消元處理，整體代換，巧妙構建：雙變量問題的破解技巧

摘要：涉及“雙變量”或“雙參”的綜合應用問題是高考數學壓軸題中一類基本應用類型，合理總結與歸納破解此類問題的技巧方法與解題思路是關鍵所在.結合實例，就破解此類問題的消元處理、整體代換、巧妙構建三種常用技巧方法加以剖析，助力師生的數學教學與學習以及解題研究.

關鍵詞：雙變量；消元；整體；同構；函數；不等式

近年的高考數學試題中經常涉及“雙變量”或“雙參”的相關問題，此類問題主要涉及函數與導數、不等式等模塊知識，能力要求高，綜合性強，難度較大，往往是一些壓軸題的重要場景，倍受各方關注.

此類問題中，對于在某個取值范圍內可以任意變動的“雙變量”或“雙參”，由于兩個變量都在“變”，往往導致無法展開思路，造成無從下手，是師生在數學教學與學習過程中感到比較困惑的難點之一.

破解此類雙變量問題的技巧方法比較常見的有消元處理、整體代換、巧妙構建等，這些都是解決此類問題中比較常用的思維方式與解題技巧.本文中結合實例，就破解此類雙變量問題的技巧方法與解題思路加以剖析，旨在拋磚引玉.

1 變更主元，消元處理

根據題設條件中的“雙變量”或“雙參”，因地制宜，直接選取其中一個變量作為“主元”（另一個變量自動為輔元），結合消元處理轉化為涉及該“主元”的關系式，變更一元思路，將另一個變量作為自變量加以合理轉化，從而巧妙將雙變量問題消元處理轉化為單變量問題，再結合相關知識來分析與處理.

例1〔2023屆江蘇省鹽城市第一中學高三上學期學情調研（二）數學試題·16〕已知函數f（x）=2ln（ax+b）（a，b∈R），若直線y=x與曲線y=f（x）相切，則ab的最大值為.

分析：根據題設條件，通過導數的幾何意義來合理構建對應的關系式，利用關系式的結構特征進行消元處理，進而采用變更參數思維，以參數a為“主元”構建所求代數式的單變量表達式，結合代數式的結構特征，利用切線不等式加以合理放縮，進而確定對應代數式的最值.

解：設直線y=x與曲線y=f（x）相切于點P（x0，2ln（ax0+b））.

因為f′（x）=2aax+b，則結合導數的幾何意義可知f′（x0）=2aax0+b=1，所以ax0+b=2a（a>0）.

又點P在切線y=x上，所以2ln（ax0+b）=x0.

所以x0=2ln（ax0+b）=2ln 2a，則b=2a－ax0=2a－2aln 2a.

于是，有ab=2a2－2a2ln 2a（a>0）.

結合切線不等式“ln x≤xe，當且僅當x=e時等號成立”，可得

ab=2a2－2a2ln 2a=2a2（1－ln 2a）=a2·lne2a2≤a2·e2a2·1e=e4，當且僅當e2a2=e，即a=e2時等號成立，

則ab的最大值為e4.

故填答案：e4.

點評：涉及“雙變量”或“雙參”的相關問題，利用相關的知識加以消元處理，在消元并轉化為同一“主元”問題時，利用單變量表達式的恒等變形與對應的結構特征，或利用一些重要的不等式（基本不等式、柯西不等式、切線不等式等）進行必要的放縮變形，或利用函數的構建來應用，這些都是確定代數式最值問題中比較常用的技巧方法.

2 變量歸一，整體代換

由已知題設條件入手，尋找題設中對應的“雙變量”滿足的關系式，借助“雙變量”之間的和（或差）式、積（或商）式以及線性關系式等代數式進行整體思維與變量代換，從而引入第三個參數，把含“雙變量”的問題轉化為含單變量的問題，再結合函數與導數、不等式等及其相關知識來分析與處理.

例2〔2022年安徽省安慶市高三模擬考試（二模）〕若存在兩個正實數x，y使得x（2+ln x）=xln y－ay恒成立，則a的取值范圍為（）.

A.0，1e2

B.－∞，1e2

C.0，1e3

D.－∞，1e3

分析：根據題設條件，對恒成立的等式加以變形與等價轉化，巧妙分離參數，進而確定所求參數中的雙變量表達式;通過整體思維，結合比值進行巧妙換元處理，從而借助構建一個新函數，結合函數與導數的應用，通過函數的單調性、極值以及最值等的應用來確定對應的參數的取值范圍問題.

