錯(cuò)題資源在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用策略

摘要：錯(cuò)題資源是高中數(shù)學(xué)的重要資源，教師在教學(xué)過程中需要利用好錯(cuò)題資源，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供參考。本文從知識(shí)和學(xué)生能力方面分析了錯(cuò)題產(chǎn)生的原因，并提出了三條可行性策略，分別是分類整理錯(cuò)題，培養(yǎng)解題能力；課堂巧設(shè)錯(cuò)誤，強(qiáng)化學(xué)生理解；組織交流討論，加深錯(cuò)題印象。以期實(shí)現(xiàn)其反饋學(xué)生情況、夯實(shí)學(xué)生基礎(chǔ)以及提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的針對(duì)性的價(jià)值。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；錯(cuò)題資源；價(jià)值；策略

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

TheApplicationStrategyofWrongQuestionResourcesin

HighSchoolMathematicsTeaching

ZhangZhengMaXu*

SchoolofMathematicsandComputerScience，NingxiaNormalUniversityNingxiaGuyuan756000

Abstract：Wrongquestionresourceisanimportantresourceforhighschoolmathematics.Teachersneedtomakegooduseofthewrongquestionresourcesintheteachingprocesstoprovidereferenceforstudents'learning.Thispaperanalyzesthecausesofwrongquestionsfromtheaspectsofknowledgeandstudents'ability，andputsforwardthreefeasiblestrategies，namely，classifythewrongquestions，cultivatetheabilityofsolvingproblems;setupmistakesinclass，strengthenstudents'understanding;organizecommunicationanddiscussiontodeepentheimpressionofwrongquestions.Inordertorealizethefeedbackofstudents'situation，consolidatethefoundationofstudentsandimprovethetargetedvalueofmathematicslearning.

Keywords：highschoolmathematics;wrongquestionresources;value;strategy

學(xué)生進(jìn)入高中之后，知識(shí)內(nèi)容變得多而雜，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)難度逐漸加大，這便導(dǎo)致了無論學(xué)生成績優(yōu)和差，都會(huì)出現(xiàn)做錯(cuò)題的情況，而不同的學(xué)生對(duì)待錯(cuò)題的處理方式不同，所帶來的結(jié)果也會(huì)不同。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》［1］明確指出：數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要恰當(dāng)?shù)厥褂脭?shù)學(xué)課程資源，來提高學(xué)生和教師從事數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的水平和質(zhì)量。這一點(diǎn)便要求教師要有意識(shí)地利用錯(cuò)題資源，可以提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的領(lǐng)悟，滲透和修正學(xué)生對(duì)客觀事實(shí)的認(rèn)識(shí)與理解。

一、產(chǎn)生錯(cuò)題資源的原因

皮亞杰的建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)教師所傳授的知識(shí)不是被動(dòng)接受的，而是其在已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上主動(dòng)建構(gòu)的。學(xué)生在主動(dòng)建構(gòu)的過程中，必然會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，這些錯(cuò)誤就形成了錯(cuò)題資源，要想很好地利用這一資源，必須得明白其形成的原因。

波利亞在其《怎樣解題》中論述了解題的四個(gè)步驟：“第一步，弄清問題；第二步，找出已知數(shù)和未知數(shù)的關(guān)系，得到解題思路；第三步，實(shí)現(xiàn)求解計(jì)劃；第四步，檢驗(yàn)所求得解，回顧反思?！睂W(xué)生在解題過程中，錯(cuò)誤可能在不同方面，不同階段產(chǎn)生，從而影響最終的解題結(jié)果。結(jié)合波利亞的解題步驟，本文將錯(cuò)題原因分為以下五類：知識(shí)量大，容易遺忘、審題不當(dāng)，偏離方向、解題方法選擇不當(dāng)、計(jì)算失誤致使解題錯(cuò)誤、檢驗(yàn)結(jié)果，回顧反思的錯(cuò)誤。

（一）知識(shí)量大，容易遺忘［2］

高中階段的數(shù)學(xué)知識(shí)涉及面廣泛，包括了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、平面幾何、立體幾何等內(nèi)容，難度較之初中有了明顯的上升。剛學(xué)習(xí)的新知識(shí)，學(xué)生在短期內(nèi)還能記得，但當(dāng)學(xué)習(xí)的新知識(shí)不斷增加，很容易就將前面學(xué)習(xí)過的知識(shí)遺忘，從而在做題的時(shí)候由于知識(shí)記憶不清導(dǎo)致題目出錯(cuò)。

