巧思維開(kāi)拓思路，妙應(yīng)用變式拓展

作為平面向量模塊中最重要的基本知識(shí)之一，平面向量的數(shù)量積及其綜合應(yīng)用問(wèn)題成為近年高考試卷中的一個(gè)基本考點(diǎn).特別是涉及平面向量數(shù)量積的求值與應(yīng)用問(wèn)題，以各種形式的場(chǎng)景創(chuàng)設(shè)，借助數(shù)量積的形式來(lái)變形與轉(zhuǎn)化，基于平面幾何，依托平面向量，融合函數(shù)與方程、三角函數(shù)、基本不等式等其他相關(guān)知識(shí)，成為該模塊知識(shí)中考查的重中之重，也是課堂教學(xué)與復(fù)習(xí)備考中的一個(gè)基本專題，成為全面考查數(shù)學(xué)“四基”與“四能”的一個(gè)重要場(chǎng)所.本文中結(jié)合2024年一道高考試題的解法分析及變式拓展，給出相應(yīng)的教學(xué)啟示.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題（2024年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷·3）已知向量a=（0，1），b=（2，x），若b⊥（b－4a），則x=（）.

A.－2B.－1C.1D.2

此題以兩個(gè)平面向量的坐標(biāo)為問(wèn)題場(chǎng)景，其中一個(gè)平面向量的坐標(biāo)中含有參數(shù)，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算與位置關(guān)系來(lái)設(shè)置條件，進(jìn)而來(lái)確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)值.題目條件比較簡(jiǎn)單明了，難度也相應(yīng)簡(jiǎn)單，屬于基礎(chǔ)題.

而此類平面向量及其綜合應(yīng)用問(wèn)題，是高考中比較常見(jiàn)的考查方式.其依托平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量間位置關(guān)系（垂直）、平面向量的數(shù)量積等對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)知識(shí)，通過(guò)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與邏輯推理，可以從坐標(biāo)思維、幾何思維以及間接思維等相關(guān)思維方式來(lái)切入與應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)與方程思維來(lái)分析與求解對(duì)應(yīng)的參數(shù)值.

2 真題破解

2.1 坐標(biāo)思維

解法1：坐標(biāo)法1.

依題，結(jié)合a=（0，1），b=（2，x），可得b－4a=（2，x）－4（0，1）=（2，x－4）.

而b⊥（b－4a），則有b·（b－4a）=（2，x）·（2，x－4）=4+x（x－4）=（x－2）2=0，解得x=2.故選D.

解法2：坐標(biāo)法2.

依題，由于b⊥（b－4a），則有b·（b－4a）=b2－4a·b=0.

而a=（0，1），b=（2，x），可得b2=4+x2，a·b=（0，1）·（2，x）=x.

所以4+x2－4x=（x－2）2=0，解得x=2.

故選：D.

點(diǎn)評(píng)：依托題設(shè)條件中平面向量的坐標(biāo)場(chǎng)景，直接通過(guò)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，是解決此類平面向量問(wèn)題中最常見(jiàn)的思維方式.利用各向量的坐標(biāo)代入，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積等，并利用平面向量間的位置關(guān)系來(lái)構(gòu)建關(guān)系式，建立相應(yīng)的方程，為參數(shù)的求解創(chuàng)造條件.

2.2 幾何思維

解法3：幾何法.

依題，設(shè)OA=4a，OB=b，如圖1所示，此時(shí)|OA|=4，|OP|=2.

所以AB=b－4a，結(jié)合b⊥（b－4a），可得OB⊥AB，則知點(diǎn)B在以O(shè)A為直徑的圓上.

由b=（2，x），可知點(diǎn)B在直線PB：x=2上.

數(shù)形結(jié)合，可知PO，PB以為OA為直徑的圓的切線，所以x=|PB|=|PO|=2.

故選：D.

點(diǎn)評(píng)：依托題設(shè)條件中平面向量的線性運(yùn)算場(chǎng)景，合理構(gòu)建坐標(biāo)系下的平面幾何圖形，結(jié)合平面向量間的位置關(guān)系來(lái)確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，為進(jìn)一步的分析與應(yīng)用創(chuàng)造條件.幾何法的本質(zhì)就是借助幾何圖形直觀切入，并利用直觀想象與幾何性質(zhì)來(lái)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)直觀形象解題與應(yīng)用.

2.3 間接思維

解法4：逐一驗(yàn)證法.

對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)x=－2時(shí)，則知b=（2，－2），結(jié)合a=（0，1），可知b·（b－4a）=b2－4a·b=（4+4）－4×（－2）=16≠0，不符合題設(shè)條件，舍去；

對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)x=－1時(shí)，則知b=（2，－1），結(jié)合a=（0，1），可知b·（b－4a）=b2－4a·b=（4+1）－4×（－1）=9≠0，不符合題設(shè)條件，舍去；

對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)x=1時(shí)，則知b=（2，1），結(jié)合a=（0，1），可知b·（b－4a）=b2－4a·b=（4+1）－4×1=1≠0，不符合題設(shè)條件，舍去；

因此只能是選項(xiàng)D中的x=2符號(hào)題設(shè)條件.

故選：D.

