關注知識交匯 “圓”來并不簡單

摘要：基于《中國高考評價體系》提出的綜合性的要求，文章從福建省部分地市2023屆第一次質檢第8題談起，探析解析幾何中幾類圓錐曲線與圓交匯的問題，分析求解策略.

關鍵詞：知識交匯；圓；求解策略

研究近幾年高考數學試題，不難發現在解析幾何的考查中，圓一般出現在選擇題或填空題中，經常通過與其他圓錐曲線交匯的形式進行考查.2023屆福建省質檢第8題即為雙曲線與圓交匯的問題，體現了綜合性與創新性，是高三復習備考很好的素材.本文中從該題談起，探析解析幾何中幾類圓錐曲線與圓交匯問題的求解策略.

1 題目呈現

例雙曲線C：y23－x2=1的下焦點為F，過F的直線l與C交于A，B兩點，若過A，B和點M（0，7）的圓的圓心在x軸上，則直線l的斜率為（）.

A.±102

B.±2

C.±1

D.±32

本題主要考查圓與雙曲線的方程、直線與圓、直線與雙曲線的位置關系等基礎知識，考查數形結合思想、化歸與轉化思想、函數與方程思想，考查運算求解能力、空間想象能力，考查邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養.

由于本題涉及圓與雙曲線的交匯問題，學生較難通過分析圖形特征找到解決問題的切入點；或是未能找到解決問題的較好途徑，面對較大的運算量而無從下手.

2 解法探究

上述題目有如下幾種解法.

解法1：因為過點A，B，M的圓的圓心在x軸上，所以設圓的方程為x2+y2+Dx+F=0.又因為圓過點M（0，7），所以F=－7.

設A（x1，y1），B（x2，y2）.

易知x21+y21+Dx1－7=0.又y21=3+3x21，所以4x21+Dx1－4=0.

同理4x22+Dx2－4=0.

所以x1，x2為方程4x2+Dx－4=0的兩根，則x1x2=－1.

顯然F（0，－2），設直線l的斜率為k，故可設l的方程為y=kx－2，代入y2=3+3x2得

（k2－3）x2－4kx+1=0.

于是x1x2=1k2－3.

所以1k2－3=－1，解得k=±2.

故選：B.

評注：分析圓的特征，設圓的一般方程x2+y2+Dx－7=0，以A（x1，y1），B（x2，y2）兩點既在圓上又在雙曲線上這一特征尋找解題突破口.先利用圓的性質，得x1x2=－1，再根據直線與雙曲線的位置關系得到x1x2=1k2－3，從而求得直線l的斜率.

解法2：設過三點A，B，M的圓的圓心為（m，0），A（x1，y1），B（x2，y2）.

依題意有（m－x1）2+y21=m2+7，又y21=3+3x21，所以

2x21－mx1－2=0.①

同理，

2x22－mx2－2=0.②

①-②，得

2（x1+x2）（x1－x2）－m（x1－x2）=0.

顯然x1－x2≠0，所以2（x1+x2）=m.

①+②，得

2（x21+x22）－m（x1+x2）－4=0.

③

把m=2（x1+x2）代入③式，得x1x2=－1.

下同解法1.

評注：本解法類似解法1，分析圓的特征，從圓的標準方程突破，得到A（x1，y1），B（x2，y2）兩點坐標間的關系，即x1x2=－1，后面的思路同解法1.

解法3：因為過點A，B，M的圓的圓心在x軸上，所以M關于原點的對稱點N（0，－7）也在該圓上.

由F（0，－2）及相交弦定理，得

|FA|·|FB|=|FM|·|FN|=（7+2）（7－2）=3.

設A（x1，y2），B（x2，y2），直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=kx－2，代入y2=3+3x2得

（k2－3）x2－4kx+1=0.

于是x1x2=1k2－3.

依題顯然x1x2<0，所以|x1x2|=13－k2.

所以可得|FA|·|FB|=（1+k2|x1|）·（1+k2|x2|）=（1+k2）|x1x2|=1+k23－k2=3.

解得k=±2.

故選：B.

評注：根據圓的對稱性，得N（0，－7）也在該圓上，進而利用相交弦定理得到兩條焦半徑的乘積，即|FA|·|FB|=3，又根據弦長公式把|FA|·|FB|用直線l的斜率來表示，從而求得斜率的值.

3 變式拓展

3.1 橢圓與圓交匯

題1已知A，B分別為橢圓C：x24+y2=1的左、右頂點，P為橢圓C上一動點，PA，PB與直線x=3交于M，N兩點，△PMN與△PAB的外接圓的周長分別為L1，L2，則L1L2的最小值為（）.

A.54

B.34

C.24

D.14

解：由已知，得A（－2，0），B（2，0）.設P（x，y），則kPA=y－0x+2，kPB=y－0x－2.

所以kPA·kPB=y－0x+2·y－0x－2=y2（x+2）（x－2）=y2x2－4=1－x24x2－4=－14.

設直線PA方程為y=k（x+2），則直線PB方程為y=－14k（x－2），根據對稱性設k>0.

令x=3，得yM=5k，yN=－14k，則M（3，5k），N3，－14k.

所以MN=5k+14k.

設△PMN與△PAB的外接圓的半徑分別為r1，r2，則

2r1=MNsin ∠MPN，2r2=ABsin ∠APB.

易得sin ∠MPN=sin ∠APB，則L1L2=2πr12πr2=r1r2=MNAB=5k+14k4≥25k·14k4=54，

當且僅當5k=14k，即k=510時，等號成立.

所以L1L2的最小值為54.

故選：A.

3.2 雙曲線與圓交匯

題2如圖1，F1，F2分別是雙曲線x2a2－y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點，P是雙曲線與圓x2+y2=a2+b2在第二象限的一個交點，點Q在雙曲線上，且F1P=12F2Q，則雙曲線的離心率為（）.

A.102

B.2

C.3

D.173

答案：D.

3.3 拋物線與圓交匯

題3已知點M（0，4），點P在拋物線x2=8y上運動，點Q在圓x2+（y－2）2=1上運動，則PM2PQ的最小值為（）.

A.2

B.83

C.4

D.163

答案：C.

《中國高考評價體系》明確指出“四翼”的高考考查要求，即分別從基礎性、綜合性、應用性、創新性的角度對素質教育的目標進行評價.其中，綜合性要求對不同層面的知識、能力、素養能夠縱向融會貫通[1].涉及幾個知識交匯的綜合問題，往往需要充分結合幾個模塊的知識，厘清知識的“結合處”，往往是解決這類問題的突破口，如在以上例題中從圓與雙曲線的交點處尋求解題突破口.教師在指導學生復習備考可適時引導、歸納.

參考文獻：

［1］教育部考試中心.中國高考評價體系[M].北京：人民教育出版社，2019.