“內” “外”兼顧 “功” “能”并舉

摘 要：本文結合3道典型例題的不同解法，闡述了處理球腔導體電場分布問題的“內”“外”兼顧思想，以及處理其中電場能量問題的“功”“能”并舉思想，為大學物理及中學物理競賽教學提供參考。

關鍵詞：靜電場；球腔導體；唯一性定理；功能關系

靜電場中的球腔導體問題，因其綜合性強且相對抽象，成為電磁學領域的重難點之一。為了幫助學生更清晰地整理相關知識脈絡，同時輔助教師實現更高效的教學，本文特選了三道典型例題作為切入點，通過探討這些例題的不同解法，總結出解題思路，并提煉出處理此類問題的核心思想與方法，旨在啟發引導，促進教師和學生更深入地探討與學習。

1 典例剖析

1.1 例題1及其解析

如圖1所示，半徑為a的導體球外同球心放置一個半徑為b的不帶電導體薄球殼，在距離球心為d（d＞b）處有一個帶電荷量為q的固定點電荷。現讓內導體球接地，靜電平衡后，求：

（1）內導體球上的電荷量q_a；

（2）外導體球殼的電勢U_b。

1.1.1 第（1）問解析

根據靜電場的高斯定理可知，外球殼的內表面帶有感應電荷－q_a。由于外球殼不帶電，故外球殼外表面也會有感應電荷，電荷量為q_a。而內球接地，電勢為零，根據球心處電勢為零的條件有kq_aa＋k－q_ab＋kq_ab＋kqd＝0，進而得到q_a＝－adq。

1.1.2 第（2）問解法一

球殼雖薄，但仍可以看作是帶空腔的導體。由于球殼的靜電外屏蔽效應，空腔內的電荷分布、電場分布將不受腔外電荷的影響。且由于腔內帶電球和球腔導體的幾何對稱性，內球上、外球殼內側的電荷分布都是均勻的。計算r＝b和r＝a處的電勢差得

U_b－U_a＝kq_ab－kq_aa＝kqd1－ab，

而U_a＝0，因此U_b＝kqd1－ab。

點評：本題中，腔外點電荷電荷量的變化會影響腔內導體球上的帶電荷量，進而影響腔內的電場。一旦球殼外帶電體的電荷量、位置確定，內球、外球殼內側的帶電荷量就能夠確定。根據靜電場的唯一性定理，空腔內部的電勢分布也是唯一確定的。

上述方法在沒有考慮腔外電荷的情況下得到了外球殼的電勢。因此，本文嘗試換個角度，從腔外入手進行求解。

1.1.3 第（2）問解法二

從腔外看，外導體球殼上的電荷（總電荷量為q_a）和距離球心為d處的點電荷共同決定了外導體球殼的電勢。根據鏡像法的結論^［1］，球面上的感應電荷可用兩個像電荷來代替：一個像電荷位置在距球心b²d處，帶電荷量q′＝－bdq，它與球外電荷q一起作用使得球面上的電勢為零；另一個像電荷則在球心，電荷量為q_a－q′＝－adq＋bdq＝bdq1－ab，這部分電荷在外球殼上產生的電勢U_b＝kq_a－q′b＝kqd1－ab，和解法一的結果一致。

需要說明的是，從腔內計算外球殼電勢時，我們選取了內球為零電勢基點。而由腔外計算時，則選取無窮遠處為零電勢基點。在帶電體系統尺度遠小于地球表面時，可認為地球表面是接近于無限大的平面，電荷面密度極小，接近于零。^［2］ 因此，在這種情境下，從地球表面延伸至無窮遠處的空間，電場強度趨近于零，即不存在明顯的電場線，且兩點間的電勢差也趨近于零。基于上述分析，我們可以合理推斷，在腔內和腔外分別選取的零電勢基點，在電勢計算上可視為等效的。所以，無論是從腔內還是腔外出發進行計算，導體表面的電勢值均應保持一致。

基于上述例題，下文考慮了從腔內、外分別計算導體電勢但結果不等的情況。

1.2 例題2及其解析

如圖2所示，兩個帶電荷量分別為q₁、q₂的點電荷被放置在內、外半徑分別為r₁、r₂的不帶電導體球殼的空腔之內。q₁、q₂距球心分別為a₁、a₂。求q₁、q₂的電勢能，以及整個帶電系統的電勢能。

