立足多視角，解構折疊型

【摘要】折疊問題是初中數學幾何問題中難度較大的一類問題，對學生的空間想象能力和幾何作圖能力有較高要求.因此，立足不同的視角，嘗試用多種方法分析和解決同一道問題，是理解折疊背景下幾何問題實質的重要過程.本文以探究一道典型例題的多種解法、思路分析及解答過程為例，從提升學生核心素養的角度，感悟數學之魅力，體驗能力的躍升.在過程中感悟折疊之美，以供讀者參考.

【關鍵詞】初中數學；平面幾何；折疊；解題

例題展示

對于給定的一張矩形紙片ABCD，寬AD=1，AB>CD進行如下操作：先沿CE折疊，使點B落在CD邊上，如圖1所示.再沿CF折疊，使點E恰好與點D重合，如圖2所示.將該矩形紙片展開后，繼續折疊紙片，使點C與點F重合，折痕與AB，CF，CD分別交于點P，G，Q，如圖3所示.求PD的長.

圖2

圖3

問題分析

如圖4所示，第一次折疊展開后，折痕CE平分∠BCD.

結論1 ∠ECB=∠DCE=45°，

結合∠B=90°，

則BE=BC=1，CE=2.

圖5

如圖5所示，第二次折疊展開后，折痕CF平分∠ECD，

且CE=CD=2.

結論2 連接EF，連接ED，

可知△FEC≌△FDC.

∠FEC=∠FDC=90°；

∠ECF=∠DCF=12∠ECD=22.5°；

EF=FD；

CF垂直平分ED.

推論 由上述結論可知∠AEF=45°，又可得AE=AF=2－1；FD=2－2.

如圖6所示，第三次折疊展開后，折痕PQ垂直平分CF.

圖7

結論3 連接CP，FP，FQ，

則可得CP=FP；

CQ=FQ.

方法展示

解法1 利用特殊角的銳角三角函數

解 如圖7所示，

因為FQ=QC，

所以∠CFQ=∠FCQ=22.5°，

即∠FQD=45°.

因為∠ADC=90°，

所以DQ=DF.

因為CF⊥DE，且CF⊥PQ，

所以DE∥PQ.

因為PE∥DQ，

所以四邊形DEPQ是平行四邊形，

所以EP=DQ，則EP=DF.

因為AE=AF，

所以AP=AD=1，PD=2.

解法2 利用四點共圓解決問題

解 如圖8所示，連接EF，PF，PC，PD.

由“結論2”可得∠FEC=∠FDC=90°，

圖8

所以C，D，F，E四點共圓，CF為圓的直徑、G為圓心.

連接EG，得∠EGF=2∠GCE=45°.

因為PQ⊥CF，

所以∠ECP=45°，∠CQG=90°－∠QCG=67.5°.

因為AB∥CD，

所以∠EPG=∠CQG=67.5°.

所以∠GEP=67.5°，

即∠GEP=∠EPG，GP=GE.

所以點P在圓G上，

∠ADP=12∠FGD=45°，

所以AP=AD=1，得PD=2.

圖9

解法3 建立坐標系，利用解析法

解 如圖9所示，以點B為原點建立平面直角坐標系，連接EF.

由題意得，點C的坐標為（1，0）.

由結論1和結論2及其推論可得，點D的坐標為（1，2），點F的坐標為（2－1，2），

則kFC=22－2=11－2.

因為直線PQ垂直平分CF，

所以kPQ=－1kFC=2－1.

所以G為FC的中點，故其坐標為（22，22）.

所以yPQ=（2－1）x+2－1，點P的坐標為（0，2－1），

所以PD=2.

結語

由上述三種解法可以看出，解答折疊問題的關鍵在于利用軸對稱的性質建立起眾多要素之間的關系，從定性到定量，步步為營，選擇恰當的方法和策略，問題自然就會水落石出.適當調整，放在“步步為營”的后面，從而完成整個問題的總結和提升.