就角的大小構造直角三角形后妙用勾股定理

【摘要】勾股定理是初中數學的重要知識之一，也是初中數學乃至高中數學的常用知識.勾股定理是在直角三角形的情境中產生的，所以也必須在直角三角形的問題情境中應用.據統計，在對勾股定理的應用題型中，常見的有解直角三角形、根據所給角度構造直角三角形后利用勾股定理求邊長、直角三角形和矩形的翻折問題以及昆蟲爬行問題等.本文就根據所給角度構造直角三角形后利用勾股定理求邊長的題型進行討論，探究答題路徑及策略.

【關鍵詞】初中數學；勾股定理；解題策略

根據所給角度構造直角三角形后利用勾股定理求邊長的題型，由三角形的形狀，根據角的大小分為15°、22.5°；30°、45°、60°；75°、105°；120°、135°、150°四類非直角三角形的情況，下面就這四類情況具體展開例談.

1 針對有15°、22.5°的非直角三角形

例1 如圖1，已知△ABC中，∠BAC=15°，∠ACB=30°，AC=43，求AB的長.

解 如圖2，在邊AC找到點D，連接BD，使BC=BD，

則∠ACB=∠BDC=30°.

因為∠BAC=15°，則∠DBA=15°，

所以AD=BD.

過B作邊AC的垂線，記垂足為E，

則有CE=ED=BDcos30°=ADcos30°=32AD，

則CD=3AD.

因為AC=43，

所以CD+AD=（3+1）AD=AC=43，

解得AD=6-23，

所以ED=33-3，

則BE=ED·tan∠BDC=（33-3）×33-3-3.

又AE=AD+DE=6-23+33-3=3+3，

所以Rt△AEB中，有AB=AE2+BE2=3+32+3-32=24=26.

評注 題目是一個角為15°的非直角三角形，還知道另外一個角和一條邊，要求另外一邊.解答思想是根據15°的兩倍為30°，則取AC的中點D，連接BD后，可得∠ACB=∠BDC=30°，以此為依據建立直角三角形進，然后在直角三角形情境中，勾股定理與三角函數相結合行求解即可.

2 針對有30°、45°、60°的非直角三角形

例2 如圖3，已知△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=2，求AC的長.

解 如圖4，過點A作AD⊥BC于點D，則有∠ABC+∠BAD=90°.

因為∠ABC=45°，

所以∠ABC=∠BAD=45°，

所以AD=BD.

又AB=2，

所以AD=AB2－BD2=1.

因為∠ACB=30°，

所以AC=2AD=2.

評注 題目是已知△ABC中，一個角為45°，另一個為30°，要求45°角的對應邊.針對這類題型，一般思路是過三角形非特殊角的頂點作對邊的垂線，這樣就構造出了直角三角形，再結合勾股定理和三角函數即可解決問題.

3 針對有75°、105°的非直角三角形

例3 已知△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=75°，AC=8，求BC的長.

解 如圖5，作AD⊥BC交BC于點D.

因為∠ABC=45°，

所以∠BAD=45°，所以AD=BD，

又因為∠BAC=75°，

所以∠CAD=30°，則在直角三角形ACD中，

因為AC=8，

所以CD=4，AD=43.

又AD=BD=43，

所以BC=CD+BD=4+43.

評注 這種題型其實與例2是一種題型，解法也一樣.

4 針對有120°、135°和150°的非直角三角形

例4 已知△ABC中，∠ABC=135°，tan∠BAC=25，BC=42，求△ABC的面積.

解 如圖6，作CD⊥AB，垂足為AB延長線上的點D.

因為∠ABC=135°，

所以∠CBD=45°，所以△BCD是等腰直角三角形，

因為BC=42，

所以CD=BD=4.

又tan∠BAC=25，

所以AD=10，

所以AB=6，

所以S△ABC=12·AB·CD=12.

評注 該題是在△ABC中，有∠ABC=135°，要求三角形的面積.因為∠ABC=135°的外角為45°，所以我們以此為基礎，建立了如圖6所示的直角三角形，根據三角函數和勾股定理可求出CD和AB，進而可以求出三角形的面積.

5 結語

本文就根據所給角度構造直角三角形后利用勾股定理求邊長的題型從非直角三角形的角度大小分類進行討論，具體分析了構造直角三角形的方法和針對不同題型提供了答題策略.其實不管哪種題型，主要是抓住角30°、45°、60°，因為這三個角的三角函數值是已知的，才能把勾股定理和三角函數結合起來，這樣才能順利解決問題，有時候兩者均可以，這時候選擇性地使用，有時候利用三角函數更直接一些，答題時具體問題具體考慮.

參考文獻：

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