利用圖形結(jié)構(gòu)特征，巧證線段平方關(guān)系

【摘要】平面幾何是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，而與線段有關(guān)的證明更是其中的精髓，涉及知識點廣泛，受到中考命題人的青睞.對于此類問題最重要的就是要結(jié)合圖形的特征展開解題思路.本文以一道線段平方關(guān)系問題為例，從不同的視角尋找多種解題策略，以供讀者參考.

【關(guān)鍵詞】線段；平方關(guān)系；初中數(shù)學(xué)

1 例題呈現(xiàn)

如圖1所示，在四邊形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC、BD為對角線，且滿足AC=2AB.求證：BC2+CD2=2BD2.

2 方法展示

解法1 利用互余的條件巧構(gòu)直角三角形

對于平方關(guān)系問題，首先聯(lián)想到的就是勾股定理，而勾股定理的使用前提是在直角三角形中.因此，可以結(jié)合已知條件中的“互余”構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形，再通過幾何轉(zhuǎn)化和幾何性質(zhì)來實現(xiàn)幾何條件的位置轉(zhuǎn)移，從而得到關(guān)于平方關(guān)系的結(jié)論.

證明 如圖2所示，過點A作AE⊥AB，且∠EDA=∠BDC.

因為∠BAD+∠BCD=90°，∠BAD+∠EAD=90°，

所以∠BCD=∠EAD，

故△BDC∽△EDA，

則EDDA=DBCD.

又因為∠BDC=∠EDA，

所以∠EDB=∠ADC，

故△EDB∽△ADC.

所以ACAD=EBED=2，

故BE=2DE.

因為△BDC∽△EDA，

所以設(shè)AECB=ADCD=DEDB=k.

因為AD=AB，

所以AE=kBC，AB=kCD，DE=kDB.

在Rt△EAB中，由勾股定理得AE2+AB2=BE2，

所以k2BC2+k2CD2=BE2=2DE2=2k2BD2，

即BC2+CD2=2BD2.

解法2 利用等腰三角形的條件構(gòu)造旋轉(zhuǎn)變換

等腰三角形的條件就意味著有長度相等的線段，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)變換帶來的等量關(guān)系，就可以得到一些隱藏的幾何條件.同時旋轉(zhuǎn)還能構(gòu)造出相等的角，在此基礎(chǔ)上就可以嘗試尋找全等三角形來進一步探究問題的本質(zhì).

證明 如圖3所示，將△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，使AD與AB重合，得到△ABE，連接CE，由此可知△ADC≌△ABE.

所以AC=AE，∠DAC=∠BAE，

故∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC.

即∠BAD=∠EAC，

所以△ABD∽△AEC，

所以CEDB=ACAD=2，

故CE=2BD.

因為四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°，

又因為∠BAD+∠BCD=90°，

所以∠ABC+∠ADC=∠ABC+∠ABE=270°，

故∠EBC=90°.

所以在Rt△BCE中，

BC2+BE2=BC2+CD2=CE2=2BD2.

解法3 利用比例線段構(gòu)造相似三角形

比例線段是平面幾何問題中的一個重要已知條件，在比例線段的基礎(chǔ)上不僅可以得到線段長度的大小關(guān)系，還可以構(gòu)造相應(yīng)的相似三角形，尋找題中的隱藏條件.再適當(dāng)構(gòu)造輔助線，即可證明.

證明 如圖4所示，延長AB至點E，使AE=2AB，延長AD至點F，使AF=2AD，連接EF、CE、CF.

因為AE=2AB，AF=2AD，

所以BD為△AEF的中位線，

故EF=2BD.

因為AC=2AB，AE=2AB，

所以AE=2AC，

即AEAC=ACAB=2.

所以△BAC∽△CAE，

故CE=2CB，∠CEA=∠ACB.

同理，CF=2CD，∠CFA=∠ACD.

因為∠BAD+∠DCB=90°，

所以∠CEA+∠CFA+∠BAD=90°.

因為∠CEA+∠CFA+∠BAD+∠CFE+∠CEF=180°，

所以∠CFE+∠CEF=90°，

故△CEF是直角三角形，

所以CE2+CF2=EF2.

所以（2CB）2+（2CD）2=（2BD）2，

故BC2+CD2=2BD2.

解法總結(jié) 本題中要證明的內(nèi)容涉及兩條線段的平方和，聯(lián)想勾股定理的形式，證明方向指向構(gòu)造直角三角形，這是解題的關(guān)鍵.所求證的三邊BC、CD、BD所在的三角形不是直角三角形，因此需要轉(zhuǎn)化線段，構(gòu)造直角三角形來解決.以上各種證法展示了從不同頂點出發(fā)構(gòu)造出直角的思路，證明過程中充分抓住某一個特征條件，從而據(jù)此進行聯(lián)想、構(gòu)造輔助線，使解題水到渠成.

3 結(jié)語

本文通過對一道幾何題不同角度的分析，可以發(fā)現(xiàn)，解答此類問題的關(guān)鍵在于抓住題中已知條件和幾何圖形中的某一特征，從而在此基礎(chǔ)上發(fā)散解題思維，解決問題.在教學(xué)的過程中，教師要學(xué)會利用一題多解的方式讓學(xué)生更好地理解問題的本質(zhì)，并讓其學(xué)會利用不同的知識點解決相同的問題，以此來提高解決問題的能力.