把握數(shù)學(xué)思想，提升思維品質(zhì)

【摘要】數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識的精髓.本文結(jié)合幾個典例，從五個方面探討數(shù)學(xué)思想在解題中的體現(xiàn)，以提高學(xué)生解題能力，發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)．

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想；解題技巧；初中數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識的精髓，是將知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.數(shù)學(xué)思想在數(shù)學(xué)課堂每一章節(jié)中都有體現(xiàn)，在數(shù)與式的學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)牢牢把握數(shù)學(xué)思想，不斷提升思維品質(zhì).

1 估值思想

估值是指估計一個數(shù)的近似值或取值范圍，它與精確的計算、嚴(yán)密的推理相輔相成.在處理無理數(shù)的大小比較、確定無理數(shù)的范圍等問題時，常要用到估值思想.

例1 估計19-1的值是（ ）

（A）在1和2之間． （B）在2和3之間．

（C）在3和4之間． （D）在5和6之間．

分析 首先要確定19的取值范圍，再確定19-1的取值范圍.

解 因為16＜19＜25，

所以16<19<25，

即4＜19＜5，

所以3＜19-1＜4.故選（C）.

評注 開方開不盡的數(shù)的算術(shù)平方根，是無理數(shù)中一個重要類型，估計此類無理數(shù)的大小應(yīng)先找出被開方數(shù)在哪兩個平方數(shù)之間，然后將這兩個平方數(shù)分別開平方，就得到了開方開不盡的算術(shù)平方根的取值范圍.用估值思想確定無理數(shù)取值范圍，在比較兩個無理數(shù)的大小關(guān)系、確定無理數(shù)的整數(shù)與小數(shù)部分時都有直接應(yīng)用.

2 數(shù)形結(jié)合思想

當(dāng)數(shù)與形存在一一對應(yīng)關(guān)系時，就可將數(shù)或數(shù)量關(guān)系用圖形表示出來，或者將圖形用數(shù)或數(shù)量關(guān)系表示出來，從而使數(shù)量關(guān)系形象化，圖形位置精確化，這就是數(shù)形結(jié)合的思想.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，根據(jù)數(shù)軸進行計算，是數(shù)形結(jié)合思想運用的重要體現(xiàn).

例2 如圖1所示的數(shù)軸上，點B與點C關(guān)于點A對稱，點A、B兩點對應(yīng)的實數(shù)是5和-1，則點C所對應(yīng)的數(shù)是（ ）

（A）1+5. （B）2+5.

（C）25-1. （D）25+1.

分析 首先，點C對應(yīng)的數(shù)就是OC的長，OC＝OA+AC，然后由OA＝5，AC＝AB可得OC的長.

解 因為點B與點C關(guān)于點A對稱，

所以AC＝AB.

因為點A、B表示實數(shù)5和-1，

所以O(shè)A＝5，OB＝1，

所以AB＝AC＝5+1，

因為OC＝OA+AC，

所以O(shè)C＝5+5+1＝25+1，

所以點C對應(yīng)的數(shù)是25+1，故選（D）.

評注 在數(shù)軸上確定一個點的坐標(biāo)，首先應(yīng)確定這個點與原點的距離，然后確定這個點在原點的左邊還是右邊．在原點的左邊時，在距離前加上“－”號；在原點右邊時，距離的數(shù)據(jù)不變.數(shù)軸上兩個點之間的距離，等于這兩個點表示的數(shù)中，用大數(shù)減去小數(shù)的差.

3 整體思想

整體思想就是將某些式子或圖形看成一個整體，在處理問題時，始終不把它們分開，從而實現(xiàn)對問題的整體改造，達到化繁為簡的目的.在整式的化簡求值中，整體代入就是運用了整體思想.

例3 已知m2+m-1＝0，求m3+2m2-2014的值.

分析 限于目前所學(xué)，由已知顯然不能求出m的值，必須將所求式進行變形，使所求式中含有已知式或已知式的一部分，然后整體代入求值.

解 m3+2m2-2014＝m3+m2+m2-2014＝m（m2+m）+m2-2014.

因為m2+m-1＝0，

所以m2+m＝1

所以原式＝m×1+m2-2014＝m2+m-2014＝1-2014＝-2013.

評注 關(guān)于整體代入求值，考試中的考查形式也在不斷地升級，例如本題就連續(xù)兩次運用了整體代入才求出值，在處理其他問題時，若兩次不行還可使用三次.在整體代入求值中，所給的已知條件常為一個方程，我們應(yīng)把這個方程看成一個等式，然后將其移項變形，使其中一邊含有字母，另一邊不含字母，這樣可以得到一個代數(shù)式的值，而不是其中字母的值，從而實現(xiàn)整體代入.

4 特殊化思想

在數(shù)學(xué)單選題中，由于答案是唯一的，我們可以通過特殊化思想給代數(shù)式中的字母賦值快速求得答案，從而作出正確選擇．

例4 已知x－63=y+4z－5=x+8z－7，則xy的值為（ ）

（A）35. （B）34. （C）43. （D）53.

分析 令x－63=y+4z－5=x+8z－7=1，直接求出x，y，z的值，進而求值xy的值．

解 設(shè)x－63=y+4z－5=x+8z－7=1，

則x=9，z=24，y=15．

所以xy=915=35，故選（A）．

評注 本題一般解法：設(shè)x－63=y+4z－5=x+8z－7=k，則x－6=3ky+4=kz－5kx+8=kz－7k，由x－6=3k，得x=3k+6，由y+4=kz－5k，x+8=kz－7k，兩式相減得y=2k+x+4，則y=5k+10，故xy=3k+65k+10=3k+25k+2=35.比較兩種解法，不難發(fā)現(xiàn)，對于選擇題來說，特殊值法是一條捷徑．

5 分類討論思想

分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想，可以將問題進行分類，逐一突破，最后將結(jié)果進行整合，實現(xiàn)問題的突破．

例5 若a+bc=c+ba=a+cb，

則a+bc+ba+cabc的值為．

分析 設(shè)a+bc=c+ba=a+cb=k，得到2a+b+c=ka+b+c，考慮a+b+c≠0和a+b+c=0兩種情況，計算得到答案.

解 設(shè)a+bc=c+ba=a+cb=k，

則a+b=kc，c+a=kb，a+c=kb，

相加得到2a+b+c=ka+b+c，

①當(dāng)a+b+c≠0時，k=2，a+bc+ba+cabc=k3=8；

②當(dāng)a+b+c=0時，a+b=－c，k=－1，a+bc+ba+cabc=k3=－1；

綜上所述，a+bc+ba+cabc=8或－1.

評注 本例通過設(shè)新元k和等式的變形，并利用等式性質(zhì)，把三個等式問題轉(zhuǎn)化為一個等式問題，最后通過分類討論逐一實現(xiàn)了問題的突破．

6 結(jié)語

初中階段的數(shù)學(xué)思想主要包括方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、整體思想、轉(zhuǎn)化思想等，理解并掌握數(shù)學(xué)思想，不僅可以幫助我們發(fā)現(xiàn)不同數(shù)學(xué)知識之間相似與相通之處，更能幫助我們高屋建瓴地思考數(shù)學(xué)問題，進而達到快速解決問題的目的．

參考文獻：

［1］徐巖.特殊與一般思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（24）：51-52.

［2］陳傳東，霍清.分類討論思想在初中代數(shù)中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2019（07）：36-39.