一道二次函數(shù)綜合題的解析與啟示

【摘要】二次函數(shù)綜合問(wèn)題是中考的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，此類(lèi)問(wèn)題既有“形”的性質(zhì)，又有“數(shù)”的特征，知識(shí)點(diǎn)豐富，方法繁多，與幾何或代數(shù)的內(nèi)容結(jié)合緊密，要求學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的知識(shí)理解透徹、對(duì)圖形靈活運(yùn)用，考查學(xué)生的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握情況，解題能力與應(yīng)變能力.本文分析一道二次函數(shù)綜合題的解答，以提升學(xué)生的綜合分析能力與主動(dòng)探究的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】函數(shù)綜合；壓軸題；初中數(shù)學(xué)

1 原題呈現(xiàn)

例題 如圖1，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A的直線y＝k（x－2）＋1（k＜0） 交拋物線y＝－x2＋4x于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)），D為拋物線的頂點(diǎn).

（1）寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）如圖1，若△ACD的面積是△ABD面積的兩倍，求k的值；

（3）如圖2，以AC為直徑作⊙E，若⊙E與直線y＝t所截的弦長(zhǎng)恒為定值，求t的值.

圖2

2 試題分析

這是一道二次函數(shù)綜合題，一題多問(wèn)，涉及定點(diǎn)、定值、面積等問(wèn)題，需要解題者運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程思想，運(yùn)用函數(shù)與代數(shù)、幾何等知識(shí)進(jìn)行圖形分析、代數(shù)運(yùn)算，做出數(shù)據(jù)分析與判斷，進(jìn)行代數(shù)推理，得出問(wèn)題的答案.

第一問(wèn)是定點(diǎn)問(wèn)題，由一次函數(shù)的解析式y(tǒng)＝k（x－2）＋1（k＜0），令x＝2時(shí)，無(wú)論k為何值，y的值始終不變，等于1，此時(shí)一次函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)（2，1）；定點(diǎn)問(wèn)題的另一種解法是：特殊值法，即令k在取值范圍內(nèi)取兩個(gè)值，代入一次函數(shù)的解析式，求出兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，即為直線過(guò)的定點(diǎn).

第二問(wèn)是面積問(wèn)題，可直接運(yùn)用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算.找出三角形的底與對(duì)應(yīng)高的值即可.易求點(diǎn)A與頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，AD＝3；兩個(gè)三角形的高即為點(diǎn)B，C與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的距離，但k的值未知，由直線與拋物線的交點(diǎn)意義，可運(yùn)用函數(shù)與方程的聯(lián)系，建立一元二次方程，直接運(yùn)用一元二次方程求根公式解方程，用含k的代數(shù)式表示點(diǎn)B，C與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的距離；另一種方法，運(yùn)用韋達(dá)定理建立方程組求解.

第三問(wèn)是線段定值問(wèn)題.因?yàn)橹本€y＝k（x－2）＋1（k＜0）中k值不確定，以線段AC為直徑的圓的位置與大小也不確定.但題目的條件是弦長(zhǎng)為定值，需要將弦長(zhǎng)用含有t及其他參數(shù)的代數(shù)式表示成二次函數(shù)的形式，再根據(jù)“代數(shù)式的無(wú)關(guān)型”問(wèn)題得到“零值式”，解方程即可.

3 解答與啟示

解 （1）因?yàn)锳為直線：y＝k（x－2）＋1上的定點(diǎn)，

所以A的坐標(biāo)與k無(wú)關(guān)，即x－2＝0，

所以x＝2，此時(shí)y＝1，

所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1）.

（2）因?yàn)閥＝－x2＋4x＝－（x－2）2＋4，

所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，4），

因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1），

所以AD⊥x軸.

所以AD＝4－1＝3.

如圖3，分別過(guò)點(diǎn)B，C作直線AD的垂線，垂足分別為M，N，設(shè)點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，

圖3

因?yàn)椤鰽CD的面積是△ABD面積的兩倍，

所以CN＝2BM，

所以x2－2＝2（2－x1），

化簡(jiǎn)得2x1＋x2＝6 ①，

聯(lián)立y=－x2+4xy=kx－2k+1，

得x2＋（k－4）x－2k＋1＝0 ②

由②和韋達(dá)定理得x1＋x2＝4－k ③，

又由2x1＋x2＝6①，

解①③組成的方程組得x1＝2＋k，

再代入 ②得，（2＋k）2＋（k－4）（2＋k）－2k＋1＝0，

解得k＝±62.

因?yàn)閗＜0，

所以k＝－62.

（3）如圖4，設(shè)⊙E與直線y＝t交于點(diǎn)G，H，

圖4

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（a，－a2＋4a），又點(diǎn)A（2，1）.

因?yàn)镋是AC的中點(diǎn)，

所以將線段AE沿AC方向平移與EC重合，

所以xE－xA＝xC－xE，yE－yA＝y(tǒng)C－yE，

所以xE＝12（xA＋xC），yE＝12（yA＋yC），

所以E（1＋a2，－a2+4a+12）；

（也可直接運(yùn)用中點(diǎn)公式求點(diǎn)E的坐標(biāo)）

分別過(guò)點(diǎn)E，A作x軸，y軸的平行線交于點(diǎn)F.

在Rt△AEF中，由勾股定理得：

EA2＝（1＋a2－2）2＋（－a2+4a+12－1）2＝（a2－1）2＋（－a2+4a+12－1）2 ；

過(guò)點(diǎn)E作PE⊥GH，垂足為P，連接EH，由垂徑定理得GH＝2PH，

EP 2＝（－a2+4a+12－t ） 2，

又因?yàn)锳E＝EH，

所以GH 2＝4PH 2＝4（EH 2－EP 2 ）＝4（EA2－EP 2 ）＝4［（a2－1）2＋（－a2+4a+12－1）2－（－a2+4a+12－t）2］＝4［a24－a＋1＋（－a2+4a+12）2－（－a2＋4a＋1）＋1－（－a2+4a+12）2＋t（－a2＋4a＋1）－t2］＝4［（54－t）a2＋（4t－5）a＋1＋t－t2］.

因?yàn)镚H的長(zhǎng)為定值，

所以54－t＝0，

且4t－5＝0，

所以t＝54.

4 結(jié)語(yǔ)

開(kāi)展二次函數(shù)綜合題解題探究可以幫助學(xué)生強(qiáng)化基礎(chǔ)，提升解題思維.本文以一道二次函數(shù)綜合題的解答為例，借此幫助同學(xué)們掌握解題規(guī)律，綜合運(yùn)用多方面的知識(shí)、多種數(shù)學(xué)思想方法，提高解題效率.