核心素養視角下有效建構小學數學模型的策略

數學是研究數量關系與空間形式的學科，數學模型則是對數量關系和空間形式特點的抽象分析，建構數學模型有助于培養學生的數學探索精神和創新精神。在建構數學模型的過程中，學生可以通過簡化、提煉事物關系的方式，建構數學模型，并運用數學模型解決某一類問題，對學生理解數學問題的本質與規律具有一定的促進作用。在傳統的數學教學模式中，教師容易忽視建構數學模型的過程，導致學生難以理解數學思維和數學表達的特點。所以，為了踐行核心素養的培養目標，教師有必要在授課中改變以往的教學方式，在傳授新知的同時，引導學生解構數學問題并建構數學模型，從而了解從問題到數學模型的變化過程，進而運用模型思維解決實際問題，助力學生成長。

一、小學數學教學中建構數學模型的意義

（一）促進數學思維形成

建構數學模型的過程，離不開歸納、推理、整合、概括具體問題，并基于具體問題進行想象。在對問題進行深入思考、總結后，學生可以在大腦中建構最初的數學模型，并加以驗證，最后確定數學模型，幫助學生概括數學知識，解決數學問題。在教師的引導下，學生可以堅持不斷地學習新知，總結數學知識的內在規律，并建構清晰、直觀的數學模型，由此形成具有鮮明個人特色的數學知識體系，使學生能夠從更深層次出發理解具體問題，運用數學模型快速解決實際問題，理解抽象事物的含義，推動學生由形象思維向抽象思維過渡，發展其理性思維能力。

（二）學以致用解決實際問題

建構數學模型的過程，是學生思維走向更深層次的過程，如借助構建簡潔的符號與公式，表明事物之間存在的繁瑣關系，總結定理則可以促使學生梳理事物之間錯綜復雜的關系，都可以讓學生進行主動探究、深度思考。在以往學習習慣的影響下，學生會自發地以數學的眼光看待生活問題，用數學知識解釋生活中的各類現象，簡化復雜的事物關系，清晰地認識到萬事萬物背后的內在聯系，深切體會數學知識對現實生活的指導作用。通過讓生活問題數學化，學生在面對生活問題時，可以自發推導數學模型，運用數學模型解決具體問題，為培養數學核心素養奠定堅實基礎。

二、核心素養視角下建構數學模型的策略

（一）導入問題案例，探尋內在規律

數學知識具有較強的邏輯性，不同知識點之間存在著密切聯系，如正方形和長方形面積知識是學習多邊形面積知識的基礎，加減乘除法是學習加減乘除混合運算的基礎。同類數學知識之間存在的這種內在聯系，為建構新知的數學模型，幫助學生掌握解決某類問題的思路創造了有利條件。對此，在授課中，數學教師可以引入案例教學法，引導學生對比分析問題案例，推理問題案例的內在規律，體驗數學從特殊到一般的論證過程，構建問題模型，運用問題模型解決同類問題，培養學生的推理意識，助力學生成長。

在導入問題案例的過程中，數學教師應當著重把握案例之間的內在聯系，挑選聯系較為緊密的案例作為教學素材。對比分析問題案例，提煉數學知識點內在規律的教學方式，對學生的思維能力和數學素養提出的要求更高。考慮到不同學生個體之間的身心發展存在差異，為了使學生自主挖掘數學知識的內在規律，成功建構數學模型，教師必須充分發揮自身的指導作用，在必要時設問以引出關鍵知識點，讓學生通過對比分析準確抓住問題案例中隱藏的內在聯系，為學生建構數學模型奠定堅實基礎。

以人教版六年級數學上冊第三單元《分數除法》為例，本單元主要讓學生學習分數除法的概念與分數除法的運算方法，旨在引導學生通過自主推導的方式，掌握分數除法的運算規律。在教學中，教師可以引入問題案例對比分析法，從分數除法結果建構問題模型，實現解題的目的。

考慮到分數除法運算的復雜性，教師可以從分數除法類型入手，循序漸進地開展對比分析活動。例如，將分數除法分為三種類型分數除整數、整數除分數、分數除分數三類，再根據分數除法類型差異分別導入問題案例，引導學生由算式的計算結果出發，反向推導、驗證分數除法的計算法則。觀察分數除整數、整數除分數、分數除分數在含義分析和運算難度等方面存在的差異，按照由簡到難的順序設置案例。

考慮到實際學情以及學生對整數除法運算規律的理解，教師可以按照分數除整數、整數除分數、分數除分數的順序組織教學活動。例如，教師可以在課上設置分數除整數算式：1/2÷2=1/4，1/4÷4=1/16，

