2024年高考數學新高考Ⅰ卷第13題的探究

涉及曲線的切線問題，是導數的幾何意義與平面解析幾何等相關知識的融合，契合高考命題“在知識交匯點處命題”的理念，是高考中比較常見的一類重點與熱點問題.特別是涉及兩條及以上曲線（主查兩條曲線）的公切線問題，新穎度高，創新性強，背景簡單易懂，形式復雜多變，求解形式多樣，能夠有效考查學生的“四基”以及突出學生的“四能”等，凸顯試題的選拔性與區分度，倍受各方關注.

1 真題呈現

高考真題若曲線y=ex+x在點（0，1）處的切線也是曲線y=ln（x+1）+a的切線，則a=.

此題以兩條不同的曲線為問題場景，其中一條曲線對應確定的函數，另一條曲線對應含參的函數，借助過確定函數上切點的切線為公切線設問，合理創設應用情境與條件，進而確定對應的參數值.

此類涉及公切線的函數與導數的綜合應用問題，可以利用常規思維方式，直接從導數的運算、導數的幾何意義以及切線方程等來切入與應用，實現問題的突破與求解；也可以從放縮法思維、特殊思維、極端思維等方式切入，以放縮法的變化、特殊值的確定或極端值的應用來分析，得以簡捷求解與創新應用.

2 真題破解

2.1 直接思維

解法1：直接法1.

依題，由曲線y=ex+x，求導可得y′=ex+1，結合導數的幾何意義可知該曲線在點（0，1）處的切線的斜率為k=e0+1=2，此時對應的切線方程為y=2x+1.

而由曲線y=ln（x+1）+a，求導可得y′=1x+1.設曲線y=ln（x+1）+a上的切點為B（x0，ln（x0+1）+a），結合導數的幾何意義可知，該曲線在點B處的切線的斜率k=1x0+1，此時對應的切線方程為y－[ln（x0+1）+a]=1x0+1（x－x0），即y=1x0+1x－x0x0+1+ln（x0+1）+a.

結合題設條件，可得1x0+1=2，－x0x0+1+ln（x0+1）+a=1.

解得x0=－12，a=ln 2.

故填答案：ln 2.

解法2：直接法2.

依題，由曲線y=ex+x，求導可得y′=ex+1，結合導數的幾何意義可知，該曲線在點（0，1）處的切線的斜率為k=e0+1=2.

而由曲線y=ln（x+1）+a，求導可得y′=1x+1，設曲線y=ln（x+1）+a上的切點為B（x0，ln（x0+1）+a），結合導數的幾何意義可知，該曲線在點B處的切線的斜率為k=1x0+1=2，解得x0=－12，此時切點為－12，a－ln 2.

又利用直線的斜率公式有k=a－ln 2－1－12－0=2，解得a=ln 2.

解法3：直接法3.

依題，由曲線y=ex+x，求導可得y′=ex+1，結合導數的幾何意義可知，該曲線在點（0，1）處的切線的斜率為k=e0+1=2，此時對應的切線方程為y=2x+1.

而由曲線y=ln（x+1）+a，求導可得y′=1x+1，設曲線y=ln（x+1）+a上的切點為B（x0，ln（x0+1）+a），結合導數的幾何意義可知，該曲線在點B處的切線的斜率為k=1x0+1=2，解得x0=－12.

又由于2x0+1=ln（x0+1）+a，將x0=－12代入，整理可得a=ln 2.

故填答案：ln 2.

點評：在解決一些涉及定切線而不定切點的公切線問題時，往往要結合問題實際，合理設出對應的切點，結合導數的幾何意義以及直線的方程等來直接分析與求解，實現問題的切入與應用.直接法也是解決此類多曲線的公切線綜合應用問題比較常用的一種“通性通法”，吻合思維過程，數學運算量往往比較大.當然在實際解題過程中，直接法的不同視角，也為問題的具體解析創造了不同的方式與方法.

2.2 放縮思維

解法4：放縮法.

（1）若曲線y=ex+x和曲線y=ln（x+1）+a相切于同一點（0，1）處，此時有ln（0+1）+a=1，解得a=1.

而由曲線y=ex+x，求導可得y′=ex+1；由曲線y=ln（x+1）+a，求導可得y′=1x+1.

