一道不易分離變量的二元變量最值問題解法探究

存在約束關系的二元變量最值的題，是一種常見的題型，一般情況下都可以用公式法、消元法、導數法等求其最值.但是對有約束條件但不易分離變量的二元變量最值問題上述幾種方法都不適用，需要我們另辟蹊徑，本文中以一道這樣的題目為例，賞析它的幾種不同的解法，體會這種題型存在的解題規律.

例（江蘇省“百校大聯考”高三年級第一次考試）已知正實數x，y滿足xy（x－y）=4，則x+y的最小值為.

思路一：采用換元法.

換元法是一種常用方法，利用換元法可以實現化難為易的目的.本題可以根據題設條件及目標式的結構特點，采用以下幾種不同的換元方法.

方法一：整體換元.

解法1：因為x，y為正實數，xy（x－y）=4>0，所以x－y>0.設x－y=a（a＞0），x+y=b（b＞0），則x=a+b2，y=b－a2，所以a+b2·b－a2·a=4，

即a（b2－a2）=16，所以b2=16a+a2.

設f（a）=16a+a2（a>0），則f′（a）=－16a2+2a

=2（a－2）（a2+2a+4）a2.令f′（a）=0，則a=2.

當a∈（0，2）時，f′（a）<0，函數f（a）在（0，2）上單調遞減；當a∈（2，+∞）時，f′（a）>0，函數f（a）在區間（2，+∞）上單調遞增.

所以f（a）min=f（2）=12，即（b2）min=12.

又b＞0，所以bmin=23.

故x+y的最小值為23.

點評：已知條件xy（x－y）=4中變量x，y不易分離，注意到x－y與x+y都是二元一次多項式，因此對其進行整體換元，引進新變量，用新變量表示變量x，y，將已知條件轉化為新變量后可以實現變量的分離，從而將求x+y的最小值問題轉化為求函數的最小值問題.

方法二：均值換元.

解法2：設x=a+t，y=a－t，則x－y=2t，x+y=2a.因為xy（x－y）=4，所以（a+t）·（a－t）·2t=4，即t（a2－t2）=2.又由題意得a>t>0，所以a2=2t+t2

=1t+1t+t2≥331t·1t·t2=3，當且僅當1t=t2，即t=1時，取等號，所以a的最小值為3.故x+y的最小值為23.

點評：對于題中出現項x+y，x－y，xy時可以考慮對變量x，y進行均值換元，引進新變量a，t，其中a為變量x，y的均值，將已知條件轉化為用新變量表示后，可以實現變量a，t的分離，從而將求x+y的最小值問題轉化為求函數的最小值問題.

方法三：比值換元.

解法3：由題意知x>y>0，設yx=k，則y=kx（0<k<1）.因為xy（x－y）=4，則有x·kx·（x－kx）=4，即k（1－k）x3=4，所以x3=4k（1－k），因此（x+y）3=（x+kx）3

=（1+k）3x3=4（1+k）3k（1－k）.

設f（k）=4（1+k）3k（1－k）（0<k<1），則

f′（k）=－4（k+1）2（k2－4k+1）k2（1－k）2.

令f′（k）=0，得k=2－3.

當k∈（0，2－3）時，f′（k）<0，函數f（k）在區間（0，2－3）上單調遞減；當k∈（2－3，1）時，f′（k）>0，函數f（k）在區間（2－3，1）上單調遞增.

所以f（k）min=f（2－3）=243=（23）3.

故x+y的最小值為23.

點評：比值換元這種方法比較常用，利用比值代換，引進新變量，將已知條件與待求結論轉化為用新變量表示后，實現了二元變量同一元變量的轉化，從而將求x+y的最小值問題轉化為求函數的最小值問題.

方法四：三角換元.

解法4：由題意可知x－y>0，又（x－y）2+（2xy）2=（x+y）2，以線段x－y，2xy，x+y為邊長，能夠構成一個直角三角形，所以可以假設x－y=（x+y）sin θ，2xy=（x+y）cos θ，其中θ∈0，π2.

由xy（x－y）=4，得

（x+y）cos θ22·（x+y）sin θ=4.

所以（x+y）3=16sin θcos 2θ.設f（θ）=sin θcos 2θ0<θ<π2，即f（θ）=sin θ（1－sin 2θ），則有f′（θ）=cos θ（1－3sin 2θ）.令f′（θ）=0，得sin θ=33.

設sin θ0=330<θ0<π2，則當θ∈（0，θ0）時，f′（θ）>0，函數f（θ）在區間（0，θ0）上單調遞增；當θ∈θ0，π2時，f′（θ）<0，函數f（θ）在區間θ0，π2上單調遞減.所以f（θ）max=f（θ0）=sin θ0（1－sin 2θ0）=239，則（x+y）3min=16239=243.

故x+y的最小值為23.

點評：變量x－y，xy，x+y滿足（x－y）2+（2xy）2=（x+y）2，因此可以利用三角代換引進新變量，將二元變量轉化為一元變量，從而將求x+y的最小值轉化為求函數的最小值.

思路二：利用齊次化的方法.

齊次化也是求最值的一種常用方法，構造齊次分式，實現二元變量向一元變量的轉化.

解法5：xy（x－y）（x+y）3=xyxy－1xy+13，設xy=t，則xy（x－y）（x+y）3=t（t－1）（t+1）3.由題意知x>y>0，所以t>1.設f（t）=t（t－1）（t+1）3（t>1），則f′（t）=－t2－4t+1（t+1）4，令f′（t）=0，得t=2+3.所以當t∈（1，2+3）時，f′（t）>0，函數f（t）在區間（1，2+3）上單調遞增；當t∈（2+3，+∞）時，f′（t）<0，函數f（t）在區間（2+3，+∞）上單調遞減.所以f（t）max=f（2+3）=318，即xy（x－y）（x+y）3max=318.又xy（x－y）=4，所以（x+y）3min=243.

故x+y的最小值為23.

點評：由于xy（x－y）為三次，x+y為一次，因此可以構造齊次分式xy（x－y）（x+y）3，然后通過分子、分母同除以x3或y3進行換元，將二元變量轉化為一元變量，求出其最大值，進一步可求出x+y的最小值.

思路三：利用已知條件與未知結論之間的關系.

已知條件與未知結論之間往往存在關聯，利用這種關系可以實現問題的轉化.

解法6：由xy（x－y）=4，得x－y=4xy.

又x>0，y>0，所以

（x+y）2=（x－y）2+4xy=16x2y2+4xy=16x2y2+2xy+2xy≥3316x2y2·2xy·2xy=12.

所以x+y≥23，當且僅當16x2y2=2xy，xy（x－y）=4，即x=3+1，y=3－1時，等號成立.

故x+y的最小值為23.

點評：將xy，x－y，x+y都分別看作一個整體變量，已知條件中的xy，x－y與未知結論中的x+y三者之間存在的關系為xy（x－y）=4，（x+y）2=（x－y）2+4xy，因此可以用變量xy表示變量x－y，x+y，將求變量x+y的最小值轉化為求關于變量xy的函數的最小值.

對于存在約束關系，但不易分離變量的二元變量的最值問題，通常可以采用上述二種思路，求解時要抓住題目的結構特點，運用恰當的解法解決.這種題型的求解規律為：利用換元法轉化成可分離變量的二元變量問題、一元變量問題，或者構造齊次分式轉化成一元變量問題，或者根據已知條件與未知結論之間存在的關系轉化成一元變量問題，再利用導數或均值不等式求最值.