創(chuàng)意解題，表達(dá)亮點(diǎn)

【摘要】函數(shù)幾何圖象變換是常見(jiàn)考點(diǎn)之一，為幫助學(xué)生快速掌握平移、旋轉(zhuǎn)、翻折的相關(guān)習(xí)題解題方法，本文利用幾何畫(huà)板，結(jié)合解題過(guò)程，繪制函數(shù)圖象，便于學(xué)生直觀了解函數(shù)幾何圖象變換規(guī)律，實(shí)現(xiàn)快速解題.

【關(guān)鍵詞】幾何畫(huà)板；初中數(shù)學(xué)；函數(shù)圖象

在解答涉及二次函數(shù)幾何圖象變換的問(wèn)題時(shí)，利用幾何畫(huà)板，可以直觀地展示函數(shù)圖象及其變換過(guò)程，幫助學(xué)生深入理解函數(shù)性質(zhì)與變換規(guī)律.以下是一個(gè)基于幾何畫(huà)板繪制函數(shù)圖象解題的示例，旨在展示如何通過(guò)創(chuàng)意解題和表達(dá)亮點(diǎn)來(lái)解答此類問(wèn)題.

1 平移的解題方法

初中二次函數(shù)幾何變換常見(jiàn)的形式之一為平移變換，在利用幾何畫(huà)板繪制函數(shù)圖象時(shí)需遵循“上加下減，左加右減”，即函數(shù)上下平移時(shí)，y值遵循“上加下減”的規(guī)律，左右平移時(shí)，x值遵循“左加右減”的規(guī)律.

例1 如圖1，四邊形ABCD為平行四邊形，其中AB=4，D（0，8），點(diǎn)C為拋物線y=ax2+bx+ca≠0的頂點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)為拋物線與x軸的交點(diǎn).

（1）求A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）現(xiàn)將拋物線向上平移，直至經(jīng)過(guò)D點(diǎn)，求此時(shí)拋物線的解析式.

圖1

解析 （1）根據(jù)題意可知，四邊形ABCD為平行四邊形，

則有CD=AB=4，

又因?yàn)镈（0，8），

所以可知點(diǎn)C為（4，8），

過(guò)頂點(diǎn)C作x軸的垂線，交點(diǎn)H為拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，則點(diǎn)H（4，0），

則有CD=AB=OH，

所以AH=BH=2，

則有A（2，0），B（6，0）.

（2）將點(diǎn)C（4，8），A（2，0）代入拋物線解析式，可得a=－2，

則函數(shù)解析式為y=－2（x－4）2+8，根據(jù)題意，拋物線向上平移一段距離后經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.

設(shè)向上平移后的拋物線解析式為y=－2（x－4）2+h，將D（0，8）代入解析式，

解得y=－2（x－4）2+40.

即平移后的拋物線解析式為y=-2（x-4）2+40.

2 旋轉(zhuǎn)的解題方法

拋物線的旋轉(zhuǎn)變換與平移變換相似，旋轉(zhuǎn)操作并不改變拋物線的開(kāi)口大小，而是重新定位其位置或調(diào)整了開(kāi)口的朝向.因此，解決涉及拋物線旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的核心策略，依舊聚焦于精確捕捉旋轉(zhuǎn)前后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)變化及其開(kāi)口方向的調(diào)整.而后利用幾何畫(huà)板繪制圖象，直觀感受變化規(guī)律.

例2 拋物線y=x2－2mx+m2（m為常數(shù)，m＞0），點(diǎn)G為拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)P為其上一點(diǎn).現(xiàn)將拋物線以G為圓心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，新函數(shù)圖象與y軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方），點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q.

（1）若m=2，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo).

（2）設(shè)Q（a，b），用含m，b的代數(shù)式表示a.

圖2

解析 （1）當(dāng)m=2時(shí)，拋物線為y=（x－2）2，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，4）.

如圖2所示，分別連接QG，PG，過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)E.

依題意，可得△GQF≌△PGE，

則FQ=EG=2，

FG=EP=4.

所以FO=2，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（－2，2）.

（2）如圖2所示，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（a，b），點(diǎn)Q為點(diǎn)P繞點(diǎn)G逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m+b，m－a）.

將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y=（x－m）2，

得m－a=（m+b－m）2，

整理得a=m－b2.

3 翻折的解題方法

將拋物線的部分圖象沿x軸、y軸或平行于x軸、y軸的直線翻折，其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象，研究新圖象與一次函數(shù)圖象的公共點(diǎn)，是近年中考數(shù)學(xué)壓軸題的熱點(diǎn)之一.解答這類問(wèn)題的策略是：（1）畫(huà)圖；（2）根據(jù)待定系數(shù)，明確圖象的變化趨勢(shì)；（3）找臨界點(diǎn).

例3 一元二次方程2x2+4x+k－1=0，已知該方程具有實(shí)數(shù)根，且參數(shù)k為正整數(shù).

（1）確定k的取值；

（2）若上述函數(shù)有兩個(gè)非零整數(shù)根，將其下移8個(gè)單位長(zhǎng)度，寫(xiě)出此時(shí)的函數(shù)解析式；

（3）根據(jù)（2）所得函數(shù)解析式，將y≤0部分函數(shù)圖象以x軸為對(duì)稱軸，進(jìn)行翻折.直線y=12x+b（b＜k）經(jīng)過(guò)翻折后的函數(shù)圖象，若有兩個(gè)交點(diǎn)，求此時(shí)b的取值范圍.

圖3

解析 （1）已知方程有實(shí)數(shù)根，根據(jù)判別式的性質(zhì)，有Δ≥0，

即Δ=16－8（k－1）≥0，解得k≤3.

根據(jù)題意參數(shù)k為正整數(shù)，則k=1，2，3.

（2）解得k=1，2，3，進(jìn)行分類討論，

將k=1代入解析式，有一個(gè)零根，不符合要求；

將k=2代入解析式，無(wú)整數(shù)根，不符合要求；

將k=3代入解析式，有兩個(gè)非零的整數(shù)根，符合要求；

根據(jù)題意，圖象下移8個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為y=2x2+4x－6.

（3）假設(shè)y=2x2+4x－6與x軸的交點(diǎn)為A（－3，0），B（1，0），則翻折變換后的函數(shù)圖象如圖3所示.

根據(jù)題意，直線y=12x+b（b＜k）與新圖象存在兩個(gè)交點(diǎn)，從圖中可以看出，直線與x軸的交點(diǎn)應(yīng)在A，B兩點(diǎn)之間，將A（－3，0），B（1，0）分別代入直線方程，解得－12＜b＜32，

即b的取值范圍為－12＜b＜32.

4 結(jié)語(yǔ)

總而言之，通過(guò)具體案例展示如何利用幾何畫(huà)板繪制變換函數(shù)圖象，以直觀的方式解答涉及平移、旋轉(zhuǎn)和翻折的二次函數(shù)問(wèn)題，該方法不僅能夠幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)性質(zhì)，還能提高學(xué)生的解題能力和創(chuàng)新思維.