整體思想在初中代數(shù)式求解中的思維進(jìn)階

【摘要】在當(dāng)前的數(shù)學(xué)教育中，整體思想被視為一種基本而重要的思維方式，尤其在初中代數(shù)式的解題教學(xué)過程中，其作用愈發(fā)顯著.本文通過對典型例題的解析，展示如何引導(dǎo)學(xué)生運用整體思想解決實際問題，提升數(shù)學(xué)思維.研究整體思想在初中代數(shù)式求解中的思維進(jìn)階，對于改進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式和優(yōu)化教師解題教學(xué)策略，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)具有重要的指導(dǎo)和實踐意義.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；整體思想；解題技巧

1 引言

在初中代數(shù)式的求解過程中，整體思想作為一種基本思維方式，起著至關(guān)重要的作用.本文將從基礎(chǔ)運用、思維提升和實際應(yīng)用三個階段探討整體思想在初中代數(shù)式求解中的思維進(jìn)階.在基礎(chǔ)運用階段，學(xué)生需要掌握整體思想的本質(zhì)，學(xué)會將條件或信息進(jìn)行分析、整合，從而實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化.在思維提升階段，學(xué)生需要從問題的設(shè)定出發(fā)，通過設(shè)定變量和方程，將問題轉(zhuǎn)化為建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步提升整體思維能力.在實際應(yīng)用階段，學(xué)生需要將整體思想應(yīng)用于解決實際問題.

2 試題呈現(xiàn)

例1 整體思想的基本運用

已知a=12023+2022，b=12023+2023，c=12023+2024，則代數(shù)式2（a2+b2+c2－ab－bc－ac）的值是多少？

例2 整體思想的思維提升

記a，b表示正整數(shù)a，b的最大公約數(shù).設(shè)n是小于100的正整數(shù)且滿足7n+6，4n+5>1，則所有符合要求的n的和為多少？

例3 整體思想的實際應(yīng)用

小紅家買了一套住房，建筑平面圖如圖1所示.（單位：米）

圖1

（1）用含有a，b的代數(shù)式表示主臥的面積為平方米，次臥的面積為平方米，客廳的面積為平方米；（直接填寫答案）

（2）小紅的爸爸想把主臥、次臥鋪上木地板，其余部分鋪瓷磚，已知每平方米木地板費用為元，每平方米瓷磚的費用為元，a=5，b=4時，求鋪完整個房屋地面所需的費用.

3 思路探究

例1 體現(xiàn)了整體思想在數(shù)學(xué)問題中的基本運用.首先，對問題中的數(shù)學(xué)對象進(jìn)行分組，然后通過配方，即將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為完全平方形式，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而整體代入求解.

例2 展示了從問題的設(shè)定出發(fā)，通過設(shè)定變量和方程，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式的方法.在此例題中，設(shè)4n+5和7n+6的最大公約數(shù)為k，然后通過消去n，將問題轉(zhuǎn)化為更簡單的形式.接著，將n<100代入，求出n的所有可能值，并求和.

例3 通過已知的圖形信息，列出關(guān)于變量a，b的代數(shù)式.首先，根據(jù)圖1中信息列出各個臥室和客廳的面積表達(dá)式，然后求出住房的整體面積，計算鋪瓷磚和鋪木地板的費用之和，得到總費用.

這幾個例題循序漸進(jìn)，依次展示了整體思想在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題教學(xué)中的思維進(jìn)階過程，對于提升學(xué)生分析、解決問題的能力以及核心素養(yǎng)的形成有極大的促進(jìn)作用.

4 解法探究

例1 2a2+b2+c2－ab－bc－ac=（a－b）2+（a－c）2+（b－c）2.

解得原式=（－1）2+（－2）2+（－1）2=6.

例2 設(shè)4n+5和7n+6的最大公約數(shù)為k，

則4n+5÷k為整數(shù)，

7n+6÷k為整數(shù)，

即74n+5－47n+6÷k=11÷k為整數(shù).

因為k≠1，則11÷k為整數(shù)時，只能為11，即兩代數(shù)式大于1的公約數(shù)為11.

又因為24n+5－7n+6÷k為整數(shù)，

代入k=11，有n+4÷11為整數(shù)，

因為n<100，

則n=7，18，29，40，51，62，73，84，95，

所以7+18+29+40+51+62+73+84+95=459.

例3 （1）由圖2可得：主臥的面積為=5×b+3=5b+15（平方米）.

圖2

次臥的面積=b×16－3－5－2=6b（平方米）.

客廳的面積=a×16－5－2=9a（平方米）.

（2）由題意得住房的整體面積=16×a+b－2×b+3=16a+14b－6（平方米）.

因為鋪木地板的面積為5b+15+6b=11b+15（平方米），

代入數(shù)據(jù)得整體面積=16×5+14×4－6=80+56－6=130（平方米），

鋪木地板的面積=11×4+15=59（平方米），

所以鋪瓷磚面積=130－59=71（平方米）.

所以總費用為59×200+71×100=18900元.

5 結(jié)語

在初中代數(shù)式的教學(xué)中，整體思想的運用是實現(xiàn)問題解決的重要策略之一.例1要求生深刻理解并靈活運用整體思想，通過將問題進(jìn)行分組，再運用配方技巧，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為更易求解的形式.例2則進(jìn)一步考驗學(xué)生的整體思想應(yīng)用，學(xué)生需先設(shè)定公約數(shù)，然后對代數(shù)式進(jìn)行巧妙的變形，消去變量n，從而將問題簡化.這一過程要求學(xué)生熟悉整體思想并能靈活運用，才能在解題中游刃有余.例3則是要求學(xué)生通過已知的圖形信息進(jìn)行分析，列出關(guān)于變量的代數(shù)式，這不僅需要精確的計算，還需要學(xué)生對整體思想有深入的理解和運用.通過本文的探討可以看到，整體思想在初中代數(shù)式求解中的思維進(jìn)階具有重要意義.從基礎(chǔ)運用到思維提升，再到實際應(yīng)用，學(xué)生需要逐步掌握整體思想的本質(zhì)，學(xué)會將信息進(jìn)行分析、整合和轉(zhuǎn)化，從而更好地解決實際問題.

參考文獻(xiàn)：

［1］崔娟，王彪彪.借助整體思想，促進(jìn)初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)［J］.數(shù)理天地（初中版），2024（05）：34-35.

［2］湯永梅.初中數(shù)學(xué)解題中整體思想的應(yīng)用策略［J］.數(shù)理化解題研究，2023（35）：59-61.

［3］賈應(yīng)龍.整體思想在解決初中數(shù)學(xué)一元二次方程中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2021（10）：36-37.