“數(shù)形”引領(lǐng)單元變式，深度復(fù)習(xí)自然生長

【摘要】要想上好數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課，我們可以致力于學(xué)生深度復(fù)習(xí)能力的培養(yǎng).本文以二次函數(shù)圖象性質(zhì)復(fù)習(xí)課為例進行深度復(fù)習(xí)課堂實踐，在實踐中努力營造互助學(xué)習(xí)、互動對話的生動課堂，緊扣二次函數(shù)知識生成的線索，適時適度滲透數(shù)形結(jié)合的核心思想方法，在構(gòu)建二次函數(shù)知識脈絡(luò)的基礎(chǔ)上，精心設(shè)置靈活多變的變式題組，實現(xiàn)從“解一題→通一類→會一片”的飛躍，從而奠定學(xué)生深度復(fù)習(xí)的廣度、深度、寬度，提高深度復(fù)習(xí)的質(zhì)量和效率，以求最大限度促進學(xué)生深度復(fù)習(xí)能力的自然生長.

【關(guān)鍵詞】深度復(fù)習(xí)；數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)

1 深入思考教學(xué)困惑，積極尋求解決途徑

如何提高復(fù)習(xí)課的學(xué)習(xí)效率，一直是筆者的教學(xué)困惑？

在新課程改革不斷向縱深推進的今天，復(fù)習(xí)課也要與時俱進，突顯學(xué)生的主體地位，積極構(gòu)建學(xué)生深度復(fù)習(xí)課堂，變“要我復(fù)習(xí)”為“我要復(fù)習(xí)”“我能復(fù)習(xí)”“我會復(fù)習(xí)”“我愛復(fù)習(xí)”，促進學(xué)生全面地發(fā)展，讓學(xué)生從知識的系統(tǒng)性去理解知識和技能，構(gòu)建單元知識網(wǎng)絡(luò)，提升數(shù)學(xué)綜合能力，提高復(fù)習(xí)效率.

本文利用教師培訓(xùn)成果匯報的契機，結(jié)合二次函數(shù)圖象性質(zhì)進行了全方面的思考，開展了一節(jié)以數(shù)形結(jié)合思想為引領(lǐng)的區(qū)級公開復(fù)習(xí)課，談?wù)勅绾瓮伙@學(xué)生主體地位，緊扣數(shù)形結(jié)合思想方法這一主線來構(gòu)建學(xué)生深度復(fù)習(xí)的數(shù)學(xué)課堂，促進學(xué)生深度復(fù)習(xí)能力的自然生長.

2 深入剖析教學(xué)現(xiàn)象，不斷修正教學(xué)策略

2.1 體驗數(shù)形結(jié)合思想，喚醒深度復(fù)習(xí)的主動性

開始復(fù)習(xí)時，創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯栴}情境幫助學(xué)生明確復(fù)習(xí)的方向，一旦學(xué)生的復(fù)習(xí)思維被啟動，深度復(fù)習(xí)的意識就會強烈，思維就越活躍、越深刻，深度復(fù)習(xí)的主動性就越明顯.

試講時發(fā)現(xiàn)，以一組基礎(chǔ)練習(xí)題來開展復(fù)習(xí)，有幾個弊端：①形式陳舊；②學(xué)生對圖象的感知度較低；③體現(xiàn)不了復(fù)習(xí)課型的特點.

設(shè)置一個巧妙的變式題，讓學(xué)生掉進預(yù)設(shè)的教學(xué)“陷阱”，從而讓學(xué)生深刻地體會到能畫圖、會畫圖、看準(zhǔn)圖的重要性，從而初步體驗數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)學(xué)習(xí)中的重要性.

問題1 已知二次函數(shù)y=x2+bx-3的圖象經(jīng)過點A（-1，0）.

（1）這個二次函數(shù)的表達式是 ；

（2）這個圖象的頂點坐標(biāo)是 ；

當(dāng)x= 時，y有最 值，值為 ；

（3）這個圖象的對稱軸是 ，

與x軸相交的另一交點的坐標(biāo)是 ；

方程x2-2x-3=0的兩個根是 .

（4）當(dāng)x為 時，y>0；

當(dāng)x為 時，y<0；

（5）當(dāng)-1≤x≤0時，y的取值范圍為 ；

變式題：當(dāng)-1≤x≤4時，y的取值范圍為 .

