換元法在初中數學解題中的應用

【摘要】本文旨在探討換元法在初中數學解題中的應用.換元法是一種重要的數學解題策略，通過引入新的變量替代原問題中的部分或全部變量，可以將復雜的問題轉化為更易于處理的簡單問題.本文通過對換元法概念和應用的闡述，結合實例分析換元法在初中數學解題中的具體應用.

【關鍵詞】換元法；初中數學；解題技巧

換元法是一種在數學解題中常用的策略，其基本思想是通過引入新的變量替代原問題中的部分或全部變量，從而將原問題轉化為更易于處理的簡單問題.這種策略在解決某些復雜問題時非常有效，尤其在解決一些難以直接求解的問題時，換元法能夠將問題轉化為熟悉的數學問題，從而找到解決方案.

1 運用換元法進行降元處理

例1 如果x+32=y－13=z－24，且x+y+z=18，則2x－y－z的值為 ．

解析 設x+32=y－13=z－24=k，

則x=2k－3，

y=3k+1，

z=4k+2，

因為x+y+z=18，

所以2k－3+3k+1+4k+2=18，

所以k=2，

所以x=1，y=7，z=10，

所以2x－y－z=2－7－10=－15.

評析 此題考查了比例的性質，設x+32=y－13=z－24=k，得出x=2k－3，y=3k+1，z=4k+2，再根據x+y+z=18，求出k的值，從而得出x，y，z的值，最后代入要求的式子進行計算即可得出答案．運用換元法將多元問題巧妙地轉化為一元問題解決，簡單又直觀．

2 運用換元法進行整體代換

例2 已知關于x，y的方程組ax+by=10mx－ny=8的解是x=4，y=6，

則關于x，

y的方程組

2ax+y+3b（x－y）=102mx+y－3n（x－y）=8的解是 ．

解析 因為關于x，y的方程組ax+by=10mx－ny=8的解是x=4，y=6，

2ax+y+3bx－y=10，2mx+y－3nx－y=8，

所以若令p=2x+y，q=3x－y，

則方程組2ax+y+3bx－y=102mx+y－3nx－y=8的解為

p=2x+y=4，q=3x－y=6，

所以解方程組2x+y=4，3x－y=6，

得x=2，y=0.

評析 本題考查二元一次方程組的解及同解方程組，利用整體思想和換元法進行整體代換是解決問題的關鍵．根據條件及所求，由同解方程組的性質得到方程組2x+y=43x－y=6，求解即可得到答案．

3 運用換元法求解比值問題

例3 如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點Ax1，y1，點Bx2，y2在雙曲線y=3x上，且0<x1<x2，分別過點A，點B作x軸的平行線，與雙曲線y=6x分別交于點C，點D，若△AOB的面積為94，則ACBD的值為（ ）

（A）23． （B）33．

（C）12． （D）33．

圖1

解析 如圖2所示，分別過點A、B作y軸的垂線，交點分別為點G、F，過點B作x軸的垂線，交點為點E，

設Ax1，3x1，Bx2，3x2，

則C2x1，3x1，D2x2，3x2，

Ex2，0，F0，3x2，G0，3x1

S△AOB=S五邊形OEBAG－S△OAG－S△OBE

=S四邊形ABFG+S四邊形OEBF－S△OAG－S△OBE，

則S△AOB=12x1+x23x1－3x2+3－2×12×3=3x22－x212x1x2=94，

令ACBD=x1x2=t，

則x1=tx2，

代入3x22－x212x1x2，

3x22－tx222tx2·x2=3x221－t22tx22=31－t22t，

則31－t22t=94，

解得t=12，t=－2（舍），

則ACBD的值為12．故選（C）．

圖2

點睛 此題考查了反比例函數k的幾何意義與換元思想在數學問題中的運用，解題的關鍵是正確應用k的幾何意義和巧妙地通過換元法尋找ACBD與△AOB面積的關系．通過設點法，設出Ax1，3x1，Bx2，3x2，C2x1，3x1，D2x2，3x2，表示出△AOB的面積，再借助整體換元思想，令ACBD=x1x2=t，求出t值即可．

4 運用換元法解題的注意事項

第一，明確換元的目的是關鍵.在應用換元法時，需要明確引入新變量的目的和意義，以及如何通過新變量解決原問題，如果換元后沒有起到解決問題或簡化問題的作用，這樣的換元是無效的.

第二，需要合理選擇換元方式.換元方式的選擇沒有固定的模式，需要根據具體問題而定，選擇合適的換元方式可以更好地解決問題.

第三，注意等價性.在換元過程中，需要保證新舊變量之間的關系是等價的，即替換前后的問題本質并沒有發生根本性的變化.

第四，靈活運用.換元法不是萬能的解題方法，并不是所有的問題都可以用換元法來解決，需要根據具體問題靈活選擇其他方法進行輔助求解.

5 結語

換元法在代數式的變形中具有廣泛的應用.例如，在解一元二次方程時，通過換元可以將方程轉化為二次方程的判別式是正值的情況，從而簡化了問題的求解過程.換元法也可以將復雜的問題轉化為簡單的問題.總之，換元法是一種行之有效的數學解題策略，在初中數學解題中具有廣泛的應用.通過引入新的變量替代原有的變量，換元法可以將復雜的問題轉化為簡單的問題，從而簡化解題過程.在初中數學教學中，教師應當注重培養學生的換元法意識，引導學生掌握這一重要策略，以提高解題效率和質量.

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