四點共圓在幾何證明中的應(yīng)用教學(xué)研究

【摘要】四點共圓在幾何證明中有著廣泛的應(yīng)用，尤其是在涉及角度的證明過程中，往往會起到意想不到的效果.應(yīng)用四點共圓時，往往題目中是沒有提到圓這個概念的.

【關(guān)鍵詞】四點共圓；圓；初中數(shù)學(xué)

圓的內(nèi)接四邊形具有對角互補(bǔ)的性質(zhì)，其逆命題也成立，即如果四邊形的一組對角互補(bǔ)，則該四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，簡稱四點共圓.但在應(yīng)用四點共圓時，往往題目中是沒有提到圓這個概念的，也就是說該定理的使用環(huán)境比較隱蔽，如果沒有經(jīng)過一定練習(xí)與經(jīng)驗的積累是不容易想到該定理的.下面先給出四點共圓定理的兩種常見形式［1］.

定理1 四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么這個四邊形的四個頂點共圓.

定理2 若兩個點在一條線段所在直線的同旁，并且和這條線段的兩個端點連線所夾的角相等，那么這兩個點和這條線段的兩個端點共圓.

例1 如圖1所示，在等腰Rt△ABC中，AB=4，∠BAC=90°，點D是BC邊上的一個動點，連接AD，以AD 為邊向右側(cè)作等腰直角三角形ADE，其中∠ADE =90°，求三角形ABE周長的最小值［2］．

思路引導(dǎo) 在本題中，顯然存在著不變量，即∠AED=45°.

解 根據(jù)題意可知∠AED=45°，而∠C=45°，所以點A，D，E，C四點共圓，不妨記該圓為⊙O.又因為∠ADE =90°，所以AE為⊙O的直徑.連接EC，則有∠ACE =90°.至此可以得到，CE⊥AC.

作點A關(guān)于直線EC的對稱點F，連接BF，則有AE=EF.故有BE+AE=BE+EF≥BF.因此可以得到BE+AE的最小值為BF.

在Rt△BAF中，由勾股定理可得到：BF2=AB2+AF2=42+82=80，

所以BF=45.所以三角形ABE周長的最小值為4+45.

例2 如圖3所示，邊長為5的正方形ABCD 的對角線AC上有一點E，且CE = 4AE，點F在DC的延長線上，且CF=2，連接EF，過點E作EG⊥EF，交CB 的延長線于點G，連接GF并延長，交AC的延長線于點P.計算EP的長度［3］.

思路引導(dǎo) 本題給出的條件相對比較分散，由∠GEF=90°和等腰直角三角形ABC挖出點G、F、C以及點E四點共圓.

解 ∠GEF=90°以及正方形內(nèi)的等腰直角三角形ABC，看起來沒有顯著的聯(lián)系.事實上，這里正蘊(yùn)含著隱蔽的四點共圓，即點G、F、C以及點E共圓.顯然該圓是以GF為直徑的圓.由弦所對的圓周角相等可得到：∠GFE=∠GCA=45°；從而可以得到△GEF為等腰直角三角形.所以∠EFP=135°，顯然∠ECF=135°.因此有△ECF∽△EFP，所以可以得到：EF2=EC·EP，可解出EP=EF2EC.至此，線段EP的計算可以轉(zhuǎn)化為EF與EC的計算.

根據(jù)條件CE = 4AE，可以算出CE=45AC=45×52=42.過點E作EM⊥CD于點M，則EM=MC=4.在Rt△EMF中由勾股定理可以得到EF=EM2+MF2，代入數(shù)據(jù)可以算出EF=213，所以可以得到EP=5242=1322.

從本題求解可以看出，四點共圓的概念在這里起到了承上啟下的作用，連接了Rt△EFG與Rt△ABC；再利用圓周角的性質(zhì)，可以得到Rt△EFG為等腰直角三角形［4］.

例3 如圖4所示，三角形ABC是等邊三角形，AB=7，點D是邊BC上一點，點H是線段AD上一點，連接BH與CH，當(dāng)∠BHD=60°，∠AHC=90°時，求線段DH的長度［5］.

思路引導(dǎo) 這里可以聯(lián)想到一個常見的幾何模型，如圖5所示.在圖5中，三角形ABC為等邊三角形，而點D、E、F是三邊上的點，且滿足BD=CE=AF；連接AD，BE與CF.顯然△ABD≌△BCE，進(jìn)一步可以得到△ABD∽△BHD，有BD2=DH·AD，并且有∠BHD=∠ABD=60°.

解 如圖4所示，延長BH交邊AC于點E.由之前的討論可知BD2=DH·AD；通過條件∠BHD=∠BCA=60°可知，點D，C，E與點H四點共圓.

連接DE，則由圓周角的性質(zhì)可知：∠DEC=∠CHD=90°.

所以在Rt△DEC中，顯然有DC=2EC=2BD，所以可以得出點D與點E都是各邊的三等分點.

至此需要計算出線段AD的長度，可以利用等邊三角形BC邊的高來計算AD的長度，作AF⊥BC.則AF=32×7=212，而DF=（12－13）AB=76，BD=BF-DF=73.再利用勾股定理可以得到AD=DF2+AF2=73，代入數(shù)據(jù)計算出DH=BD2AD=79×37=13.

結(jié)語

從整個求解過程來看，四點共圓起了關(guān)鍵性的作用，本文的三個例子都是如此；另外一個顯著的特點就是問題本身條件幾乎不涉及圓，這就給問題求解帶來了很多困難.利用四點共圓的方法來求解問題，往往會有一種事半功倍的效果.

參考文獻(xiàn)：

［1］伍磊.四點共圓在中考壓軸題中的應(yīng)用——以廣東省近五年的中考題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2020（12）：42-45.

［2］黃一星.巧用四點共圓求解動點問題［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019（22）：32-33.

［3］李玲玲.化隱為顯 與圓共舞——例談“四點共圓”的判定及妙用［J］.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2020（07）：9-11.

［4］王洪學(xué).“四點共圓”模型［J］.初中生輔導(dǎo)，2023（15）：48-49.

［5］賈立忠.人教A版的一道“四點共圓”題的教學(xué)實踐與思考［J］.牡丹江教育學(xué)院學(xué)報，2022（11）：111-113.