解：依題意，原等式可變形為2+ln x=ln y－ayx

，即ln yx－2=ayx，亦即a=ln yx-2yx.

令yx=t（t>0），構建函數f（t）=ln t-2t，求導可得f′（t）=3-ln tt2.

令f′（t）=0，解得t=e3.

當t∈（0，e3）時，f′（t）>0，函數f（t）在區間（0，e3）上單調遞增；當t∈（e3，+∞）時，f′（t）<0，函數f（t）在區間（e3，+∞）上單調遞減.

所以f（t）max=f（e3）=1e3，且當t→0時，f（t）→－∞，所以a≤1e3.

故選擇答案：D.

點評：解決涉及雙變量的問題時，經常借助雙變量之間的代數關系式（和、差、積、商等）來整體換元，從而為構建一個新函數及其相關的應用提供條件，把對應的多變量問題轉化為常規的數學問題來處理.在整體代換前，經常要對問題進行等價轉化，構建雙變量所對應的關系式，通過分析雙變量的結構特征，利用變量歸一思想進行整體化思維[1].

3 變形同構，巧妙構建

借助題設條件中的關系式或不等式等加以等價變形，尋找對應等式或不等式兩邊的關系式的結構特征，尋覓同型，合理同構，巧妙構建對應的函數，吻合數學的一致性原則，進而借用導數及其應用，判斷新函數的單調性，從而求其極值或最值，結合題目加以合理分析與處理.

例3（2022年江西省新八校高考數學第二次聯考試卷節選）已知函數f（x）=ln x+x2－3x，對于任意x1，x2∈[1，10]，當x1<x2時，不等式f（x1）－f（x2）>m（x1-x2）x1x2恒成立，求實數m的取值范圍.

分析：根據題設中恒成立的不等式進行同參數組合的等價變形，借助同構函數，結合函數單調性來逆向確定導函數的正負取值問題，合理分離參數，進一步構建函數，借助函數與導數的應用，利用函數的單調性等來確定相應的最值，得以求解參數的取值范圍.

解：依題意，將不等式f（x1）－f（x2）>m（x1-x2）x1x2等價轉化為f（x1）－f（x2）>mx2－mx1.繼續變形，可得f（x1）+mx1>f（x2）+mx2.①

根據以上變形不等式，同構函數g（x）=f（x）+mx=ln x+x2－3x+mx，x∈[1，10].

那么不等式①可化為g（x1）>g（x2），

則知對于任意x1，x2∈[1，10]，當x1<x2時，不等式g（x1）>g（x2）恒成立.

所以函數g（x）=ln x+x2－3x+mx在區間[1，10]上單調遞減.

由于g（x）的導函數g′（x）=1x+2x－3－mx2=2x3-3x2+x-mx2，則知2x3－3x2+x－m≤0在[1，10]上恒成立.

所以m≥2x3－3x2+x在[1，10]上恒成立.

令函數h（x）=2x3－3x2+x，x∈[1，10]，

求導可得h′（x）=6x2－6x+1=6x－122－12≥1>0.

所以函數h（x）在區間[1，10]上單調遞增.

所以h（x）max=h（10）=1 710，即m≥1 710.

故實數m的取值范圍為[1 710，+∞）.

點評：破解含“雙變量”或“雙參”的不等式的恒成立或證明問題，經常要對相應的不等式加以合理的變形與轉化，為進一步同構函數提供條件，由同構轉化為含單參的不等式，為巧妙構建對應的函數來回歸函數問題指明方向，從而把所求的極值或最值應用到雙參不等式中去，得到要解決的結論[2].

涉及“雙變量”或“雙參”的綜合問題，是近年高考數學試卷中的熱門與難點問題之一，形式多樣，變化多端，同時交匯融合的知識點比較多，對數學思維與思想方法的要求比較高，具有較好的選拔性與區分度.借此綜合問題，可以很好地發展學生思維的發散性與開拓性，養成良好的解題習慣，培養學生的核心素養.

參考文獻：

[1]韓文美.突出四個“基本點”，強化導數及應用[J].中學生數理化（高二數學），2023（6）：22-24，26.

[2]范應彬.同構思想指導下對一道數列題目的思考[J].中學數學，2024（15）：70-71.