2.2 感悟數(shù)形結(jié)合思想，點燃深度復(fù)習(xí)的積極性

在二次函數(shù)圖形復(fù)習(xí)時，若單純用數(shù)的角度解決問題會顯得繁瑣且低效，若能利用圖形的某些特征，解決起來就會事半功倍，從而讓學(xué)生感受到“數(shù)”的精確性可以借助“形”的生動性和直觀性來觀察，從單元構(gòu)建的角度領(lǐng)會到圖形的某些屬性或者特征可以借助“數(shù)”的精確性來刻畫，真正感悟數(shù)形結(jié)合思想，還能幫助學(xué)生樹立“我能復(fù)習(xí)”的信心與勇氣.

設(shè)計初稿時發(fā)現(xiàn)兩個問題：①題目能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的特點，但有點散，不利于學(xué)生聚焦數(shù)形結(jié)合這個核心數(shù)學(xué)思想；②題目之間比較獨立，不利于學(xué)生將二次函數(shù)的相關(guān)知識板塊化和網(wǎng)絡(luò)化.

設(shè)計單元變式題組，以復(fù)習(xí)引入的知識背景設(shè)計相關(guān)的變式題目，內(nèi)容涉及二次函數(shù)圖象的對稱性、增減性和最值問題，從而幫助學(xué)生在進一步領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合思想重要性的同時，形成自己的知識網(wǎng)絡(luò).

問題2 拋物線y=x2-2x-3與坐標(biāo)軸的交點記為A，B，C，連接AB，BC，AC，得到△ABC，則S△ABC= .

若點D在x軸下方，在拋物線上找一個點D，使得S△ABD= S△ABC，則點D的坐標(biāo)為 .

反思 改進后的設(shè)計可以幫助學(xué)生從“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”的角度感悟數(shù)形結(jié)合思想，從而激發(fā)學(xué)生深度復(fù)習(xí)的積極性，積累解題經(jīng)驗，也可以增強小組合作交流的氛圍，讓學(xué)生感受到團隊的力量，讓學(xué)生想復(fù)習(xí)、樂復(fù)習(xí)、會復(fù)習(xí).

2.3 運用數(shù)形結(jié)合思想，提高深度復(fù)習(xí)的綜合性

具體復(fù)習(xí)時，二次函數(shù)復(fù)習(xí)課應(yīng)找準(zhǔn)知識關(guān)鍵點，切合數(shù)學(xué)思想方法，圍繞關(guān)鍵點進行適度的一題多解、多題一解的變式拓展，并實施深度追問，這樣的設(shè)計有利于學(xué)生自主調(diào)動知識來解決問題，更能通過添加新的運動變化問題，激發(fā)學(xué)生深度復(fù)習(xí)的內(nèi)在潛力，達到拓展提升的目的，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

在具體教學(xué)實踐中，緊扣數(shù)形結(jié)合思想為二次函數(shù)的復(fù)習(xí)提供腳手架，一方面以“一圖多變”“一題多解”的方式來設(shè)計問題串，以“多題一解”的方式提醒學(xué)生觀察問題的變化，從而發(fā)現(xiàn)問題的異同點與關(guān)聯(lián)點，拓寬自主復(fù)習(xí)的廣度，通過師生的歸納探索，讓學(xué)生總結(jié)出解決動點問題的一般解題思路，加深自主復(fù)習(xí)的寬度.

問題3 二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象如圖所示.

P為線段BC上的任意一點，設(shè)P點的橫坐標(biāo)為x，則P點的縱坐標(biāo)是 （用含x的式子表示）.

（1）過點P作x軸的垂線與拋物線交于點F，求線段PF長度的最大值；

（2）M是二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸的交點，G是對稱軸與線段BC的交點，在線段BC上是否存在一點P，使得四邊形MGFP是平行四邊形？若存在，求出此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，如果P點沿著射線BC繼續(xù)運動，還能得到以M，G，F(xiàn)，P為頂點的平行四邊形嗎？若存在，求此時點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

反思 由定點變?yōu)閯狱c，由動點變?yōu)閯泳€，由點的位置的變化引起線段長度、圖形形狀的變化，體現(xiàn)了分類討論思想，不僅讓學(xué)生直觀感知了數(shù)形結(jié)合思想，也突出了解決動點問題的思考途徑與注意要點.這樣在幫助學(xué)生梳理知識，使之系統(tǒng)化，結(jié)構(gòu)化，熟練掌握能力的同時，體會數(shù)學(xué)知識的自然生成，深度復(fù)習(xí)能力的自然生長.

