2022年高考全國卷第14題解法的五個視角

摘要：對一個數學問題能夠從多角度、多視角去探究，有利于我們能切實掌握問題的本質內涵，提高我們靈活解題的能力.

關鍵詞：切線定義;兩直線的夾角的斜率計算公式;共交點直線系;四點共圓

（2022年高考全國卷第14題）寫出與圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程.

本題是求兩個圓的公切線方程，那么首先要確定兩個圓的位置關系是相離、相交還是相切（分內切和外切），進而確定兩個圓存在幾條公切線，然后求解.

1 “圓的切線定義”視角

根據直線與圓相切的定義可知，直線與圓有且只有一個公共點，它等價于直線與圓的方程聯立的方程組只有一個解.

解法一：設圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16的圓心和半徑分別為C1，r1和C2，r2，則C1（0，0），r1=1，C2（3，4），r2=4.

因為|C1C2|=（3-0）2+（4-0）2=5，r1+r2=5，即|C1C2|=r1+r2，

所以圓C1與圓C2外切，因此圓C1與圓C2存在三條公切線.

又因為圓心C1到直線l1：x=-1的距離d1=r1=1，所以直線l1與圓C1相切；圓心C2到直線l1：x=-1的距離d2=r2=4，所以直線l1與圓C2相切.所以，直線l1：x=-1是圓C1與圓C2的一條公切線.

聯立圓C1與圓C2的方程，得到

x2+y2=1，（x-3）2+（y-4）2=16，

①②

由②-①，整理得圓C1與圓C2的公切線

l2：3x+4y-5=0.

連心線C1C2的方程為y=43x，聯立直線l1與連心線C1C2的方程，由x=-1，y=43x，解得x=-1，y=-43，則直線l1與連心線C1C2的交點坐標為-1，-43.

設圓C1與圓C2公切線l3：y=kx+b，聯立l3與圓C1的方程得到y=kx+b，x2+y2=1，化簡整理，得

（k2+1）x2+2kbx+b2-1=0.

所以Δ=（2kb）2-4（k2+1）（b2-1）=0，整理得k2-b2+1=0.又因為直線l3：y=kx+b經過點-1，-43，所以-43=-k+b.聯立方程得到k2-b2+1=0，-k+b=-43，解得k=724，b=-2524，所以公切線l3的方程為y=724x-2524，即7x-24y-25=0.

點評：該解法中應用了圓的切線定義來解題，直線與圓的方程構成的方程組只有一個解等價于一元二次方程只有一個實數解，因而判別式Δ=0.

2 “圓心到切線的距離等于半徑”視角

利用點到直線的距離公式，計算圓心到切線的距離d，由d與半徑r相等列等式求解.

解法二：設圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16的圓心和半徑分別為C1，r1和C2，r2，則C1（0，0），r1=1和C2（3，4），r2=4.

因為|C1C2|=（3-0）2+（4-0）2=5，r1+r2=5，即|C1C2|=r1+r2，

所以圓C1與圓C2外切，因此圓C1與圓C2存在三條公切線.

又因為圓心C1到直線l1：x=-1的距離d1=r1=1，所以直線l1與圓C1相切；圓心C2到直線l1：x=-1的距離d2=r2=4，所以直線l1與圓C2相切.所以，直線l1：x=-1是圓C1與圓C2的一條公切線.

聯立圓C1與圓C2的方程，得到

x2+y2=1，（x-3）2+（y-4）2=16，①②

由②-①，整理得圓C1與圓C2的公切線

l2：3x+4y-5=0.

連心線C1C2的方程為y=43x，聯立直線l1與連心線C1C2的方程得x=-1，y=43x，解得x=-1，y=-43，則直線l1與連心線C1C2的交點坐標為-1，-43.設圓C1與圓C2公切線l3：y+43=k（x+1），即kx-y+k-43=0，所以k-43k2+1=1，解得k=724.

所以圓C1與圓C2公切線l3：7x-24y-25=0.

點評：解法二中應用了直線與圓相切的一個基本性質，即圓心到切線的距離等于半徑.

3 “圓的兩條公切線分別與連心線的夾角相等”視角

利用兩直線的夾角的斜率計算公式，結合圓心到切線的距離等于半徑求解.

解法三：設圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16的圓心和半徑分別為C1，r1和C2，r2，則C1（0，0），r1=1和C2（3，4），r2=4.

因為|C1C2|=（3-0）2+（4-0）2=5，r1+r2=5，即|C1C2|=r1+r2，

所以圓C1與圓C2外切，因此圓C1與圓C2存在三條公切線.

聯立圓C1與圓C2的方程，得到

x2+y2=1，（x-3）2+（y-4）2=16，①②

由②-①，整理得圓C1與圓C2的公切線

l2：3x+4y-5=0.

