加強學生的分數數感

〔摘 要〕 學習科學時，生活經驗和敏銳的直覺往往能更好地幫助學生理解抽象的知識，學生在數學學習中，幾乎每時每刻都在與數打交道。本文側重從教學“分數”方面分析怎樣培養小學生的數感。首先介紹了分數的獨特性：外形獨特、進制獨特（非十進制）、常與圖形結合進行教學。接著針對加強學生的分數數感的方法進行了闡述。闡述了三個方面：圍繞“分數單位”教學，打通各種分數知識點的壁壘；注重分數與除法的關系；注重分數情境題與比、百分數情境題的轉化。最后總結因循分數獨特的“氣質”。如此，能讓學生更好地發現和運用分數的規律，更好地強化學生的分數數感，進而全方位地培養學生的數感。

〔關鍵詞〕 小學數學；分數；數感

〔中圖分類號〕 G424 〔文獻標識碼〕 A 〔文章編號〕 1674-6317 （2024） 24 115-117

教科版科學六年級上冊第三單元“工具與技術”中呈現了“杠桿”，有些學生初步接觸到杠桿，就聯想到了“秤”，并能總結出生活經驗：稱一件物品，秤砣變重時，放秤砣的位置就要往前移。這就是學生利用了生活經驗和敏銳的直覺在幫助自己理解抽象的知識。“數感”的培養與此有異曲同工之妙。數感主要是指對于數與數量、數量關系及運算結果的直觀感悟，這是2022年版數學課程標準中的解讀。在小學數學學習中，學生們接觸到的數有整數、分數、小數、百分數。整數如6，40，1205等，是上述幾種數中使用頻率最高的，整數的計數單位為一，十，百，千，萬……小數如0.4，0.28，0.109等，是在整數的基礎上把不滿“1”的部分通過再次平均分細化成了小數，小數的計數單位為0.1，0.01，0.001……可通過擴大或縮小相應的倍數與整數進行互化。百分數如5％，42％，20.3％等，是為了更好地進行數據間的對比而產生的，可與小數、分數進行互化，百分數的計數單位為1％。在整數、分數、小數、百分數中，分數因具有獨特的“氣質”，而在數的“池子”中大放異彩。

一、分數的獨特性

（一）外形獨特

比起整數、小數和百分數，分數更“高”。它由分數線把分子、分母排列于上、下位置，常常需占兩行空間。分數線表示平均分，分母表示分得的總份數，分子表示占了其中的幾份。分數符號的書寫格式經歷了漫長的演變過程，包含著中國元素。公元7世紀以后，承襲中國的籌算法，印度數學將分數表示為“寫分母于分子之下”。之后，阿拉伯人表示分數時，在分子和分母之間添上一條橫線。直至15世紀，隨著阿拉伯算術的流行，世界各地算術里分數的表示及運算法則才日趨統一。

（二）進制獨特（非十進制）

整數、小數和百分數都為十進制數，分數則不然。根據分數的意義，分數表示把單位“1”平均分成若干份，其中1份或幾份的數叫作分數，如[13]，[45]，[711]，[1533]。[45]是4個[15]組成的，5個[15]組成了1，10個[15]組成了2，也就是滿5進1；[711]是7個[111]組成的，11個[111組成了]1，22個[111組成了]2，也就是滿11進1。分數是根據分母是幾就滿幾進1的，如以上分數的進率為5，11，是非十進制數。

（三）常與圖形結合進行教學

分數是數學中的一個重要概念，也是小學生學習中的一個難點。在對分數的認識中，數形結合思想同樣發揮著重要的作用。

1.分數定義的直觀表達

圖形的均分。一個物體的均分：如將一個圓形月餅平均分成若干份，每份或幾份都可以用分數表示；一些物體的均分：將一些物體看作一個整體進行分割。

圖形的涂色。利用給圖形涂色來表達分數。

2.分數大小的直觀比較

借助圖形面積比較。通過大小不同的圖形表示大小不同的分數，由比較圖形的面積引導到比較分數的大小。

借助數軸比較。在數軸上找出分數對應的點，通過點的相對位置確定分數的大小。數軸上，越靠右的點表示的數越大。

3.分數應用題的解決

在解決分數應用題時，借助畫線段圖展示問題中的數量關系；借助圖形展示比例關系，引導學生理解分數與比例之間的關聯，理解線段圖表示兩個或幾個量的關系，各個量之間對應的份數用分數怎樣表示。

4.對分數運算的理解

在分數運算尤其是分數乘、除法中借助圖形，可以有效地幫助學生理解算理，這樣，展示圖形時內在邏輯就清晰了。

分數與圖形結合的情況多種多樣，有直觀表示分數定義、分數大小、分數與比例、分數運算等方面。這些結合方式有助于學生更好地參透分數知識，還能培養學生的空間思維和邏輯推理能力。

二、加強學生的分數數感的方法

（一）圍繞“分數單位”教學，打破各種分數知識點的壁壘

在課堂教學中，突破“分數”教學重難點的抓手，就是緊緊圍繞“分數單位”進行教學。

1.認識分數單位

一些知識在整個數學學科知識體系中發揮著關鍵性、核心性甚至支撐性的作用，這些知識就是“種子知識”。對于學生的數學學習而言，“種子知識”具有奠基性、生長性的作用。認識分數單位就是“認識分數”單元的“種子知識”。

分數中，分子為“1”的分數其實就是分數單位，它表示平均分后的1份是多少。如上文講到的[13，][45，][711，][1533，]這4個分數的分數單位分別是[13，15，][111，][133]。比如[，45]里面含有4個[15]，即[45=15][+15][+15][+15，][45]是[15]累加四次的結果。

