不同建構策略，殊途同歸

【摘要】本文針對一元一次不等式組，提出反解法、數形結合法、口訣法及方案類解法四種多元解題方法，幫助初一學生提升解題效率.反解法通過逆向推理求解難題；數形結合法簡化復雜代數問題；口訣法快速確定解集；方案類解法適用于實際問題場景.每種方法均配以例題解析，確保學生掌握.

【關鍵詞】一元一次不等式組；初中數學

一元一次不等式組，作為中考數學的核心板塊，深度融合了代數符號與數值運算，對初一學生來說相對困難.面對此類問題，學生需精通多元解題策略，掌握高效、精準的解題路徑.

1 反解法

反解法解題策略的核心在于：先深入剖析題目，理解并梳理給定條件；隨后構想與原始條件相悖的假設性問題，并對其進行解答；最后利用在數軸上直觀呈現的反解答案，逆向推理，從而推導出原題目的準確解.

例1 若不等式組x＜m+1x＞2m－1無解，則不等式組中參數m的取值范圍是 .

解析 方法1 常規解法

根據不等式組無解可得到m+1≤2m－1，隨后，解關于m的不等式即可.

因為不等數組x＜m+1x＞2m－1無解，

所以m+1≤2m－1，

所以m≥2.

方法2 反解法

根據題干x＜m+1，x＞2m－1，

整理不等式組可得2m－1＜x＜m+1，

若不等式有解，則說明x在2m－1與m+1之間，

此時，2m－1＜m+1，通過解不等式，可得m＜2.

但根據題意可知，不等式組無解，則m≥2，即m的取值范圍為m≥2.

2 數形結合法

數形結合法強調數與形的緊密聯系，使復雜的代數問題得以簡化.該方法的核心在于借助圖形能更快地找到答案，實現“殊途同歸”的效果.

例2 若不等式組x≤2x＞m+1恰有三個整數解，則m的取值范圍是8bzAsjOK92A/FPpGRHTHqg== .

解析 由不等式組m+1<x≤2恰有三個整數解可知整數解為2，1，0，大致畫出數軸，如圖1所示.

由圖象可知m+1落在-1和0之間，再進行端點驗證，

當m+1=－1時，不等式組為－1<x≤2，整數解為2，1，0，符合題意；

當m+1=0時，不等式組為0<x≤2，整數解為2，1，不符合題意.

所以m+1的取值范圍為－1≤m+1<0，

即m的取值范圍為－2≤m<－1.

圖1

3 口訣法

在解決一元一次不等式組問題時，口訣法可以幫助學生迅速找到不等式組的解集.具體如表1.

例3 現有不等式組2x+3（x-2）<4，

x+32≤2x-53，則以下選項正確的是（ ）

（A）1<x≤2. （B）x≥1.

（C）x≤2. （D）1≤x<2.

解析 解不等式2x+3（x－2）<4，

得x<2，

解不等式x+32≤2x－53+3，

得x≥1，

根據上述口訣，可以確定1≤x<2.

4 方案類解法

在處理問題時，首先需要觀察題目中是否明確出現“方案”這一關鍵詞，以此作為初步判斷其是否為方案類問題的依據.一旦確認為方案類問題，接下來的解題步驟自然指向列出一元一次不等式組進行求解.在此類問題中，解集的確定遵循“大小小大中間找”的原則，即不等式組中兩個不等式的解集分別限定變量值的上界和下界，解集則位于兩個界值之間.求解得到的未知數的值通常是整數，且數目不應過于單一或過多.在解題過程中，如果遇到解集不符合“大小小大中間找”的預期范圍，應當立即檢查不等式組的列寫是否正確，以防出現邏輯或計算上的錯誤.

例4 果農張某今年豐收，收獲柑橘20噸和蘋果12噸.為了將這些水果全部運往遠方市場進行銷售，他計劃租用A，B不同類型的貨車共8輛.已知一輛A型貨車能裝載柑橘4噸和蘋果1噸，而一輛B型貨車能裝載柑橘和蘋果各2噸.

（1）張某應該如何分配A型和B型貨車的數量，以確保所有水果能一次性運往銷售地？請列出所有可能的方案.

（2）考慮到成本問題，A型貨車每輛的運輸費用是300元，B型貨車每輛的運輸費用是240元.張某應該選擇哪種方案來最小化運輸費用？并請計算出最少的運輸費用是多少.

解析 題目中已有非常明顯的字眼“方案”二字，初步判斷屬方案類問題，需列一元一次不等式組，結合問題實際，運輸問題應保證核載（即所載人或物不能超過車的規定載人載物重量）.當然此題即使考慮錯誤，也會在答題過程中，應用“方案”類問題程序修正.

（1）設租用A型貨車x輛，則B型貨車8－x輛，

由題意得4x+2（8-x）≥20，x+2（8-x）≥12，

解得x≥2，x≤4，

所以不等式組的解集為2≤x≤4，

因為x是整數，所以x=2，3，4，

即共有3種方案，分別是

方案1：租用A型貨車2輛，則B型貨車6輛；

方案2：租用A型貨車3輛，則B型貨車5輛；

方案3：租用A型貨車4輛，則B型貨車4輛.

（2）設總運費為y元，

則y=300x+240（8－x），

即y=60x+1920，

因為k=60>0，所以y隨x的增大而增大，

所以當x=2時，即方案1總運費y最小，最小值為2040元.

5 結語

總的來說，一元一次不等式組作為中考數學的重要板塊，其解題方法的掌握對學生成績的提升至關重要.本文提出的多元解題方法，不僅為學生提供了多樣化的解題路徑，還通過具體案例和詳細解析，幫助學生深入理解并掌握上述方法.通過反復練習和靈活運用，學生將能夠高效、精準地解決一元一次不等式組問題.