中考視角下二次函數(shù)壓軸題分析及教學(xué)思考

【摘要】二次函數(shù)中考?jí)狠S題主要考查學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的綜合能力，能有效區(qū)分不同層次學(xué)生的能力水平.近三年安徽中考的二次函數(shù)綜合題，從不同層面、不同角度考查學(xué)生的核心素養(yǎng)，教師在教學(xué)時(shí)不僅要關(guān)注試題考查的知識(shí)點(diǎn)和技能點(diǎn)，更要挖掘蘊(yùn)含在試題中的思想方法，關(guān)注學(xué)生在作答過(guò)程中存在的問(wèn)題，為改進(jìn)教學(xué)提出相應(yīng)策略.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；解題方法

1 問(wèn)題背景

函數(shù)部分是整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，它貫穿了整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，是解決各種實(shí)際問(wèn)題及其他學(xué)科必不可少的工具.滬科版初中數(shù)學(xué)教材中函數(shù)的內(nèi)容有：正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù).《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中要求要引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)圖象與表達(dá)式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，理解函數(shù)與對(duì)應(yīng)的方程、不等式之間的關(guān)系，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，增強(qiáng)幾何直觀，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)一步發(fā)展應(yīng)用意識(shí).

二次函數(shù)在安徽中考試題中一直作為壓軸題出現(xiàn)，分值占12～14分，主要考查函數(shù)的概念、增減性和對(duì)稱性等性質(zhì)，常涉及分類討論、數(shù)形結(jié)合、模型等數(shù)學(xué)思想.

2 案例分析

例1 已知二次函數(shù)y=－x2+4x.

（1）求y的最大值；

（2）當(dāng)t≤x≤t+1時(shí)，求y的最大值.

分析 （1）本題主要考查二次函數(shù)的增減性和最值問(wèn)題.解決二次函數(shù)的最值問(wèn)題，可以通過(guò)代數(shù)法將其配方成頂點(diǎn)式，也可以借助于數(shù)形結(jié)合來(lái)分析其增減性來(lái)解決問(wèn)題.（2）解決二次函數(shù)在自變量的某變化范圍內(nèi)的最值問(wèn)題，由于自變量的范圍不確定，故要對(duì)t進(jìn)行分類討論，需要通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)結(jié)合圖象坐標(biāo)與對(duì)稱軸的關(guān)系等，再結(jié)合圖象進(jìn)行增減性分析，從而求出此范圍內(nèi)的最大值.

解答 （1）y=－x2+4x=－（x2－4x+4－4）=－（x－2）2+4，

因?yàn)椋?<0，所以拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值為4.

（2）①當(dāng)t+1<2時(shí)，即t<1，如圖1所示.

此時(shí)y在t≤x≤t+1上的圖象自左向右都是呈上升趨勢(shì)的，

所以當(dāng)x=t+1時(shí)，y有最大值為

－（t+1）2+4×（t+1）=－t2+2t+3.

②當(dāng)t<2且t+1≥2時(shí)，即1≤t<2，如圖2所示.

當(dāng)t≤x<2時(shí)，y隨著x的增大而增大，當(dāng)2<x<t+1時(shí)，y隨著x的增大而減小，故當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值為4.

③當(dāng)t≥2時(shí)，如圖3所示，此時(shí)y在t≤x≤t+1上的圖象自左向右都是呈下降趨勢(shì)的，

所以當(dāng)x=t時(shí)，y有最大值為－t2+4t.

綜上，

y=－t2+2t+3（t<1）4（1≤t<2）－t2+4t（t≥2）.

設(shè)計(jì)意圖 本題主要考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)的運(yùn)用，涉及含參數(shù)問(wèn)題，需要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和分類討論思想.第（2）問(wèn)中，由于參數(shù)t的不確定性，自變量x的范圍t≤x≤t+1相對(duì)于對(duì)稱軸x=2的位置有三種情況，因此需要分類討論.教學(xué)時(shí)，可以先讓學(xué)生動(dòng)手畫(huà)圖，再借助信息技術(shù)直觀呈現(xiàn)，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行有效分析，讓學(xué)生更進(jìn)一步理解題意，不僅提高了學(xué)生的畫(huà)圖能力，也提高了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.