此時e0+1=2≠1=10+1，不符合題意，可知公切線與兩條曲線相切于不同點.

（2）結合切線不等式有ex+x≥x+1+x=2x+1，當且僅當x=0時等號成立.

而由曲線y=ex+x，求導可得y′=ex+1，y″=ex>0，則知函數y=ex+x為凹函數.

又曲線y=ln（x+1）+a，求導可得y′=1x+1，y″=－1（x+1）2<0，則知函數y=ln（x+1）+a為凸函數.

數形結合可知，公切線在凹函數y=ex+x的下面部分，在凸函數y=ln（x+1）+a的上面部分.

而結合切線不等式有x≥ln（x+1），則有2x+1≥ln（2x+1+1）=ln（2x+2）=ln（x+1）+ln 2，當且僅當2x+1=0，即x=－12時等號成立，此時a=ln 2.

綜上分析，可知a=ln 2.

點評：依托多曲線所對應的公切線的切點是否相同加以分類討論，為問題的切入與展開創造條件.而對于涉及指數函數或對數函數的問題，抓住切線不等式進行合理的放縮處理，可以大致確定公切線的位置與變化情況，也給問題的創新應用創造了更多的機會與條件.利用放縮法處理，更加注重邏輯推理能力，相對來說數學運算量較少.

3 變式拓展

變式1若兩個函數f（x）=ln x+a和g（x）=bex（a，b∈R）存在過點2，12的公切線，設切點坐標分別為（x1，f（x1）），（x2，g（x2）），則（x1+2x2）＼5[f（x1）+2g（x2）]=.

解析：依題可得f′（x）=1x，設切點坐標為（x1，ln x1+a），則切線斜率為1x1，對應的切線方程為y－（ln x1+a）=1x1（x－x1），將點2，12代入上式，可得ln x1+a=32－2x1，即f（x1）=32－2x1.

又g′（x）=bex，設切點坐標為（x2，bex2），則切線斜率為bex2，對應的切線方程為y－bex2=bex2（x－x2），將點2，12代入上式，可以得到bex2=12（3－x2），即g（x2）=12（3－x2）.

又因為1x1=bex2=12（3－x2），可得x1=2（3－x2），即x1+2x2=6.

而f（x1）+2g（x2）=32－2x1+2bex2=32－2x1+2x1=32，所以（x1+2x2）＼5[f（x1）+2g（x2）]=6×32=9.

變式2若函數f（x）=aln x與g（x）=x2的圖象存在公切線，則實數a的取值范圍是.

解析：設與函數f（x）=aln x相切的切點為（m，aln m），m>0，由f′（x）=ax，可得切線的斜率為f′（m）=am，a≠0，則切線的方程為y－aln m=am＼5（x－m），即y=amx－a+aln m.

又切線y=amx－a+aln m與g（x）=x2也相切，則方程x2－amx+a－aln m=0有兩個相等的實數根，所以可得Δ=a2m2－4（a－aln m）=0，分離參數有a=4m2（1－ln m），m>0.

設函數h（m）=4m2（1－ln m），m>0，則h′（m）=4[2m（1－ln m）－m]=4m（1－2ln m）.由h′（m）=0解得m=e.當0<m<e時，h′（m）>0，函數h（m）單調遞增；當m>e時，h′（m）<0，函數h（m）單調遞減.所以可得m=e時，h（m）取得極大值2e，且為最大值，故a≤2e.

4 教學啟示

4.1 歸納技巧方法

涉及多條曲線（主要是兩條曲線）的公切線問題，其核心就是相應的切點坐標，合理利用導數的幾何意義——切點處的導數就是對應切線的斜率；而對于多條曲線的公切線問題，應根據對應函數的圖象在切點處的斜率相等，同時滿足切點既在切線上又在相應的曲線上，合理聯立有關切點的橫坐標的方程（組），通過解方程（組）或恒等變形等來分析與求解.

4.2 提升變式效應

在高中數學課堂教學與學習過程中，根據課堂教學與學習的需要，可以適時地將一些典型問題，特別是高考真題等進行深入變形與拓展，借助“一題多解”“一題多變”等形式，實現“一題多得”.久而久之，就能逐步培養學生靈活多變的數學思維、創新應用的探索精神與創新意識.