深挖命題內(nèi)涵，多解變式應(yīng)用

摘要：數(shù)學解題不能只停留在問題解答上，合理挖掘命題的本質(zhì)內(nèi)涵，巧妙進行“一題多解”“一題多變”等，給解題拓展更加寬廣的空間.本文中借助一道高考真題，結(jié)合兩個含參的函數(shù)所對應(yīng)曲線的交點個數(shù)情況，合理挖掘內(nèi)涵，巧妙創(chuàng)新應(yīng)用，歸納總結(jié)規(guī)律與性質(zhì)，指導(dǎo)數(shù)學教學與復(fù)習備考.

關(guān)鍵詞：函數(shù)；曲線；交點；偶函數(shù)；數(shù)形結(jié)合

分析與解決數(shù)學問題的本質(zhì)，就是合理探究問題的內(nèi)涵與實質(zhì)，化“生”為“熟”，巧妙變換，可以給問題的切入與應(yīng)用創(chuàng)造更多的機會；同時結(jié)合問題的恒等變換，也為問題的多解分析提供更加豐富的數(shù)學解題思路，以及解題的技巧方法；在此基礎(chǔ)上，剖析問題背景與本質(zhì)屬性，給問題的變式與拓展開拓更加寬廣的空間.其實，這也是高中數(shù)學解題教學與學習中師生共同追求的良好習慣與優(yōu)良品質(zhì).本文中結(jié)合2024年一道高考題，深挖命題內(nèi)涵，多解變式應(yīng)用.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題（2024年高考數(shù)學新高考Ⅱ卷·6）設(shè)函數(shù)f（x）=a（x+1）2－1，g（x）=cos x+2ax（a為常數(shù)），當x∈（－1，1）時，曲線y=f（x）與y=g（x）恰有一個交點，則a=（）.

A.－1

B.12

C.1

D.2

此題以兩個含參的函數(shù)為問題場景，結(jié)合自變量取值限制條件下的兩曲線的交點情況，進而來確定參數(shù)的值.

借助兩個函數(shù)所對應(yīng)曲線的位置情況，可以合理變換函數(shù)的關(guān)系式，也可以化函數(shù)為方程，還可以化函數(shù)為圖象等，這些都是切入問題的基本點，也是解決問題的思維方式，為問題的突破與求解創(chuàng)造更多的思維空間.

2 真題破解

解法1：分拆法.

依題，令f（x）=g（x），即a（x+1）2－1=cos x+2axEAb/z+TMMA8WTFE3opp4rhp+dDeQTjbwLAHTaBeMrz8=，可得ax2+a－1=cos x.

令函數(shù)F（x）=ax2+a－1，G（x）=cos x，那么原題等價于“當x∈（－1，1）時，曲線y=F（x）與y=G（x）恰有一個交點”.

注意到函數(shù)F（x），G（x）均為偶函數(shù)，可知該交點只能在y軸上，可得F（0）=G（0），即a－1=1，解得a=2.

若a=2，令F（x）=G（x），可得2x2+1－cos x=0.

由x∈（－1，1），得2x2≥0，1－cos x≥0，當且僅當x=0時等號成立，可得2x2+1－cos x≥0，當且僅當x=0時等號成立.

所以方程2x2+1－cos x=0有且僅有一個實根0，即曲線y=F（x）與y=G（x）恰有一個交點，所以a=2符合題意.

綜上所述，a=2.

故選答案：D.

點評：根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建兩個函數(shù)相等的關(guān)系，合理進行歸類分拆，借助兩條曲線間的位置關(guān)系加以等價轉(zhuǎn)化，利用偶函數(shù)的性質(zhì)實現(xiàn)突破.解題過程中，隨著問題的恒等轉(zhuǎn)化，由陌生到熟知，由無法下手到水到渠成，這都是解題的基本過程，需要掌握相關(guān)的基礎(chǔ)知識與基本技能.

解法2：整體法.

依題，令函數(shù)h（x）=f（x）－g（x）=a（x+1）2－1－cos x－2ax=ax2+a－1－cos x，x∈（－1，1），那么原題意等價于函數(shù)h（x）有且僅有一個零點.

因為h（－x）=a（－x）2+a－1－cos（－x）=ax2+a－1－cos x=h（x），所以h（x）為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知，h（x）的零點只能為0，即h（0）=a－1－1=0，解得a=2.

若a=2，則h（x）=2x2+1－cos x，x∈（－1，1）.

由x∈（－1，1），得2x2≥0，1－cos x≥0，當且僅當x=0時等號成立，可得h（x）≥0，當且僅當x=0時等號成立，即h（x）有且僅有一個零點0，所以a=2符合題意.

綜上所述，a=2.

故選答案：D.

點評：根據(jù)題設(shè)條件中兩個函數(shù)所對應(yīng)曲線之間的關(guān)系，通過整體法的應(yīng)用，構(gòu)建兩函數(shù)之差所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，進而將問題轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的零點個數(shù)問題，為進一步的分析與求解創(chuàng)造條件.利用整體法處理兩個函數(shù)、或兩條曲線等問題時，經(jīng)常可以通過對應(yīng)關(guān)系式進行合理的數(shù)學運算，巧妙合二為一，為問題的突破與切入打下基礎(chǔ).