2.4 提煉數(shù)形結(jié)合思想，增強深度復(fù)習(xí)的反思力

在深度復(fù)習(xí)課堂中，應(yīng)強調(diào)學(xué)生的反思與歸納，通過構(gòu)建知識脈絡(luò)圖將相關(guān)知識結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化，讓學(xué)生對知識的認識更全面，理解更深入，體會更深刻，讓學(xué)生在反思總結(jié)中提升元認知能力.為此，在本課中，引導(dǎo)學(xué)生思考如下幾個問題：本節(jié)課是以怎樣的知識脈絡(luò)展開復(fù)習(xí)的？用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？你積累了哪些解題經(jīng)驗？

反思 我們把本節(jié)課的要點歸納為“1個核心思想，2個解題策略，3個函數(shù)性質(zhì)”.1個核心思想——數(shù)形結(jié)合思想；2個解題策略——函數(shù)問題畫好草圖，動點問題先猜想再驗證；3個函數(shù)性質(zhì)——二次函數(shù)的增減性、對稱性和最值.

3 提升深度復(fù)習(xí)能力，實現(xiàn)有效復(fù)習(xí)教學(xué)

深度復(fù)習(xí)是學(xué)生針對所學(xué)知識發(fā)自內(nèi)心的真實的復(fù)習(xí)活動，在復(fù)習(xí)課上，教師應(yīng)該尊重學(xué)生自主復(fù)習(xí)、交流感受、創(chuàng)新思維的學(xué)習(xí)需求，讓學(xué)生最大限度地敞開心扉，并通過教師的引導(dǎo)和點撥，激活學(xué)生的思維，并以開放性問題為載體，以知識形成過程為線索，以思想方法來立意，發(fā)展思維，提升能力.

3.1 建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)，奠定深度復(fù)習(xí)基礎(chǔ)

復(fù)習(xí)時，如何真正實現(xiàn)把書本從厚讀到薄，怎么更好地建構(gòu)單元知識結(jié)構(gòu)，開展深度復(fù)習(xí)？

二次函數(shù)圖象有很多相關(guān)知識，要精準(zhǔn)地找到知識之間的內(nèi)在練習(xí)，找準(zhǔn)知識生成的線索，準(zhǔn)確地建構(gòu)起知識脈絡(luò)，通過對數(shù)形結(jié)合思想梳理和思考，本節(jié)課的知識脈絡(luò)、知識層次、數(shù)學(xué)思想方法就躍然紙上，教師就能較輕松地掌握本節(jié)課的教學(xué)重點和難點，找準(zhǔn)學(xué)生知識的生長點，為后繼開展深度復(fù)習(xí)奠定基礎(chǔ).

3.2 設(shè)計變式題組，拓寬深度復(fù)習(xí)空間

課例緊扣課本第47頁的一道變式習(xí)題來進行變式教學(xué)，以問題串的形式逐步順勢延伸、拓展，將零散的知識通過一條主線有效地串聯(lián)，優(yōu)化了知識結(jié)構(gòu)，加速了思維的進程，也拓寬了學(xué)生復(fù)習(xí)的寬度、廣度和深度.此外在具體教學(xué)時，通過“一題多變”“多題一法”“一圖多用”的方式引導(dǎo)學(xué)生進行點動、線動、圖動等動點變化問題的有效探究，能讓學(xué)生在更廣闊的自主復(fù)習(xí)空間中實現(xiàn)自主探究，循序漸進，拓展開闊學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，找到解決問題的通性通法，提高學(xué)習(xí)效率.

3.3 突出思想方法，提升深度復(fù)習(xí)品質(zhì)

“二次函數(shù)”這一章是體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的重要章節(jié)，為了讓學(xué)生能深刻領(lǐng)會到本節(jié)課的知識結(jié)構(gòu)，我以數(shù)形結(jié)合思想來串聯(lián)這章知識，精心設(shè)計了以下環(huán)節(jié)：

第一個環(huán)節(jié)，在增減性的考查中，學(xué)生陷入了直接利用x的取值范圍確定y的取值范圍而出錯的陷阱，讓學(xué)生領(lǐng)悟到利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)時，一定要畫草圖，再看圖，最后才能解決圖形問題的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，讓學(xué)生經(jīng)歷了一次由數(shù)到形的思維提升過程.