1/5÷10=1/50，以此激發學生參與對比分析推理活動的積極性，使學生自發參與探究分數除整數運算規律的過程。教師還可以設置問題明確探究方向，問題一：已知數學與現實生活存在緊密聯系，我們能否將算式還原到生活中，用生活經驗判斷除法算式結果的正確性？問題二：上述算式中數字之間的關系是否具有相似性？這樣，在教師的引導下，學生可以將分數除法還原到現實生活場景中，認識到可以通過生活經驗判斷分數除法的運算結果，并嘗試從加、減、乘、除等多個方向，分析算式的內在規律。最后，學生可以討論并提出猜想：分數除法運算規律，即整數與分數分母相乘的結果，從而通過對比分析問題案例，掌握構建數學模型的基本方式。

接下來，教師可以提出分數除整數問題案例，2÷1/2=4，9÷1/4=36，10÷2/5=25，引導學生在已有經驗的指導下，自發地將問題代入現實生活場景，通過討論認識到整數除分數，就是按照分數個體將整數分為多個部分的分數除法，并在討論后提出猜想：整數除分數計算結果等于整數與分數分母相乘后除以分子得到的結果。考慮到分數與分數除法意義的抽象性，數學教師需要為使學生做好準備，引導學生對比分析分數除整數和整數除分數運算規律之間的相似性，為避免誤導探究方向，影響課堂教學效率，教師可以增設問題案例1/2÷2=1/4，1/2×1/2=1/4，2/4÷2=1/4，2/5÷10=1/25，引導學生分析算式并提出猜想：是否所有的分數除法問題都可以轉化為乘法問題。

在分數除分數的部分，教師可以提出以下案例：

1/2÷1/2=1，1/4÷1/2=1/2，2/5÷2/3=3/5，引導學生嘗試帶入生活經驗分析上述問題。如果學生仍無法理解分數除法的含義，教師可以適時通過提問引導：“整數除法可以轉化為整數乘法，那么分數除法是否可以轉化為分數乘法？”經引導學生可以結合分數乘法知識驗證問題答案，并在既有算式基礎上生成新問題：1/2×？=1，1/4×？=1/2，2/5×？=1/15。最后，借助乘除法互換推導分數除分數的運算規律：一個分數除另一個分數等于分數乘另一個分數的倒數，完成分數除法模型的推導，促進學生發展推理意識和能力。

（二）組織實踐活動，培養幾何直觀

幾何直觀素養指感知幾何圖形及其組成元素，利用幾何圖形性質解決問題，理解幾何圖形特征，并在實際情境中應用幾何圖形知識解決生活問題的能力。為了通過構建數學模型，培養學生的幾何直觀素養，在授課中，教師可以組織實踐活動。實踐活動是思、學、用相結合的教學活動，可以讓學生通過實踐驗證所猜想的結論，通過分析實踐讓學生認識到自身的不足，并運用所學知識建構數學模型。在不斷經歷實踐—反思—再實踐的過程中，學生可以深化對平面幾何性質的理解，建構幾何知識模型，為發展學生的幾何直觀素養奠定堅實基礎。

實踐活動對學生的動手能力和獨立思考能力有一定要求。部分學生會因為實踐能力不足而遭遇失敗，或是過分沉迷于實踐，從而忽視思考、反思、總結等環節，難以體會參與實踐活動的重要意義。為此，在實踐活動正式開始前，數學教師可以創設小組合作教學情境。在開始活動之前，組織學生以小組為單位，圍繞共同目標開展實踐活動，并討論實踐活動的流程以及各自的實踐探究方向。小組長根據時間安排開展組內匯報活動，說明各自的實踐成果和猜想，并組織組員交流實踐經歷和實踐成果，反思實踐活動中的不足之處。在此基礎上，教師可以重新為學生分配任務，設置探索方向，引導小組長組織成員定期交流探索經驗，提出全新的實踐探索方向，與思學用深度融合，培養學生的幾何直觀素養，為建構數學模型奠定基礎。

以人教版五年級數學上冊第六單元《多邊形的面積》為例，本單元的主要學習內容為三角形、平行四邊形、梯形以及常見的正多邊形面積的計算方式。為了在實踐中培養學生的幾何直觀素養，教師可以指導學生通過實踐活動，建構數學幾何模型，以此探究多邊形面積公式。

首先，教師可以創設生活化教學情境，明確實踐目標。例如，借多媒體設備展示校園平面圖，配合語言并創設情景：“學校現在準備建設一批藝術花壇，需要在花壇底部鋪設一定數量的石板，目前計劃準備鋪設平行四邊形、三角形、梯形、正五邊形和正六邊形花壇，如何確定鋪設花壇的石板的總面積”，以此明確實踐目標，使實踐活動自然發生。

其次，組織學生以平行四邊形花壇為目標開展實踐探究活動，教師可以讓學生以小組的形式聚集在一起，共同商議制定實踐探索的方案，提出以下方案：繪制方格紙確定圖形面積；制作同底長方形面積分析平行四邊形面積；將平行四邊形轉換為其他圖形，以五分鐘為限組織開展實踐探究活動。在反思環節，小組長可以組織組員匯報實踐成果，提出全新方案，即將平行四邊形轉化為長方形。

