二次函數(shù)性質(zhì)及其應(yīng)用

【摘要】二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個重要函數(shù)，也是數(shù)學(xué)中的入門級函數(shù).在初中數(shù)學(xué)中，二次函數(shù)的性質(zhì)主要有頂點、對稱性、增減性.本文就二次函數(shù)的對稱性、增減性和圖象頂點三個方面展開討論，并就其應(yīng)用進行例談.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；解題技巧

二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+ca≠0，圖象形狀如拋物線，是初中數(shù)學(xué)非常重要的函數(shù)之一.二次函數(shù)的主要性質(zhì)包括圖象頂點坐標(biāo)、對稱性、增減性等，其應(yīng)用非常靈活，題型也比較多樣化.本文主要就二次函數(shù)的圖象頂點坐標(biāo)、對稱性和增減性展開討論，并例談其應(yīng)用.

1 二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)

對于二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0，當(dāng)a>0時，拋物線的開口向上，頂點坐標(biāo)為－b2a，4ac－b24a；當(dāng)a<0時，拋物線的開口向下，頂點坐標(biāo)為－b2a，4ac－b24a.或者將二次函數(shù)解析式化為頂點式y(tǒng)=ax－m2+n，則函數(shù)的頂點坐標(biāo)為m，n.

例1 已知二次函數(shù)y=2x2，現(xiàn)將此拋物線圖象先向右平移2個單位，得到的圖象再向下平移3個單位，最后所得到的新二次函數(shù)的頂點坐標(biāo).

解 由二次函數(shù)y=2x2的圖象先向右平移2個單位，得y=2x－22.

再將y=2x－22的圖象向下平移3個單位，得y=2x－22－3.

因為y=2x－22－3是二次函數(shù)的頂點式方程，所以頂點坐標(biāo)為2，－3.

所以當(dāng)把二次函數(shù)y=2x2的圖象先向右平移2個單位，得到的圖象再向下平移3個單位.求最后所得到的新二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)為2，－3.

評注 題目在二次函數(shù)圖象的平移情境中，求二次函數(shù)的頂點坐標(biāo).在函數(shù)圖象的簡單變化過程中，遵循的變化原則是“左加右減，上加下減”，即函數(shù)圖象向左平移，自變量x加平移的單位，向右平移，自變量x減平移的單位；函數(shù)圖象向下平移，因變量y減平移的單位，向上平移，因變量y加平移的單位.易錯點是函數(shù)圖象左右平移時，加減都在自變量x的基礎(chǔ)上進行.

2 二次函數(shù)對稱性的應(yīng)用

對于二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0，不管開口向上還是向下，其圖象均關(guān)于直線x=－b2a對稱.關(guān)于拋物線的對稱性的應(yīng)用非常廣泛，如根據(jù)對稱性求二次函數(shù)的解析式，求對稱點的坐標(biāo)等.

例2 已知二次函數(shù)y=2x2－ax－3的對稱軸為x=3.

（1）求實數(shù)a的值；

（2）若Am，n在拋物線y=2x2－ax－3上，其關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點Bm－4，n也在拋物線上，求m，n的值.

解 （1）因為二次函數(shù)y=2x2－ax－3的對稱軸為x=3，

所以－－a2×2=3，

解得a=12.

（2）由（1）得二次函數(shù)的解析式為y=2x2－12x－3.

因為Am，n在拋物線y=2x2－ax－3上，其關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點Bm－4，n也在拋物線上，

所以有2m2－12m－3=nm+m－42=3，

解得m=5，n=－13.

評注 題目體現(xiàn)了對稱軸的兩個應(yīng)用，第一問是已知二次函數(shù)的對稱軸，求未知數(shù)a，直接利用公式x=－b2a代入計算即可；第二問是借助對稱軸求拋物線上的點坐標(biāo)，這里的關(guān)鍵是點Am，n與Bm－4，n關(guān)于直線x=3對稱，則滿足m+m－42=3，先求出m，代入求n即可.主要知識點是二次函數(shù)的對稱軸為x=－b2a，解題時結(jié)合軸對稱問題，靈活應(yīng)用即可.

3 二次函數(shù)的增減性

對于二次函數(shù)y=ax2+bx+ca≠0，當(dāng)a<0時，當(dāng)x<－b2a，x1<x2時，有y1<y2，即自變量x增大時，因變量y也增大.當(dāng)x≥－b2a，x1<x2時，有y1>y2，即自變量x增大時，因變量y減小；當(dāng)a>0時，當(dāng)x<－b2a，x1<x2時，有y1>y2，即自變量x增大時，因變量y減小.當(dāng)x≥－b2a，x1<x2時，有y1<y2，即自變量x增大時，因變量y也增大.

例3 已知二次函數(shù)y=－x2+bx－4的圖象上一點A1，－1.當(dāng)x1<x2時，有y1>y2時，求自變量x的取值范圍.

解 因為二次函數(shù)y=－x2+bx－4的圖象上一點A1，－1，

所以有－1+b－4=－1，解得b=4.

則函數(shù)解析式為y=－x2+4x－4，

所以拋物線的對稱軸是x=－b2a=2.

因為a=－1，則拋物線的開口向下.

因為當(dāng)x1<x2時，有y1>y2時，所以函數(shù)隨著自變量x的增加，因變量y減小，所以自變量x的取值范圍為x>2.

評注 題目先要根據(jù)已知求b的值，即求二次函數(shù)的解析式，在這一情境下，求函數(shù)滿足x1<x2，有y1>y2時，自變量x的取值范圍，不是判別函數(shù)的單調(diào)情況，相對來說難度要大一些，更具靈活性.解題時，關(guān)鍵是準(zhǔn)確翻譯“滿足x1<x2時，有y1>y2”，實質(zhì)是“自變量x增大時，因變量y減小”，理解意思后，問題就變得簡單了.

4 結(jié)語

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的性質(zhì)是初中非常重要的知識，也是常考知識.其考查題型多樣，形式也靈活多變，本文主要從頂點坐標(biāo)及其應(yīng)用、對稱軸及其應(yīng)用和增減性及其應(yīng)用三個方面進行討論，闡明了三個性質(zhì)的具體應(yīng)用，并提出了具體的應(yīng)對策略，以點帶面，期望對大家有所幫助.

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