由于公切線l1，連心線C1C2，公切線l3相交于一點，設公切線l1與連心線C1C2的夾角為α，連心線C1C2與公切線l3的夾角為β，則α=β，并且tan α=r2-r1|C1C2|2-（r2-r1）2=34.

由于連心線C1C2的斜率k1=43，設公切線l1或l3的斜率為k，那么tan α=k1-k1+k1k.

由43-k1+43k=34，解得k=724或k不存在.

當k=724時，設公切線l3：y=724x+b，即7x-24y+24b=0，則

|24b|72+242=1，|7×3-24×4+24b|72+242=4.

解得b=-2524.

所以公切線l3：7x-24y-25=0.

當k不存在時，設公切線l1：x=m.

由|m|=1，|m-3|=4，解得m=-1.

所以公切線l1：x=-1.

點評：此解法適用于兩條公切線的方程都未知的情況下求公切線方程，利用公切線與連心線夾角的性質來解題.

4 “圓的兩條公切線與連心線形成的共交點直線系”視角

若l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，

則直線l3：A1x+B1y+C1+λ（A2x+B2y+C2）=0（λ≠0）就是過l1與l2交點的直線.

解法四：設圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16的圓心和半徑分別為C1，r1和C2，r2，則C1（0，0），r1=1和C2（3，4），r2=4.

因為|C1C2|=（3-0）2+（4-0）2=5，r1+r2=5，即|C1C2|=r1+r2，

所以圓C1與圓C2外切，因此圓C1與圓C2存在三條公切線.

又因為圓心C1到直線l1：x=-1的距離d1=r1=1，所以直線l1與圓C1相切；圓心C2到直線l1：x=-1的距離d2=r2=4，所以直線l1與圓C2相切.所以，直線l1：x+1=0是圓C1與圓C2的一條公切線.

聯立圓C1與圓C2的方程，得到

x2+y2=1，（x-3）2+（y-4）2=16，

①②

由②-①，整理得圓C1與圓C2的公切線

l2：3x+4y-5=0.

連心線C1C2的方程為y=43x，即4x-3y=0.由于公切線l1、連心線C1C2、公切線l3相交于一點，因此設公切線l3：x+1+λ（4x-3y）=0（λ≠0），即（1+4λ）x-3λy+1=0.

由公切線性質，得

1（1+4λ）2+（-3λ）2=1，|（1+4λ）×3-3λ×4+1|（1+4λ）2+（-3λ）2=4，

解得λ=-825.

所以公切線l3：7x-24y-25=0.

點評：圓的兩條公切線與連心線相交于與一點，形成共點直線系.

5 “四點共圓”視角

兩公切線與同一個圓的兩個切點、這兩條公切線的交點及圓心四點共圓，根據條件求出此圓的方程，將此圓方程與原圓的方程聯立，解方程組得到兩圓的交點坐標，即直線與圓的切點.

解法五：設圓x2+y2=1和（x-3）2+（y-4）2=16的圓心和半徑分別為C1，r1和C2，r2，則C1（0，0），r1=1和C2（3，4），r2=4.

因為|C1C2|=（3-0）2+（4-0）2=5，r1+r2=5，即|C1C2|=r1+r2，

所以圓C1與圓C2外切，因此圓C1與圓C2存在三條公切線.

又因為圓心C1到直線l1：x=-1的距離d1=r1=1，所以直線l1與圓C1相切；圓心C2到直線l1：x=-1的距離d2=r2=4，所以直線l1與圓C2相切.所以直線l1：x=-1是圓C1與圓C2的一條公切線.

聯立圓C1與圓C2的方程，得到

x2+y2=1，（x-3）2+（y-4）2=16，

①②

由②-①，整理得圓C1與圓C2公切線

l2：3x+4y-5=0.

連心線C1C2的方程為y=43x，聯立直線l1與連心線C1C2的方程得x=-1，y=43x，解得x=-1，y=-43，則直線l1與連心線C1C2的交點為D-1，-43.顯然公切線l1與圓C1相切于點E（-1，0）.設公切線l3與圓C1相切于點F（x，y），因為∠DEC1=∠DFC1=90°，所以D，E，C1，F四點共圓.設四邊形DEC1F的外接圓的圓心為O1，半徑為R，則O1為線段DC1的中點，

半徑R=12|DC1|.

所以O1-12，-23，且

R=（-1）2+-4322=56.

因此圓O1的方程為x+122+y+232=2536.

聯立圓O1與圓C1的方程，可得

x+122+y+232=2536，x2+y2=1，

解得x=725，y=-2425，或x=-1，y=0.

所以F725，-2425.

又因為l3也經過點D-1，-43，

所以公切線l3：7x-24y-25=0.

點評：求直線與圓的切點坐標可轉化為解圓O1與圓C1構成的方程組，則方程組的解就是切點坐標，從而求出切線方程.