點(diǎn)評(píng)：基于此類答案確定的單項(xiàng)選擇題，借助各選項(xiàng)中的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)來(lái)逐一驗(yàn)證與排除，也是解決問(wèn)題的一種比較常用的技巧方法.在實(shí)際逐一驗(yàn)證應(yīng)用時(shí)，只要通過(guò)各選項(xiàng)的逐一分析與排查，得到正確的結(jié)論后，往往就可以直接結(jié)束進(jìn)一步驗(yàn)證的步驟.在時(shí)間有空余時(shí)再驗(yàn)證還沒(méi)有驗(yàn)證的選項(xiàng)，取舍有度，合理把握.間接思維下的逐一驗(yàn)證法，看似繁雜，但也是處理此類問(wèn)題中比較常用的一種基本技巧方法.

3 變式拓展

3.1 同源變式

根據(jù)以上高考真題及其解析，回歸問(wèn)題本質(zhì)，借助參數(shù)值的求解與確定，通過(guò)平面向量的數(shù)量積的合理過(guò)渡與應(yīng)用，對(duì)平面向量的數(shù)量積加以深入研究與應(yīng)用，得到以下對(duì)應(yīng)的變式問(wèn)題.

變式1已知向量a=（0，1），b=（2，x），則b·（b－4a）的最小值為.

解析：依題，由于a=（0，1），b=（2，x），則有b2=4+x2，a·b=（0，1）·（2，x）=x.

所以b·（b－4a）=b2－4a·b=4+x2－4x=（x－2）2≥0，即b·（b－4a）的最小值為0.

故填答案：0.

其實(shí)，通過(guò)變式1及其解析過(guò)程，可以得到以下更一般的變式問(wèn)題.

變式2已知向量a=（0，1），b=（2，x），則b·（b－4a）的取值范圍是.

答案：[0，+∞）.

3.2 類比變式

在2024年的新高Ⅱ卷中也有相應(yīng)的考題，巧妙類比應(yīng)用與拓展.

變式3（2024年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·3）已知向量a，b滿足|a|=1，|a+2b|=2，且（b－2a）⊥b，則|b|=（）.

A.12

B.22

C.32

D.1

解析：依題，由（b－2a）⊥b，可得（b－2a）·b=b2－2a·b=0.

結(jié)合|a|=1，|a+2b|=2，可得|b|2=b2=2a·b=12（|a+2b|2－|a|2－4|b|2）=12（4－1－4|b|2），整理可得|b|2=12，解得|b|=22.

故選：B.

3.3 深度變式

合理挖掘高考真題的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)，巧妙拓展思維與深入應(yīng)用，加以進(jìn)一步的深度學(xué)習(xí)與變式拓展.

變式4平面向量a，b，c滿足|a|=|b|=a·b=2，|a+b+c|=1，則（a+c）·（b+c）的最小值是（）.

A.－3

B.3－23

C.4－23

D.－23

解析：由|a|=|b|=a＼5b=2，可得cos 〈a，b〉=a＼5b|a||b|=12，則有〈a，b〉=π3.

在平面直角坐標(biāo)系中，令a=（2，0），b=（1，3），設(shè)c=（x，y），

則知|a+b+c|=|（3+x，3+y）|=1，即（x+3）2+（y+3）2=1，其表示的是圓心為C（－3，－3），半徑為r=1的圓.

而（a+c）·（b+c）=（x+2，y）·（x+1，y+3）=（x+2）（x+1）+y（y+3）=x2+3x+2+y2+3y=x+322+y+322－1.

其中代數(shù)式x+322+y+322表示的是動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)M－32，－32的距離的平方，

而|CM|=－3+322+－3+322=3，則知|PM|min=3－1.

所以（a+c）·（b+c）的最小值是（3－1）2－1=3－23.

故選：B.

4 教學(xué)啟示

在解決平面向量數(shù)量積的求值與應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，借助平面幾何圖形與性質(zhì)，從平面向量知識(shí)入手，合理構(gòu)建與數(shù)量積有關(guān)的問(wèn)題，進(jìn)而從題設(shè)條件入手，合理尋覓并挖掘數(shù)量積的結(jié)構(gòu)特征與題設(shè)條件，從“數(shù)”的代數(shù)屬性或“形”的幾何直觀等視角切入與應(yīng)用，合理進(jìn)行恒等變形與轉(zhuǎn)化.

求解平面向量數(shù)量積的求值與綜合應(yīng)用問(wèn)題中，對(duì)于既涉及“數(shù)”的基本屬性又涉及“形”的幾何特征問(wèn)題，解題時(shí)往往可以“數(shù)”或“形”單獨(dú)切入與應(yīng)用，也可以“數(shù)”“形”結(jié)合，從多個(gè)層面、多個(gè)視角來(lái)切入與應(yīng)用，為問(wèn)題的分析與解決提供更加多樣的數(shù)學(xué)思維，更加有利于發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

特別在實(shí)際解題與應(yīng)用過(guò)程中，合理借助平面向量數(shù)量積的求值與應(yīng)用問(wèn)題的解題經(jīng)驗(yàn)的積累與技巧方法的應(yīng)用，選取行之有效的數(shù)學(xué)思維方法與對(duì)應(yīng)的技巧策略，實(shí)現(xiàn)平面向量數(shù)量積的求值與應(yīng)用問(wèn)題的求解，從而有效養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提升數(shù)學(xué)解題能力，拓展數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新思維.