最后，通過剪切并重新拼接圖形的方式，引導學生將平行四邊形轉化為長方形，并從實踐經歷中建構平行四邊形面積公式模型。從已有經歷出發，確定全新的實踐探索目標：能否基于已知的幾何圖形面積公式推導出其他平面圖形面積公式，在不斷地實踐與思考的過程中，深化學生對幾何圖形性質的認識，培養其幾何直觀素養。

（三）設問交流互動，揭露數學本質

構建以核心素養為目標的數學教學模式，數學教師必須將學生作為課堂主體，在此基礎上開展探究式教學活動。學生參與數學教學活動的積極性以及參與程度將直接影響核心素養的培養效率。所以，為了讓學生主動參與建構數學模型的過程，數學教師可以引入設問導學法，確保一切教學活動圍繞某一問題展開，使學生既是問題的發布者，又是問題的探究者，并在學生不斷思考、解決數學問題的過程中，激活其數學思維，引導其揭露問題本質，實現培養學生核心素養的目標。

在活動的開始階段，教師可以扮演問題發布者的角色，為后續一系列的提問與思考做準備。在問題設置上，教師可以優先選擇具有啟發性和深度性的問題，使學生快速進入思考狀態，促使學生自主推導問題解決方案，并在解題的同時，進一步提出具有深度的問題，進而引導學生從多個角度入手分析解題要點。這樣，數學教師可以讓學生深入理解問題的內涵，建立同類問題的解題模型，切實提高學生的解題能力和解題效率，也為學生深入理解數學知識和實際問題奠定堅實的基礎。

以人教版四年級數學下冊第九單元《數學廣角——雞兔同籠》為例，本節課主要引導學生運用方程知識解決實際問題，并提高學生的數學應用能力。為此，教師可以從雞兔同籠問題出發，引導學生建立解題模型，運用解題模型解決路程問題、生產問題。在建構問題模型、運用問題模型解決實際問題的過程中，培養學生的應用意識和抽象思維能力，助力學生全面發展。

例如，教師可以提出一系列問題，引發學生的思考與討論。問題一：已知雞和兔子共有10只，兔子有6只，二者共有腿32只，問雞共有幾條腿？學生根據該問題探討解題思路，按照已有數學模型分析問題，發現每只雞有兩條腿，如果建立雞的個數×2=雞腿總數的解題模型，則無法解決問題，并進一步思考解題失敗原因。接下來，教師可以引導學生在討論中代入問題條件，發現問題給出的條件為：雞兔總數量和雞兔總腿數，明確解題的關鍵條件在于雞和兔各自的數量。根據獲取的關鍵條件，再次引導學生確定：雞和兔各自的數量是解題關鍵。最終，學生通過設未知數、列方程的方式，補全缺失的條件，進而解決問題，并在教師的引導下推導解題模型：在某個解題條件缺失的情況下，可以通過設未知數補全未知條件，由果導因，進而推導關鍵解題條件。

在后續的教學活動中，教師可以繼續從龜兔同籠問題模型出發，設計全新的問題。例題二：已知操場一圈為800米，小明和小紅在操場上同一點處相對而行，練習跑步，小明的速度是小紅的兩倍，兩人在1分10秒后相遇，問小紅一分鐘能跑幾米？例題三：爸爸的年齡是兒子年齡的3倍，爸爸比兒子大24歲，兒子和爸爸分別是多少歲？學生可以結合已有學習經驗抽象問題模型，例題二模型為速度×時間=路程，例題三模型為兒子年齡×3=父親年齡和兒子年齡+24=父親年齡。教師設問：問題中出現缺失多個關鍵解題條件的情況，方程解題模型是否依然適用？在成功解題后，學生圍繞解題過程討論如何完善已有的方程解題模型，通過討論添加全新的問題模型條件確定：即便原始解題模型中出現缺失兩個關鍵條件的情況，只要二者存在數量關系，便可運用方程解題模型解決問題。這樣，在推導、更新解題模型的過程中，培養學生的抽象思維和模型意識，培養學生的核心素養。

三、結語

綜上所述，通過建構小學數學模型培養核心素養，教師必須發揮自身的指導作用，帶領學生通過多個角度、多種方式認識或是推導數學知識模型，使知識模型的建構過程，成為培養數學核心素養的有效方法。此外，數學教師還需要注重引導學生自由發散思維、發揮想象力，讓抽象、推理、創新、應用等思維活動貫穿于整個學習過程，以此提高學生的數學建模能力。

注：本文系2023年度漳州市基礎教育課程教學研究立項課題“核心素養視角下的小學數學模型的有效建構的研究”（項目編號：ZJKTY23140）的研究成果。