2.比大小

（1）[35，][45，]這兩個分數比大小，教師通常先讓學生經歷畫圖比較得到[35][<45]，后通過大量這種畫圖比較得出結論：分母相同看分子，分子大的那個分數就大。

[35，][34，]這兩個分數比大小，教師通常也是讓學生經歷畫圖比較得到[35][<34]，也通過大量這種畫圖比較得出結論：分子相同看分母，分母小的那個分數就大。

這里對“分母相同分子不同”及“分子相同分母不同”兩種情況進行了總結。但在實際比大小中，學生們卻錯誤百出：1.（用混的情況）分母相同，分子大的則大；分子相同，分母大的則大。2.（用反的情況）分母相同，分子小的則大；分子相同，分母大的則大。這說明了這種教學方法有著局限性。緊緊圍繞“分數單位”教學，則是另一種景象。

仍是[35，45兩個分數，35][里面含有3個][15，45]里面含有4個[15，][3個15][小于4個15]，[所以35][<45]。

[35][，34][兩個分數][，35]里面含有3個[34里面含有3個][14]。

[因為15][<14]，3個[15小于3個][14]，[所以35][<34]。

不以記憶結論進行教學而以分數單位進行教學，學生的思路容易通暢，比較起大小就能做到又快又準確。

[89][，910][，1011][，1112]這幾個分數分別以分子、分母依次“加1”遞增排列；且每個分數分子比分母小1，每一個分數只要加上一個分數單位就是“1”。出現這種比大小題目該怎么思考呢？特別是還沒學習通分時，有好的辦法嗎？有的。因為[89+][（19）=1，910+（110）=1，][1011+（111）=1，][1112+][（112）=1]，括號里4個分數單位的大小排列為[19][>110][>111][>112]。得數都是1，減去大的剩下的就是小的，所以[89][<910][<1011][<1112]。這就巧妙利用分數單位得出了比大小的結果。這種方法是既正確又快速的高招，即使后期學了通分，這一高招相對也更經典，或者可與通分作為互為檢驗的一種手段。

3.分數加減法

[57+][47=（）][，57][－47=（）]，教師通常讓學生觀察圖形中兩部分陰影合起來或抵消后是多少，得出結論：同分母分數相加減，分母不變分子相加減。但后期計算還是會出錯，有部分學生得出錯誤結果：[57][＋47][=914][，57][－47][=114]。這里還是得緊緊圍繞“分數單位”教學。[57]里面含有5個[17]，[47]里面含有4個[17]，5個[17]加上4個[17]等于9個[17]，也就是[97]。同理，減法得[17]。現在就可以認真書寫出答案了：[57＋47][=（97）]，[57][－47=][（17）]。

在這里可以又一次看出，用分數單位教學分數加減法，比記憶結論法正確率更高。

（二）注重分數與除法的關系

把9個餅平均分給10人，每人分得多少個？列式9÷10=（）（個），可以把每個餅平均分成10份，每人都去拿每個餅的[110]，拿完9次時每人共分得[910]個餅，因此[9÷10=910]（個）。以前學的“被除數”除以“除數”得到的是“整數倍”，而這一題得到的則不足1倍。有時得到的還會是幾倍多一些，如果這一題將“餅的總數”改為“23個餅”，列式則為[23÷10=2310][=2310]（個），就是2倍多一些。這里也是利用了“分數單位”的累加進行理解的。

學習分數與除法的關系，是學生在已經掌握了除法運算，以及對分數意義有了認知的基礎上進一步理解，有利于學生多角度理解分數：分數既可以表示一個數、表示一種關系，也可以表示兩數相除的商。應根據具體情境選擇恰當的方法進行運用。

（三）注重分數情境題與比、百分數情境題的轉化

除了注重分數與除法的關系，同時要注重分數與比、百分數的聯系，使分數、比、百分數的情境題之間進行自由轉化，做到化難為易，解題多元，提高學生解題的自信心。

1.分數與比的情境題的轉化

讓學生明晰“比”與“分數”之間的差異，避免在實際運用中產生混淆，再通過具體的例題，讓學生在習題訓練中應用“比”的知識。這是一個層次化教學的過程，需要教育者合理設計教學進度與知識的分層教學環節，才能取得理想的教學效果。

男、女生的人數比為3∶5，已知男生27人，全班有多少人？用比的方法列式：27÷3×（5+3）=72（人），先算1份的人數，再算8份的總人數。用分數方法列式：[27÷33+5=]（人），用男生27人除以男生占總人數的[38]，得到總人數為72人。

2.分數與百分數情境題的轉化

甲電廠儲存煤炭30萬噸，乙電廠儲存的煤炭比甲電廠少25％，乙電廠儲存煤炭多少萬噸？用百分數的方法列式：30×（1－25％）=22.5（萬噸），但有些學生對百分數的理解不到位，還需把百分數轉化為分數解題更順暢。如在下面的線段圖中可以明確看到“甲”為單位“1”，比較量占單位“1”的[（1－14）]。用分數方法列式：[①25％=14][；②30×（1－14）=22.5]（萬噸）。

以上兩題展示了解題方法的多樣，展示了分數與比、百分數的聯系，學生可以用適合自己的方法進行選擇。這讓更多的學生增強了克服困難的勇氣，不懼怕數學，并逐漸喜歡上數學。

三、結語

古人云：“物有本末，事有始終。知所先后，則近道矣。”因循事物的本質、特點，可以更好地發現和運用規律。因循分數獨特的“氣質”，就能更好地發現和運用分數的規律，更好地加強學生在分數方面的數感，進而全方位地培養學生的數感。

參考文獻

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