核心素養下的初中數學大單元教學

【摘要】本文探討在初中數學教學中解直角三角形問題的幾種常見解題方法，并結合核心素養的培養進行分析.通過具體例題詳細闡述數學抽象與建模、邏輯推理與運算和綜合應用等三種解題思路.在解題過程中學生不僅能鍛煉數學抽象、邏輯推理、空間想象、運算等能力，還能提高綜合分析和解決問題的能力.

【關鍵詞】核心素養；初中數學；解直角三角形

1 引言

解直角三角形是初中數學的重要內容之一，它融合了幾何、代數、解析等多方面的知識，對學生的數學綜合能力提出了較高的要求.新課改背景下，數學核心素養的培養已成為數學教學的重要目標.本文將從數學抽象與建模、邏輯推理與運算和綜合應用三個方面入手，探討在解直角三角形問題中培養學生數學核心素養的策略.

2 數學抽象與建模素養

例1 一個旗桿高10米，在旗桿下的某一點測得旗桿頂端的仰角為45°，且該點到旗桿的水平距離為5米.求旗桿下這一點的海拔高度.

解析 第一步：將實際問題抽象為數學模型.設旗桿下測量點的海拔高度為h米，根據題意可以繪制一個直角三角形，其中旗桿高度為10米，該點到旗桿的水平距離為5米，仰角為45°（如圖1）.

第二步：利用正切函數的定義，列出方程.在直角三角形中，正切函數tan等于對邊長度除以鄰邊長度.故有tan45°=10－h5.

第三步：求解方程.已知tan45°=1，代入方程得1=10－h5，解得h=5.

因此，旗桿下測量點的海拔高度為5米.這個問題的解決過程體現了數學抽象與建模的思想，即將實際問題轉化為數學問題，建立數學模型，并運用數學知識求解.

3 邏輯推理與運算素養

例2 下列命題：①所有銳角三角函數值都為正數；②解直角三角形時只需已知除直角外的兩個元素；③Rt△ABC中，∠B=90°，則sin2A+cos2A=1；④Rt△ABC中，∠A=90°，則tanC·cosC=sinC．其中正確的命題有（ ）

（A）0個. （B）1個. （C）2個. （D）3個.

解析 ①根據銳角三角函數的定義可知所有的銳角三角函數值都是正數，故正確；

②兩個元素中，至少得有一條邊，故錯誤；

③根據銳角三角函數的概念，以及勾股定理，得則sin2A+cos2A=a2+c2b2=1 ，故正確；

④根據銳角三角函數的概念，得tanC=cb，sinC=ca，cosC=ba，所以tanC·cosC=sinC，故錯誤．故選（C）．

4 綜合應用素養

例3 問題情境 數學活動課上，教師發給每位同學一個Rt△ABC紙片，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．

問題發現 將三角形紙片ABC進行以下操作．第一步：折疊三角形紙片ABC使點C與點A重合，然后展開鋪平，得到折痕DE；第二步：然后將△DEC繞點D順時針方向旋轉得到△DFG．點E，C的對應點分別是點F，G，直線GF與邊AC交于點M（點M不與點A重合），與邊AB交于點N．

（1）如圖2，小明發現折痕DE的長很容易求出，并且MF和ME的數量關系也能證明．

（2）如圖3，小紅發現在△DEC繞點D旋轉的過程中，當直線GF經過點B時或直線GF∥BC時，AM的長都可求……

問題提出與解決 根據小明和小紅的發現，討論后提出問題1和問題2，請你解答．

問題1 如圖2，按照如上操作，（1）折痕DE的長為；（2）在△DEC繞點D旋轉的過程中，試判斷MF與ME的數量關系；并證明你的結論.

問題2 在△DEC繞點D旋轉的過程中，如圖3，探究當直線GF經過點B時，AM的長.

解析 問題1：（1）由折疊性質得CE=AE，DE⊥AC，

所以∠DEC=∠BAC=90°，

所以△CDE∽△CBA，

所以DEAB=CDBC=CEAC=12，

又AB=6，

所以DE=12AB=3.

（2）如圖4，連接DM.

由旋轉性質得DF=DE，∠DFM=∠DEM=90°，

又DM=DM，

所以Rt△DFM≌Rt△DEMHL，

所以MF=ME.

問題2：因為CDBC=CEAC=12，

所以CD=BD=12BC，

由旋轉性質得∠DGB=∠C，

DG=CD=BD，

所以∠DBG=∠DGB=∠C，

所以BM=CM.

設BM=CM=x，

則AM=AC－CM=8－x，

在Rt△ABM中，由AB2+AM2=BM2，

得62+8－x2=x2，

解得x=254，

所以AM=8－254=74.

5 結語

在初中數學的解直角三角形教學中，教師應該注重培養學生的數學核心素養.通過合理設計教學內容和教學活動，引導學生在解題過程中運用數學抽象與建模、邏輯推理與運算、直觀想象與圖形分析和綜合應用等思想方法，提高學生分析問題、解決問題的能力.教師還應該注重創設問題情境，讓學生感受數學的應用價值，激發學生學習數學的興趣.