例2 （2023安徽中考試卷第23題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax2+bx（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，3），對(duì)稱軸為直線x=2．

（1）求a，b的值；

（2）已知點(diǎn)B，C在拋物線上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為t，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為t+1．過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線交直線OA于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線交直線OA于點(diǎn)E．

①當(dāng)0<t<2時(shí)，求△OBD與△ACE的面積之和；

②在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，是否存在點(diǎn)B，使得以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形的面積為32？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

分析 本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，及三角形和四邊形的面積計(jì)算問(wèn)題，涉及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、存在性問(wèn)題，需要數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分類討論.同時(shí)，本題對(duì)學(xué)生的畫(huà)圖能力和代數(shù)運(yùn)算能力提出了較高的要求．

解答 （1）利用對(duì)稱軸公式及將點(diǎn)A（3，3）代入拋物線y=ax2+bx中，

得-b2a=232×a+3b=3，解得a=－1b=4，

（2）①如圖4，當(dāng)0<t<2時(shí)，易得OA的解析式為y=x.

先寫(xiě)出四個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)：

B（t，－t2+4t），D（t，t），C（t+1，－（t+1）2+4（t+1）），即點(diǎn)C（t+1，－t2+2t+3），E（t+1，t+1），S△OBD+S△ACE=12BD·xD+12CE·（xA－xE）=12（－t2+4t－t）t+12（－t2+2t+3－t－1）（3－t－1）=2;

②存在，理由如下：在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，即當(dāng)t>2時(shí)，有兩種情況.

第一種情況：當(dāng)2<t<3時(shí)，如圖5，由圖可知，

S梯形BDCE=12（BD+CE）（xc－xD）=12－t2+4t－t+（t+1）－（－t2+2t+3）=t－1=32，解得t=52，該結(jié)果符合題目條件.

第二種情況：當(dāng)t≥3時(shí)，如圖6，由圖可知，

S梯形BDEC=12（BD+CE）（xC－xD）=12t－（－t2+4t）+（t+1）－（－t2+2t+3）=t2－2t－1=32，

解得t=2±142，該結(jié)果不符合題目條件，應(yīng)舍去.

綜上可知，t=52．

設(shè)計(jì)意圖 本題是二次函數(shù)與幾何圖形的綜合應(yīng)用題，有一定的難度.本題除了考查二次函數(shù)相關(guān)性質(zhì)、圖形面積、待定系數(shù)法、含參數(shù)問(wèn)題，還滲透分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法.第（2）問(wèn)的①中，除了用常規(guī)方法求解，還需要引導(dǎo)學(xué)生思考：在 t 值變化的過(guò)程中，為什么兩個(gè)三角形面積和為定值？它們與函數(shù)的解析式、點(diǎn)A的橫坐標(biāo)之間存在什么樣的關(guān)系？

3 教學(xué)思考

3.1 抓住函數(shù)性質(zhì)，理解函數(shù)本質(zhì)

函數(shù)是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界變量關(guān)系的有效模型，是“數(shù)形結(jié)合”的自然載體.“變化中的規(guī)律性”，“變化中的不變性”是所有函數(shù)的共性，在教學(xué)中我們要抓住函數(shù)的這一本質(zhì)特征，引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由特殊到一般，逐步認(rèn)識(shí)初等函數(shù)的增減性和對(duì)稱性，并應(yīng)用這些性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題.

3.2 關(guān)注思想方法，生成解題策略

在涉及二次函數(shù)的問(wèn)題中，分類討論、數(shù)形結(jié)合、配方法、模型思想等是常見(jiàn)的思想方法，日常教學(xué)中我們要傳授和滲透這些思想方法，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注解決二次函數(shù)問(wèn)題的通性通法，淡化解題技巧，提煉思想方法，幫助學(xué)生建構(gòu)解法系統(tǒng)，促進(jìn)能力遷移，提升解題素養(yǎng).

3.3 加強(qiáng)運(yùn)算訓(xùn)練，提升運(yùn)算素養(yǎng)

“運(yùn)算能力”是重要的核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)運(yùn)算不僅是數(shù)的運(yùn)算，更包括代數(shù)式化簡(jiǎn)和方程（組）的求解.中考二次函數(shù)壓軸題對(duì)運(yùn)算能力的要求比較高，涉及內(nèi)容廣，如解方程（組）、二次函數(shù)配方、代數(shù)式化簡(jiǎn)變形等，這些技能是初中階段最重要的運(yùn)算技能，要求學(xué)生既要明白算理，更要算得正確、快速、合理和靈活.因此，在日常教學(xué)中，我們要讓學(xué)生進(jìn)行一定量的運(yùn)算訓(xùn)練，提高運(yùn)算能力，養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣，促進(jìn)運(yùn)算素養(yǎng)的提升.

【本文系安徽省合肥市包河區(qū)教育規(guī)劃課題《基于學(xué)科育人的初中數(shù)學(xué)大單元教學(xué)策略實(shí)踐研究》研究成果，立項(xiàng)編號(hào)：BJG2318】

參考文獻(xiàn)：

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［2］中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出社，2022.