解法3：參變分離法.

依題，令f（x）=g（x），即a（x+1）2－1=cos x+2ax，可得a=1+cos x1+x2.

令函數(shù)h（x）=1+cos x1+x2，x∈（－1，1），因為h（－x）=1+cos（－x）1+（－x）2=1+cos x1+x2=h（x），所以h（x）為偶函數(shù).

而當x∈（－1，1）時，曲線y=f（x）與y=g（x）恰有一個交點等價于直線y=a與函數(shù)h（x）的圖象在x=0處相切.

將x=0代入，可得a=h（0）=1+cos 01+0=2.

故選答案：D.

點評：根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建兩個函數(shù)相等的關(guān)系，合理進行參變分離，這是解決含參的函數(shù)、方程、不等式等綜合應(yīng)用問題中最為常用的一種技巧方法.抓住條件進行合理的參變分離，進一步深入研究對應(yīng)函數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)來分析與求解，為解決參數(shù)的求值、參數(shù)的最值（或取值范圍）等問題創(chuàng)造條件.

解法4：數(shù)形結(jié)合法.

令f（x）=g（x），即a（x+1）2－1=cos x+2ax，可得ax2+a－1=cos x.

如圖1，作出函數(shù)y=cos x，x∈（－1，1）的圖象.

設(shè)函數(shù)h（x）=ax2+a－1，x∈（－1，1）.

當a=－1時，h（x）max=h（0）=－2，此時函數(shù)h（x）的圖象與圖中的圖象沒有交點；

當a=12時，h（x）max=h（1）=0，此時函數(shù)h（x）的圖象與圖中的圖象沒有交點；

當a=1時，h（x）max=h（1）=1，結(jié)合對稱性，此時函數(shù)h（x）的圖象與圖中的圖象有兩個交點.

排除以上三個選項，只能是選項D正確，其實，當a=2時，h（x）min=h（0）=1，此時函數(shù)h（x）的圖象與圖中的圖象有一個交點.

故選答案：D.

點評：根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建兩個函數(shù)相等的關(guān)系，合理分拆函數(shù)，轉(zhuǎn)化為一個熟知的余弦函數(shù)與一個含參的二次（或一次）函數(shù)，為數(shù)形結(jié)合直觀分析創(chuàng)造條件.依托選項中具體數(shù)值的信息，分類討論，也是解決問題中非常不錯的一種技巧方法.合理數(shù)形結(jié)合直觀處理，巧妙排除實現(xiàn)問題突破.

3 變式拓展

基于原高考真題的分析與求解，合理深入探究與拓展，剖析問題的本質(zhì)與內(nèi)涵，給問題的進一步深度學習創(chuàng)造條件，得到以下相應(yīng)的變式問題.

變式1設(shè)函數(shù)f（x）=a（x+1）2－1，g（x）=cos x+2ax（a為正實數(shù)），若曲線y=f（x）與y=g（x）恰有一個交點，則a=.

答案：2.

變式2設(shè)函數(shù)f（x）=a（x+1）2－1，g（x）=cos x+2ax（a為正實數(shù)），若曲線y=f（x）與y=g（x）恰有兩個交點，則a的取值范圍為.

答案：（0，2）.

變式3設(shè)函數(shù)f（x）=a（x+1）2－1，g（x）=cos x+2ax（a為正實數(shù)），若曲線y=f（x）與y=g（x）沒有交點，則a的取值范圍為.

答案：（2，+∞）.

以上三個變式的解析過程這里不多加展開，可以參照原高考真題，借助參數(shù)為正實數(shù)進一步優(yōu)化，數(shù)形結(jié)合來突破與求解.

4 教學啟示

在實際數(shù)學解題與綜合應(yīng)用時，基于具體問題的分析與求解，只是解題教學與學習的一個基本起步.若只停留在這個環(huán)節(jié)，收益比比較少，創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應(yīng)用能力得不到很好的提升，只是停留在“刷題”的表層.

而基于數(shù)學問題的深入分析與挖掘，依托數(shù)學“四基”知識，合理借助“一題多解”來開拓解題思維，發(fā)散數(shù)學思維，進而合理深挖問題的內(nèi)涵與實質(zhì)，利用命題背景挖掘內(nèi)容本質(zhì)，實現(xiàn)“多題歸一”，合理歸類與綜合，從而合理借助“一題多變”深入拓展應(yīng)用，形成“解一題，通一片”的良好解題效果.

在實際數(shù)學解題與綜合應(yīng)用中，只有深入問題進行合理的探討與研究，不停留在解題的表面，往往都可以實現(xiàn)數(shù)學解題的最優(yōu)效益，這也是有效落實學生的數(shù)學“四基”知識，提升數(shù)學“四能”技巧，優(yōu)化數(shù)學解題習慣，提高數(shù)學優(yōu)良品質(zhì)以及培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)等.