解析：解決本問題的關鍵是準確求解q₁、q₂處的電勢。點電荷q₁、q₂在空腔內壁產生感應電荷，感應電荷和兩個點電荷一起在腔內形成了電場。根據鏡像法，可等效認為腔內電場由q₁、q₂以及它們對應的像電荷q′1＝－r₁a₁q₁，q′2＝－r₂a₂q₂共同在腔內產生。其中q′1位于離球心O的距離d₁＝r²₁a₁處，q′2位于離球心O的距離d₂＝r²₂a₂處，這四個電荷共同作用使得球腔內壁為等勢面且電勢為零。因此，如果以空腔內壁為零電勢基點，q₁、q₂處的電勢u₁、u₂分別為

u₁＝kq₂a₁＋a₂＋kq′2a₁＋d₂＋kq′1d₁－a₁＝kq₂a₁＋a₂

＋k－r2q₂a₁a₂＋r²₂＋k－r₁q₁r²₁－a²₁；

u₂＝kq₁a₁＋a₂＋kq′1a₂＋d₁＋kq′2d₂－a₂＝

kq₁a₁＋a₂＋k－r₁q₁a₁a₂＋r²₁＋k－r2q₂r²₂－a²₂。

又由于導體球殼孤立且不帶電，導體球殼外表面因靜電感應會產生感應電荷，電荷量為q₁＋q₂，并均勻分布在外表面上。由于內外電場互不影響，可得到導體球殼的電勢為

U_殼＝kq₁＋q₂r₂，

因導體球殼是等勢體，其上任一點的電勢均為此值。

鑒于空腔內、外電場的整體性，必須考慮作為腔內、外電場銜接點的導體球殼電勢的單值特性，對q₁、q₂處的電勢u₁、u₂進行修正，可表示為

U₁＝u₁＋U_殼＝kq₂a₁＋a₂＋k－r2q₂a₁a₂＋r²₂＋k－r₁q₁r²₁－a²₁＋kq₁＋q₂r₂；

U₂＝u₂＋U_殼＝kq₁a₁＋a₂＋k－r₁q₁a₁a₂＋r²₁＋k－r2q₂r²₂－a²₂＋kq₁＋q₂r₂。

應注意，這樣的修正不會影響腔內的電勢分布，因為電勢分布反映等勢面的形狀和等勢面之間的相對關系，整體電勢的抬高不會影響這種相對關系。因此q₁、q₂的電勢能為W（q₁）＝q₁U₁＝kq₁q₂a₁＋a₂＋k－r2q₁q₂a₁a₂＋r²₂＋k－r₁q²₁r²₁－a²₁＋kq₁（q₁＋q₂）r₂；

W（q₂）＝q₂U₂＝kq₁q₂a₁＋a₂＋k－r₁q₁q₂a₁a₂＋r²₁＋k－r2q²₂r²₂－a²₂＋kq₂（q₁＋q₂）r₂。

再求整個帶電系統的電勢能，即系統中所有電荷之間的相互作用能，根據電荷系統相互作用能的計算方法^［3］，結果為

W＝12（q₁U₁＋q₂U₂＋q_殼U_殼），

由于球殼不帶電，q_殼＝0，因此

W＝12（q₁U₁＋q₂U₂）。

點評：與例題1有所不同的是，在例題2中，當我們利用鏡像法來求解腔內電場時，所選定的腔內電勢分布的零電勢基點是空腔的內壁。然而，從腔外觀察并進行電勢計算時，通常會選取無窮遠處作為零電勢基點。這種腔內與腔外零電勢基點選取的不一致，可能會引發與導體電勢單值性原理相沖突的情況。為了消除這一矛盾，我們需要對腔內電勢的計算進行修正，具體而言，是要將原本基于空腔內壁的電勢分布調整為以無窮遠處為零電勢點時的導體電勢值作為基準。這樣，無論是腔內還是腔外的電勢計算，都能保持與導體電勢單值性原理的一致性。

下面通過例題3來進一步地闡釋以上思想方法的具體運用。

1.3 例題3及其解析

如圖3所示，例2中原有的條件都不變，在導體外放置一個電荷量為Q的點電荷，其到球心距離為d，在保持q₁、q₂不動的情況下，用外力緩慢移動點電荷Q至無窮遠處，求外力做的功。

解析：可根據功能關系，從系統靜電能量的變化角度反推外力做功。準確把握變化過程中初態、末態帶電系統各部分的電勢分布是運用本方法的關鍵。例2的求解已為本方法的展開做好了鋪墊。

1.3.1 解法一

Q到球心距離為d時，整個帶電系統的電勢能

W_i＝12（q₁U′1＋q₂U′2＋q_殼U_殼＋QU_Q）＝

12q₁u₁＋kQd＋kq₁＋q₂r₂＋q₂u₂＋kQd＋kq₁＋q₂r₂＋0

＋Qkq₁＋q₂＋r₂dQd＋k－r₂dQd－r²₂d，

其中U₁′、U₂′分別為Q到球心距離為d時，q₁、q₂處的電勢。當Q移到無窮遠處后，帶電系統總能量

W_f＝12（q₁U₁＋q₂U₂）＝

12q₁u₁＋kq₁＋q₂r₂＋q₂u₂＋kq₁＋q₂r₂，

這個結果在例2中已求解。根據功能關系，外力做功

A＝W_f－W_i＝12k－Qq₁d＋k－Qq₂d－

Qkq₁＋q₂＋r₂dQd＋k－r₂dQd－r²₂d＝

－kQ（q₁＋q₂）d＋kQ²r³₂2d²（d²－r²₂）。

另一方面，由于點電荷Q的移動非常緩慢，可以認為外力大小和點電荷Q受到的靜電力大小始終相等，可直接求解點電荷Q受到的靜電力進而計算做功。當然也可以根據靜電力做功的性質進行求解。