第二個環(huán)節(jié)，為了解決動點問題，引導(dǎo)學(xué)生由動點位置變化拓展到特殊線段長度的比較，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，類比探究，把線段長轉(zhuǎn)化為動點坐標(biāo)表示，由問題導(dǎo)學(xué)，將學(xué)生的思維引向解決問題的方向，關(guān)注學(xué)生了的持續(xù)生長，更讓學(xué)生感受到了數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的作用，也使學(xué)生經(jīng)歷的不僅是一個解答過程，更是一種研究問題的方法.

可見，本節(jié)二次函數(shù)的復(fù)習(xí)課借助數(shù)、式、圖形規(guī)律，借助“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結(jié)合，充分鍛煉學(xué)生邏輯推理思維，讓學(xué)生清晰、有條理地表達自己的思考過程，真正學(xué)會、學(xué)懂知識，提高數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng).

3.4 凸顯學(xué)生地位，增強深度復(fù)習(xí)效果

在具體的課題中，我們應(yīng)該積極推行自主合作探究學(xué)習(xí)，課堂實施過程中充分體現(xiàn)“自主先行，崇尚生動”，讓學(xué)生在自主“回憶、發(fā)問、反思”等中求得真知，在“雙基”的學(xué)習(xí)中生動地感悟數(shù)學(xué)思想、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感受到數(shù)學(xué)活動中的探索性和創(chuàng)造性，并獲得了成功的喜悅，激勵了自主探究、合作學(xué)習(xí)的積極主動性，發(fā)展了學(xué)習(xí)力，也使復(fù)習(xí)的效果事半功倍.

4 結(jié)語

復(fù)習(xí)并不意味著學(xué)習(xí)內(nèi)容的結(jié)束，而是會引發(fā)更多的新知識，懂得要適時停下來回頭看看曾經(jīng)經(jīng)歷的，就能夠繼續(xù)引發(fā)新的思考，新的思考，開啟新的探索，這就是復(fù)習(xí)的價值.

上好復(fù)習(xí)課，要以課本為綱，在系統(tǒng)梳理知識上下功夫.只有學(xué)生能把握知識點之間的必然聯(lián)系，能對課本知識有一個綱領(lǐng)性、系統(tǒng)性的認識就會對知識體系了然于胸.

上好復(fù)習(xí)課，要以典型問題為抓手，在提高學(xué)生解決問題的能力上下功夫.只要教師摸清核心知識和核心思想方法，精心梳理，找到一些典型問題，讓一道題能牽動幾個知識點，加強一題多變、一題多解、多題一法的訓(xùn)練，增加知識點的聯(lián)系，擴大知識面，增強應(yīng)變能力，再通過學(xué)生思考、合作、探討，老師精講點評，使學(xué)生準(zhǔn)確掌握解題思路和方法，最終達到“授之以魚”也“授之以漁”的目的.

上好復(fù)習(xí)課，要發(fā)揮教師主導(dǎo)和學(xué)生主體的作用，要在課程改革上下功夫.在具體復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷知識網(wǎng)絡(luò)的形成過程，并通過小組合作探究的方式區(qū)解決問題，從而啟發(fā)學(xué)生敞開思路，拔高認識，突破難點，總結(jié)重點，輕松完成學(xué)習(xí)目標(biāo).

【本文系廣州市教育科學(xué)規(guī)劃重點課題《指向深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)運算單元教學(xué)設(shè)計研究》課題編號：202315858；越秀區(qū)教育科學(xué)規(guī)劃課題《“雙減”政策下初中數(shù)學(xué)智慧運算作業(yè)優(yōu)化設(shè)計的策略研究》課題編號：越教類【2022】30號；廣東省中小學(xué)教師信息技術(shù)應(yīng)用能力提升工程2.0專項科研課題《基于智慧教學(xué)平臺的初中生數(shù)學(xué)運算能力培養(yǎng)的單元教學(xué)設(shè)計研究》課題編號：TSGCKT2022005的課題項目階段性成果】

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