一道宏微結合題目多種解法的探討及教學啟示

摘 要：本文對一道宏觀與微觀相結合的題目進行深入探討，分析了該題目的考查要點、解題思路，并提出了三種不同的解題方法。同時，本文比較了這些解法在模型建構和思維路徑上的區別與聯系。最終，對宏微結合題目的特色和考查目標給出了一些教學思考和建議。

關鍵詞：宏微結合；一題多解；模型建構；教學啟示

1 引言

近幾年來，在北京普通高中學業水平等級性考試及之前高考的物理試題中，宏微結合的題目一直是考查的熱點。^{［1］［2］}例如，2013年北京卷第24題考查的“利用粒子簡化模型推導理想氣體的壓強表達式”、2016年北京卷第24題探討的“光鑷效應”、2020年北京卷第19題涉及的“無限長直導線電子束發射”問題等，均屬于宏微結合的典型實例。這類題目不僅檢驗了學生對相關物理概念、規律的理解和掌握程度，還著重考查了學生的模型建構能力。^［3］它們均涉及物理觀念及科學思維等多方面的核心素養，具有較高的綜合性，對學生能力是極大的挑戰，并在試卷中具有較強的區分作用。此類題目往往存在多個解題途徑，因此，在日常教學中，若教師能夠引導學生從不同角度進行思考，不僅有利于學生深刻理解題目中的物理情景，還能有效地促進學生高階思維能力的發展。

2 試題賞析

2.1 試題展現

如圖1所示，密封在真空中的兩塊等大、正對的金屬板M、N豎直平行放置，間距為d，將金屬板M、N與電源相連，兩板間的電壓大小恒為U。MN可看作平行板電容器，忽略邊緣效應。用一束單色平行光照射金屬板M使其恰好發生光電效應。金屬板M的面積為S，逸出功為W，普朗克常量為h。

已知單色平行光均勻照射到整個金屬板M上，照射到金屬板M上的功率為P，能引起光電效應的概率為η，光電子從金屬板M逸出（不計初速度），經過兩板間電場加速后打到金屬板N上形成穩定的光電流，電子打到板N上可視為完全非彈性碰撞。電子的質量為m，電荷量大小為e。忽略光電子之間的相互作用。求：

（1）該單色光的頻率ν；

（2）穩定時光電流的大小I；

（3）電子對N板的撞擊力的大小F；

（4）兩金屬板間電子的分布規律。

2.2 試題解析

本題以光電效應實驗為背景，一方面考查了光電效應的規律、電流的定義、動量定理、動能定理等物理知識，另一方面考查了帶電粒子在電場中的加速、恒定電流、完全非彈性碰撞等物理模型。本題的宏微結合思想主要體現在以下三個方面：宏觀上是大量光電子在靜電力作用下定向運動形成穩定電流，微觀上是從金屬板逸出的光電子在靜電力作用下做勻加速運動；宏觀上是大量電子與N板碰撞后形成的撞擊力，微觀上是每個電子與N板發生完全非彈性碰撞的相互作用力；宏觀上是M、N兩板之間始終不變的電子總量，微觀上是電子數密度隨著電子速度的增大在空間上不斷減小的分布規律。

前三小問具體解答如下。

第（1）問，由hν＝W，①

可得ν＝Wh。②

第（2）問，單位時間內逸出的光電子數

N₀＝ηPW，③

則電流

I＝N₀e＝ηPWe。④

第（3）問，設光電子到達N板的速度為v，根據動能定理有

eU＝12mv²，⑤

因Δt時間內有N₀ Δt個電子與N板碰撞，根據動量定理有

FΔt＝N₀mvΔt，⑥

所以F＝ηPWmv，⑦

綜合式⑤⑦可得

F＝ηPW2emU。⑧

本題的多種解法主要出現在第（4）問，即求電子在兩金屬板間的分布規律。電子從M板逸出后在MN之間經勻強電場加速，當整個系統穩定后，兩板間的電子分布具有保持不變的特點。從微觀角度看，電子的運動是勻變速直線運動；從宏觀角度看，電流是恒定的。這和之前學習的恒定電流的特點有很大不同。在之前的模型中，電子的運動可以視為以某一穩定的速率勻速運動。然而，在本題中，電子速度越來越大，這說明沿其運動方向的電子數分布是不均勻的，即隨著離開M板距離的增大，電子數密度逐漸降低。為了求在任意位置均適用的分布規律，我們可以沿電子運動的方向建立Ox坐標軸，并通過研究坐標軸上任一點位置坐標x處的電子分布情況進行論證。下面給出第（4）問的三種解法，并對每種解法進行分析和說明。