1.3.2 解法二

求解點電荷Q受到的靜電力進而計算做功。Q所在位置處的電場強度，由導體外表面的感應電荷產生，與導體空腔內表面的電荷，腔內點電荷均無關。使用鏡像法來計算此處的電場強度，該電場由兩個像電荷產生：第一個像電荷Q′＝－r₂dQ，距離圓心x₁＝r²₂d；

第二個像電荷Q″＝q₁＋q₂-Q′，位于圓心。規定背離圓心，徑向向外為正方向，Q所在位置處的電場強度

E＝kQ″d²＋kQ′（d－x₁）²，

將Q″、Q′、x₁代入得到

E＝kq₁＋q₂＋r₂dQd²＋k－r₂dQd－r²₂d²，F＝QE。

隨著點電荷的運動，設點電荷Q到圓心的距離為x，靜電力F隨x的變化關系為

F（x）＝kQ（q₁＋q₂）x²＋kQ²r₂x³－kQ²r₂x（x²－r²₂）²，

由于運動過程緩慢，外力與靜電力大小相等，方向相反，整個過程中外力做的功

A＝∫^+∞_d

－F（x）dx＝∫^+∞_d－kQ（q₁＋q₂）x²dx＋

∫^+∞_d－kQ²r₂x³dx＋∫^+∞_dkQ²r₂x（x²－r²₂）²dx＝

－kQ（q₁＋q₂）d－kQ²r₂2d²＋kQ²r₂2（d²－r²₂）＝

－kQ（q₁＋q₂）d＋kQ²r³₂2d²（d²－r²₂）。

1.3.3 解法三

根據靜電力做功的性質求解。要特別注意的是，當點電荷從初始位置（設電勢為U₀）移動到無窮遠處（U_∞＝0）時，靜電力做功不能寫成A＝Q（U₀－U_∞）＝QU₀，因為在電荷移動的過程中，感應電荷的分布在發生變化，Q所處的電場也在發生變化。為解決這個問題，可以將點電荷Q的電荷量“化整為小”，“一小份一小份”地轉移到無窮遠處（設每一小份電荷量為dq）。在每次轉移一小份電荷量dq時，可近似認為靜電場沒有發生變化，再將每一小份電荷移動過程中外力所做的功相加（積分）得到最終的結果。雖然在“一份一份”分割點電荷Q的過程中，外力需要額外做功，但若再考慮把一份份電荷量在無窮遠處重新聚成Q的過程，可發現外力額外做功之和為零，對結果不會產生影響。再簡化一下，把點電荷Q移動到無窮遠處靜電力所做的功，和把點電荷Q從無窮遠處移動到初始位置所做的功，大小是相等的。因此有A＝－

∫^Q₀

－kr₂dqd－r²₂d＋kq₁＋q₂＋qr₂dddq＝

－kQ（q₁＋q₂）d＋kQ²r3₂2d²（d²－r²₂）。

點評：不同的解題方法往往是不同物理觀念的直接體現。解法一以電荷系統為研究對象，根據功能關系間接求解，體現了能量觀念。解法二通過電荷所受靜電力與位置關系直接求解做功，體現了運動和相互作用觀念。解法三將電荷Q分成無限多份電荷，抓住轉移無限小電荷過程中電場分布不變的特點，以及靜電力做功的性質求解，體現了利用電場這一物質的客觀規律解決問題的物質觀念。

2 思想方法總結

上述三個例題體現了處理靜電場中空腔導體問題的常用思想方法，總結如下。

2.1 用鏡像法處理球腔內、外電場腔外電場的計算，分以下兩種情況說明。

2.2.1 情況一

若導體球接地，電勢維持為零，只需在球內部引入一個像電荷，使其與球外電荷共同作用使得球面電勢為零即可。

根據靜電場的唯一性定理，對于一個區域，如果其內部的電荷分布確定，邊界條件也給定，那么區域內的電場就是唯一確定的。對于以導體為邊界的情況，“邊界條件給定”是指：各導體的電勢給定，或各導體上的電荷量給定，或在部分導體的電勢給定的同時，其他導體的電荷量給定。^［4］由于該像電荷的引入沒有改變導體球外表面的電勢，因此沒有改變腔外電場的邊界條件，可起到替代導體球面感應電荷的作用。設導體球半徑為R，導體球外部點電荷q到球心距離為d，像電荷q′到球心距離為b，則有

