“數”“形”思維切入，位置關系突破

摘要：基于直線與圓錐曲線的位置關系，特別是有關相交或相切的問題，是高考命題的一個常見考點.結合一道直線與雙曲線相交的高考試題，從“數”與“形”的視角來切入，合理剖析與應用，歸納總結解題技巧與策略方式，指導數學教學與解題研究.

關鍵詞：直線；雙曲線；相交；斜率；方程

在圓錐曲線的綜合應用問題中，有關直線與圓錐曲線之間的位置關系以及與之相關的綜合應用問題，成為歷年高考命題中的一個基本考點.基于直線與圓錐曲線的相交、相切等位置關系以及對應的綜合應用問題，創設形式多變，內涵豐富精彩，是高考中的一個熱點與難點，以各種題型滲透到試卷中去.本文中結合2024年高考數學北京卷第13題的解法探究及拓展，給出相應的教學啟示.

1 真題呈現

高考真題（2024年高考數學北京卷·13）已知雙曲線x24－y2=1，則過（3，0）且和雙曲線只有一個交點的直線的斜率為.

此題以已知雙曲線的方程為問題場景，結合一個已知點在雙曲線內部（包含雙曲線焦點的區域），通過設置過該已知點且和雙曲線只有一個交點的直線的斜率確定來設置問題，全面考查直線與雙曲線的位置關系，以及相應的函數與方程思想，邏輯推理與數學運算能力等.

在實際解決問題中，可以結合平面解析幾何的基本知識，從“數”的視角切入，利用設線思維來轉化與應用；也可以結合平面幾何的直觀形象，從“形”的視角切入，利用幾何思維來直觀分析與邏輯推理等.或從“數”的視角進行數學運算，或以“形”的視角進行直觀想象等，這是解決此類問題中比較常見的一些基本技巧與方法.

2 真題破解

2.1 “數”的視角

解決直線與圓錐曲線的位置關系問題時，回歸“數”的本質，借助直線或圓錐曲線方程的設置，結合直線與圓錐曲線方程的聯立，消參并轉化為方程問題，借助方程這一代數思維來分析與處理.

解法1：設線法1.

依題意，聯立直線x=3與雙曲線x24－y2=1，解得y=±52，不符合題意，這表明滿足題意的直線的斜率一定存在.

設所求直線的斜率為k，則過點（3，0）且斜率為k的直線方程為y=k（x－3），聯立y=k（x－3），x24－y2=1，化簡并整理可得（1－4k2）x2+24k2x－36k2－4=0.

由題意，得1－4k2=0或Δ=（24k2）2+4（1－4k2）＼5（36k2+4）=0.

解得k=±12或無解，即k=±12.經檢驗，符合題意.

故填答案：±12.

點評：根據直線與雙曲線的位置關系來探究二者之間的交點問題，是處理此類問題中最為常用的基本方法.在實際解題過程中，首先要確定直線斜率的存在性，合理加以分類討論，進而通過設出直線方程，聯立雙曲線方程，根據交點個數與方程根的情況列式即可求解，實現問題的突破與轉化.

解法2：設線法2.

依題，設過點（3，0）的直線方程為x=my+3，聯立x=my+3，x24－y2=1，化簡并整理可得（m2－4）y2+6my+5=0.

由題意，得

m2－4=0或Δ=（6m）2－20（m2－4）=0.

解得m=±2或無解，即m=±2，經檢驗，符合題意.當m=±2時，可得對應的直線方程為x=±2y+3，其對應的直線的斜率為±12.

故填答案：±12.

點評：根據直線與雙曲線的位置關系，從另一個角度來設線處理，也是解決此類問題中比較常用的一種“通性通法”.這樣可以有效回避直線的斜率是否存在的分類討論，給問題求解的完整性與一致性創造條件.同時，相比較于解法1中的設線法，此解法的數學運算量更小，處理起來更加簡捷方便.

2.2 “形”的視角

解決直線與圓錐曲線的位置關系問題時，挖掘“形”的結構，利用直線與圓錐曲線的圖形的結構特征與幾何性質，從圖形的直觀視角來分析與探究，借助圖形特征這一幾何思維來分析與處理.

解法3：數形結合法.

由雙曲線方程x24－y2=1，可知其漸近線方程為x2±y=0，即y=±x2.

根據雙曲線的幾何特征，點（3，0）在雙曲線的右支內，則可知過（3，0）且和雙曲線只有一個交點的直線與雙曲線的漸近線平行.

所以所求直線的斜率為±12.

故填答案：±12.

點評：依托雙曲線的方程自身這一“數”的基本形式，結合題設中過雙曲線的一支內一點作直線與雙曲線相交，要確定相應交點的個數，必須心里有“形”的結構特征與直觀圖形，借助平面解析幾何的基本性質，數形結合抓住問題的本質與內涵，巧妙直觀形象，合理加以解題分析與邏輯推理.同時，數形結合這一“形”的思維視角，也為問題的進一步變式與拓展創造了條件.

3 變式拓展

3.1 簡化變式

變式1已知雙曲線x24－y2=1，則過P（3，0）且和雙曲線只有一個交點的直線有條.

解析：依題，由于點（3，0）在雙曲線內部（包含雙曲線焦點的區域），而過（3，0）且和雙曲線只有一個交點的直線，數形結合可知其與雙曲線的漸近線平行.

因此滿足條件的直線有2條.故填答案：2.

3.2 深化變式

變式2已知雙曲線x24－y2=1，則過P（3，0）且和該雙曲線的右支只有一個交點的直線的斜率的取值范圍為.

解析：根據題設條件可知，該雙曲線的漸近線方程為x2±y=0，整理可得y=±x2.

數形結合可知，當過點（3，0）的兩條直線分別平行于該雙曲線的兩條漸近線時，此時只有一個交點（因為雙曲線與漸近線無限接近，此時直線斜率為±12）.

所以斜率的取值范圍在區間－12，12（兩條直線之間）上的所有直線，都與雙曲線的右支只有一個交點，即直線的斜率的取值范圍是－12，12.

故填答案：－12，12.

4 教學啟示

4.1 知識歸納，拓展提升

把握直線與圓錐曲線的位置關系中的特殊情形：當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線只有一個交點（不是相切情形）；當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線只有一個交點（不是相切情形）.

特別要注意的是，直線與雙曲線（或拋物線）只有一個交點中，除了以上兩種情形外，還有直線與雙曲線（或拋物線）相切的情況.在實際解題過程中，要注意挖掘問題的內涵與實質，考慮問題要全面周到.

4.2 方法歸納，靈活應用

解決此類涉及直線與圓錐曲線的位置關系及其綜合應用問題時，借助曲線自身的代數關系屬性與圖形結構特征，或從代數視角切入，利用曲線方程從代數思維加以推理與應用，或從幾何視角切入，利用曲線圖形從幾何思維加以直觀分析與應用.借助代數與幾何的不同思維視角，可給問題的破解創造更多的思維方式與技巧方法，從而發散數學思維，提升數學關鍵能力.