǎng).

而解法2中的幾何法，是依托解三角形問(wèn)題的“形”的幾何特征，通過(guò)圖形直觀，結(jié)合三角形的面積公式、直角三角形中的勾股定理等來(lái)分段處理與分析求解，回避解三角形中的正弦定理等的應(yīng)用，使得數(shù)學(xué)運(yùn)算更加簡(jiǎn)捷有效.

4 變式拓展

基于原高考真題，保留題設(shè)條件與應(yīng)用創(chuàng)設(shè)，同時(shí)保留第一小問(wèn)，而在第二小問(wèn)中，改變?cè)瓉?lái)求解“△ABC的周長(zhǎng)”為求解“△ABC的面積”，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的變式應(yīng)用.

變式記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin A+3cos A=2.

（1）求A；

（2）若a=2，2bsin C=csin 2B，求△ABC的面積.

解析：（1）A=π6（過(guò)程略）.

（2）同以上高考真題中第（2）問(wèn)的解法1，解得B=π4，C=7π12.

而a=2，結(jié)合正弦定理asin A=bsin B，即212=b22，解得b=22.

所以△ABC的面積S=12absin C=3+1.

5 教學(xué)啟示

解決解三角形中的基本綜合應(yīng)用問(wèn)題，合理尋覓并挖掘?qū)?yīng)關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征與題設(shè)條件，解題往往基于解三角形思維、三角函數(shù)思維、平面幾何思維等，解題的關(guān)鍵在于合理進(jìn)行恒等變形與轉(zhuǎn)化，借助解題經(jīng)驗(yàn)的積累與技巧方法的應(yīng)用，選取行之有效的數(shù)學(xué)思維方法與對(duì)應(yīng)的技巧策略.

特別在解決一些比較復(fù)雜的解三角形中的基本綜合應(yīng)用問(wèn)題，經(jīng)常借助函數(shù)與方程、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、平面幾何性質(zhì)、不等式等相關(guān)知識(shí)，實(shí)現(xiàn)三角形中基本元素的值（邊、角、周長(zhǎng)、面積等）以及相關(guān)元素的最值（或取值范圍）問(wèn)題的求解，從而有效養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)解題能力，拓展數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新思維.