問題化學習視角下破解二元一次方程組

【摘要】二元一次方程組是初中數學中非常重要的知識，很多問題的解答都會涉及二元一次方程組.本文在問題化學習的視角下，就二元一次方程組的解法進行探究，具體將從單變量代入消元、整體代入消元、加減消單變量元和加減消整體元四個方面進行討論，以對二元一次方程組的解法進行突破.

【關鍵詞】二元一次方程組；初中數學；解題技巧

問題化學習是學生主動學習的一種形式，可以完全調動學生的自覺性，是一種高效的學習模式.二元一次方程組是初中乃至高中都非常重要的知識，應用非常的廣泛，而解二元一次方程組的關鍵是消元.基于此，本文在問題化學習視角下探究二元一次方程組的解法，下面將從代入消元和加減消元展開例談.根據實際情況，代入消元又分為單變量代入消元和整體代入消元，加減消元也分成單變量消元和整體消元，下面具體討論.

1 代入消元

解二元一次方程組的核心是消元，而消元的主要方法之一是代入消元.消元方法的選擇主要是看方程組的結構形狀，根據結構形狀，代入消元可以分為單變量代入消元和整體代入消元.

1.1 單變量代入消元

顧名思義，單變量代入消元就是根據方程組把一個變量用另外一個變量表示，代入另外一個方程，以達到消元的目的.主要是針對可以由方程組中的一個方程簡單、快速將一個變量由另外一個變量表示出來.

例1 解方程組：x－2y=62x+5y=7.

解 由x－2y=6，

得x=6+2y.

將x=6+2y代入2x+5y=7，

得26+2y+5y=7，

整理得9y=－5，

解得y=－59.

再將y=－59代入x=6+2y，

解得x=6+2×－59=449.

所以方程組x－2y=62x+5y=7的解為x=－59y=449.

評注 根據方程組的特征，由x－2y=6可以簡單地將變量x用y表示出來，所以采用了單變量代入消元法.整個解答步驟可以總結歸納為：一是觀察所要解的二元一次方程組，確定用單變量代入法簡答；二是選擇一個方程，快速將一個變量由另一個變量表示；三是將表示出來的變量代入另外一個方程，求出一個變量的值；四是將前面求出的變量值代入第二步，求出另一個變量.

1.2 整體代入消元

這種方法針對的是二元一次方程組中，兩個方程中有一個變量的系數相等，或者成倍數關系.根據兩個方程的情況，以一個方程為準，將另外一個變量的系數也配成一樣，然后整體代入，可以求出剩余一個變量的值.

例2 解方程組：x+y=75x+3y=31.

解 由x+y=7兩邊同時乘以3，

得3x+3y=21.

由5x+3y=31配方，

得2x+3x+3y=31，

將3x+3y=21整體代入，

得2x+21=31，整理解得x=5.

將x=5代入x+y=7，

得y=2.

所以方程組x+y=75x+3y=31的解為x=5y=2.

評注 題目雖然沒有一個變量對應系數相等，但是方程x+y=7的兩個變量的系數都是1，可以視為與5x+3y=31的對應系數成倍數關系，所以選擇采用整體代入消元法.這種方法的解題步驟為：一是觀察方程組是否存在對應項系數相等，或成倍數關系；二是在有一個變量系數相等或成倍數的前提下，以另一個變量系數小的方程為基準方程，把另外一個方程進行分解（或配方），得出與基準方程一致的項；三是將一致的項進行整體代換，把剩下的變量求出；四是把求出的變量回代，求出另外一個變量.

2 加減消元

加減消元也是解二元一次方程組常用方法，根據方程組的結構特征，依然可以分為加減單變量消元和加減整體消元.

2.1 加減單變量消元

這種方法主要針對的是方程組中，其中一個變量的系數相等或成倍數關系.如果系數相等，則兩式相加（減）就可以消掉一個變量；若系數成倍數關系，則將系數小的乘以倍數變成一樣，再進行加減消元.

例3 解方程組：0.5x+0.8y=－0.20.5x－0.8y=6.2.

解 因為兩個方程中y前面的系數互為相反數，則兩式相加得x=6.

將x=6代入0.5x+0.8y=－0.2，

得3+0.8y=－0.2，

解得y=－4.

所以方程組0.5x+0.8y=－0.20.5x－0.8y=6.2的解為：x=6y=－4.

評注 方程組中，兩個方程的y前面的系數為－1倍的關系，所以選擇了加減消單變量元法.一般的解題步驟為：一是觀察方程組，看是否存在其中一個變量的系數相等或成倍數關系；二是存在方程組中一個變量的系數相等，則兩式相減.一個變量的系數互為相反數，則兩式相加.若系數成倍數關系，將系數小的方程兩邊同時乘以倍數，再進行加減；三是進行加減消元后，得到的方程只有一個變量，解方程求出這個變量；四是將求出的變量進行回代，求出另外一個變量.

2.2 加減消整體元

這種方法依然主要針對的是方程組中，其中一個變量的系數相等或成倍數關系.在其中一個變量系數相同的情況下，以另一個變量系數小的為基準，把系數大的進行分解，分離出與基準一致后進行加減.

例4 解方程組：3x－6y=11x+3y=2.

解 由3x－6y=11，

得5x－2x+6y=11.

又由x+3y=2，

得2x+6y=4.

則由5x－2x+6y=11與2x+6y=4相加，

得5x=15，解得x=3.

將x=3代入x+3y=2，

解得y=－13.

所以方程組3x－6y=11x+3y=2的解為x=3y=－13.

評注 方程組中，兩個方程中的x和y前面的系數都對應成倍數關系，所以選擇了加減整體消元法.解題的一般步驟與整體代入消元一樣，唯一不同的是前面是代入，這里是加減處理.

3 結語

本文討論了四種不同的解二元一次方程組的方法與技巧，可根據實際情況進行處理.還有兩種特殊情況需要說明：一是方程組無解，即消元后得到的方程與變量無關，并且等式不成立，如1=0；二是方程組有無數組解，即兩個方程對應各項的系數都成同一個倍數.

參考文獻：

［1］黃小小.初中數學“問題化學習”教學實踐探究［D］.杭州：浙江師范大學，2018.

［2］王莉.基于問題化學習的初中數學實踐活動課研究［J］.中學教學參考，2022（12）：43-45.

［3］劉振龍.問題鏈教學案例：代入消元法解二元一次方程組［J］.考試周刊，2018（60）：103.

［4］王丹.二元一次方程組代入消元法變形步驟解析［J］.數理化學習（初中版），2020（08）：19-20.

［5］肖家貴.淺談用加減消元法解二元一次方程組的基本方法［J］.當代教育，2014（02）：41.