q′＝－Rdq，b＝R²d。

2.2.2 情況二

若導體球不接地，根據靜電場的唯一性定理，只需在情況一取像電荷q′的基礎上，在不改變導體球電勢的情況下，于球心處再添加一個像電荷q″即可。設導體球帶電荷量為Q，根據球心處電勢的不變性有

kQR＋kqd＝kq″Rq″＝Q＋Rdq。

腔內電場的計算：若在導體球腔內偏心處放置一點電荷，如圖4所示，設腔內電荷量為q′，根據高斯定理可知，球腔內壁會產生電荷量－q′的感應電荷，且球腔內壁為等勢面。根據靜電場的唯一性定理，由于內壁電荷量確定，腔內電荷分布確定，腔內的電場也唯一確定。另外，聯系不等量異種電荷的電場分布可知，電場中必有一個等勢面是球面，且電勢為零，如圖1左圖虛線所示。這個球面的球心位置、半徑與兩個電荷的電荷量、位置有關。因此只要選取一個適當的像電荷q，使得q與q′產生的電場中的零電勢球面和球腔內壁完全重合，腔內壁感應電荷的作用就可以被q代替。設腔內壁半徑為R，q′到球心距離為b，像電荷q到球心距離為d，則有q＝－dRq′，d＝R²b。

2.2 帶電系統靜電勢能的計算

帶電系統的靜電勢能，是在帶電系統形成的過程中，外力克服靜電力做功轉化而來的能量，其總靜電能等于諸電荷元的自能和電荷元之間的互能之和^［5］，數值上等于將帶電體各電荷元移動到無窮遠處的過程中靜電力做的功。

以兩個點電荷q₁、q₂組成的系統為例，它們之間的靜電互能為

W＝q₁U21＝q₂U12＝12（q₁U21＋q₂U12），

將該結論推廣到多個點電荷組成的帶電系統，則有

W＝12ni＝1q_iU_i。

其中U_i表示第i個點電荷元處的電勢。一般地，計算時不需考慮點電荷的自能。

2.3 “內”“外”兼顧，把控全局

求解靜電場空腔導體中的電場分布問題，要做到“內”“外”兼顧，把控全局。

首先，從“內”看，通常以導體空腔內壁，或是空腔內部已知電勢的特殊位置作為零電勢基點計算空腔內部的電勢分布。

其次，從“外”看，通常以無窮遠處為零電勢基點，從腔外計算導體外部的電勢分布。

無論是從“內”看還是從“外”看，鏡像法和疊加原理都是求解電勢分布的常用手段。為保證導體電勢在空腔內、導體外電場整體

的單值性，要注意將腔內電場的零電勢基點修正為以無窮遠處為零電勢點時導體的電勢值。

2.4 “功”“能”并舉，拓寬思路

求解靜電場空腔導體中的電場能量問題，要做到“功”“能”并舉，拓寬思路。

首先，從“功”的觀點看，選定被移動的點電荷為研究對象，直接求解其受力隨位置的變化關系，進而計算做功。也可依據靜電力做功和初、末位置電勢差的關系求解，但要注意這個關系必須在點電荷所處電場不變的前提下才可使用。例題3的解法三中將點電荷化整為小，逐個搬運的做法值得借鑒。

其次，從“能”的觀點看，選定帶電系統為研究對象，依據功與帶電系統靜電能量變化的量度關系，根據系統初、末的能量狀態反觀相應的做功量。在“內”“外”兼顧的基礎上準確求解空腔內外的電勢分布，進而準確把握系統的能量狀態，是運用本方法的重要前提。

3 結語

本文結合例1和例2兩道例題，闡釋了處理靜電場空腔導體電場分布問題的“內”“外”兼顧思想。以導體電勢的單值性為橋梁，結合腔外的電勢分布情況，修正了空腔內部電勢分布的零電勢基點，為進一步研究電場中的能量問題打好基礎。另外，本文借例3闡釋了處理靜電場空腔導體電場能量問題的“功”“能”并舉思想。從“運動和相互作用觀、物質觀、能量觀”三大物理觀念出發，分別給出從“功” “能”角度入手的三種解法。觀念雖有差異，方法雖有不同，但本質卻是相通的。

在對各種物理問題的處理中，教師和學生應朝著更深刻的思維、更豐富的觀念、更高的要求邁進。在教學過程中對一些典型例題進行多角度分析和拓展，并對解題思想進行歸納總結，有利于學生清晰認知問題的物理本質，培養科學思維與探究意識，進而促進其學科核心素養的提升。

參考文獻

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