【解法一】

如圖2所示，在水平方向上建立Ox坐標軸，在x處截取一小段距離Δx，其在空間中對應一個橫截面積為S的柱體。

設電子在x處的速度為v_x，則電子從M板逸出加速運動到x處，根據動能定理有

eUxd＝12mv²x。⑨

設在x處，單位體積內的電子數為n_x，則圖2中的柱體內包含的電子個數為

N_x＝n_xSΔx＝n_xSv_xΔt，⑩

其中N_x＝N₀Δt，B11

綜合式③⑨⑩B11可得n_x＝ηPWSmd2eUx。B12

可見，單位體積的電子數隨著離開M板距離的增加而逐漸減少。

【解法二】

在長為Δx的小柱體內，所有電子的電荷量大小為Δq＝n_xeSv_xΔt。B13

根據電流定義

I＝ΔqΔt＝n_xeSv_x，B14

將式④和式⑨代入式B14，可得

n_x＝ηPWSmd2eUx。

對比解法一和解法二，可以發現兩種解法建構的物理模型相同，但解題的角度有所不同。解法一是從一段距離Δx對應的柱體中含有電子數的多少入手，找到單位體積所含電子數與體積為SΔx的柱體所含電子數的關系進行解題，其思維的出發點是利用單位時間的電子數保持穩定這一條件。解法二仍然利用這個柱體，但考慮的是一段時間Δt內該柱體中含有的電子數，再利用電流的定義，得出單位體積的電子數的表達式，其思維的出發點是利用電流恒定這一結論。這兩種解法思維的出發點其實是有深刻聯系的，即單位時間的電子數穩定是電流恒定的微觀本質。

【解法三】

在x坐標處取一豎直平面P，研究在MP空間中的電子總數，并找出其與位置坐標x的定量關系（見圖3）。

設MP之間的整個空間內總電子數為Nx總，單位時間逸出的光電子數為N₀，電子從M板逸出到平面P的加速時間為t，

則有Nx總＝N₀t，B15

電子在MP之間加速有x＝12at²，

可得t＝2xa，B16

將式③代入式B16可得

Nx總＝ηPW2xa。B17

設MN板間空間內x處單位長度的電子數密度（即空間中電子分布隨位置坐標x的變化率）為nλx，

則有nλx＝d（Nx總）dx＝ηP2W2ax，B18

其中a＝Uedm，B19

又因為M、N板正對面積為S，所以在x處的單位面積電子數密度為

n（x）＝n_λ（x）S＝ηPWSmd2eUx。B20

解法三在建構的模型和思維路徑上與前兩種解法有著顯著的差異。解法一和解法二都采用了微元法，它們思考的方向是如何表示某一位置處的電子分布情況，解法三則是根據電子在空間整體分布穩定以及電子分布只隨位置坐標x變化的特點，從電子分布總數對位置x的變化率的角度建構模型并進行求解。對于學生來說，解法一和解法二更容易理解，而解法三則要求學生深入理解某物理量對位置坐標x變化率的概念，解法三對學生的數學能力要求較高。

3 教學反思及啟示

宏微結合問題之所以頻繁出現在高考和學業水平等級性考試中，關鍵在于此類問題能夠深刻揭示物理學科現象與本質之間的緊密聯系，并能有效考查學生模型建構、科學推理、科學論證等科學思維能力。此外，這類題目往往具有創新性，能夠直觀反映學生的創造性思維水平。

面對宏微結合問題，學生的思維障礙主要

集中在兩方面：一是對問題中涉及的復雜物理情景理解困難；二是難以進行模型的有效遷移和準確建構。具體而言，微觀問題因其抽象性而難以把握，同時學生也常困惑于如何在微觀本質與宏觀現象之間建立起橋梁。

為了提升學生解決此類問題的能力，教師在日常教學中應有意識地進行針對性設計。一方面，教師可以在教學過程中利用一些宏微結合的典型情景，引導學生分別從微觀和宏觀兩個角度研究物理規律，如分析洛倫茲力和安培力的關系、理解導體棒切割磁感線時洛倫茲力的分力充當非靜電力來做功的機制、探討氣體壓強的微觀解釋以及太陽帆的光壓問題等。另一方面，教師可以通過布置宏微結合的習題，引導學生在解題的過程中掌握解答此類問題的思維策略。在教學和解題過程中，教師要有意識地展現分析此類問題的思維路徑，指導學生讀題、審題，并將題目與已學習的模型和知識相聯系。

從多角度解讀宏微結合問題，是提高學生解題能力的關鍵策略。多角度的思考和探究不僅可以提高學生思維的開放性和靈活性，還有助于學生建構物理模型，靈活應用物理規律和物理方法，進而提升自身解決此類問題的能力。通過宏微結合題目多角度解題策略的訓練，學生將能深刻理解物理學科的本質，從而提升自身物理學科的核心素養。

參考文獻

［1］吳廣國，張偉，朱睿，等. 宏微結合問題在高考物理壓軸題中的考核 ［J］. 高中數理化，2021（7）： 52-55.

［2］趙繼辰. 2021年北京市高中物理等級性考試壓軸題的深入分析［J］. 物理之友，2023，39 （2）： 57-58.

［3］陳衛國. 立足科學思維 凸顯模型建構——數理圖融合看2022高考物理甲、乙卷計算題 ［J］. 中學生理科應試，2023（Z1）： 44-47.