（二）審題不當(dāng)，偏離方向［3］

解題過程中，審題是第一步，同時(shí)也是最關(guān)鍵的一步，如果第一步就錯(cuò)了，那么之后進(jìn)行的解題過程都沒有意義。何為審題？其實(shí)就是通過對(duì)題目的認(rèn)真思考和條件的反復(fù)推敲，以期達(dá)到理解題目意圖的目的。在分析題目為何做錯(cuò)時(shí)，很多學(xué)生往往將之歸結(jié)為審題不清或看錯(cuò)了、看漏了某一個(gè)條件。

比如這樣一道題：已知函數(shù)f（x）=x2，x∈{1，2}，求f（x）的值域。

本題是很簡單的，就是對(duì)函數(shù)知識(shí)的一個(gè)簡單應(yīng)用，但也正因?yàn)檫^于簡單，學(xué)生容易陷入思維定式，將定義域看成集合［1，2］，于是錯(cuò)題就產(chǎn)生了。

再比如設(shè)α、β是方程x2-2kx+k+6=0的兩個(gè)實(shí)根，則（α-1）2+（β-1）2的最小值是（）。

A.-494B.8C.18D.不存在

本題利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得到，但有些同學(xué)看到A選項(xiàng)是負(fù)數(shù)，便想當(dāng)然的選了該選項(xiàng)，這正是思維定式，未認(rèn)真審題的體現(xiàn)，若認(rèn)真審題，便會(huì)發(fā)現(xiàn)最小值是兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和，即最小值必為非負(fù)數(shù)，在此基礎(chǔ)上來分析每個(gè)選項(xiàng)的來源與區(qū)別，即可得到答案。

正確審題，理解題目所涉及的數(shù)學(xué)概念和知識(shí)是解好題、解對(duì)題的基礎(chǔ)，如果學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系與區(qū)別模糊不清，似是而非地理解數(shù)學(xué)知識(shí)的適用范圍，這必然會(huì)導(dǎo)致學(xué)生解題錯(cuò)誤，且不利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的良好發(fā)展。

（三）解題方法選擇不當(dāng)

高中的數(shù)學(xué)與其他的學(xué)科是有所不同的，書本上學(xué)習(xí)到的知識(shí)往往并不會(huì)直接套用在題目中，出題者通常會(huì)將題目出的復(fù)雜些，由此來迷惑學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)設(shè)計(jì)好的“坑”里［4］。比如對(duì)于恒成立問題的解決方法一般是有兩種，分別是分離參數(shù)和含參討論，但對(duì)于同一道題目而言可能并不是兩種方法都適合，若選擇方法錯(cuò)誤，便會(huì)導(dǎo)致題目解不出來。

比如這道題：已知函數(shù)f（x）=sinx-bx≤0，對(duì)任意x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。

分析：這是一道恒成立問題，解決的基本方法有兩種：分離參數(shù)和含參討論。如果學(xué)生選擇了分離參數(shù)來解題，最后結(jié)果就是取不到極限，無法得到最終結(jié)果，因此應(yīng)該用含參討論，對(duì)b進(jìn)行討論，在根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值來解題。

（四）計(jì)算失誤致使解題錯(cuò)誤

在審題正確、方法得當(dāng)?shù)那闆r下，通常只需要按照思路將解題過程寫下來就完成了解題，這也是評(píng)價(jià)學(xué)生的書面依據(jù)。高中有很多學(xué)生的解題思維和方法的選擇都是很好的，但在將思維和方法轉(zhuǎn)化成解題過程時(shí)，往往會(huì)因?yàn)橛?jì)算失誤或其他原因而導(dǎo)致出錯(cuò)，尤其是在圓錐曲線題型中，該類題的問題和相應(yīng)的解題方法是相對(duì)比較固定的，但對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力是有相當(dāng)強(qiáng)的要求的，比如在聯(lián)立含參直線方程和圓錐曲線方程時(shí)，一定要注意將直線方程代入曲線方程后，展開項(xiàng)的系數(shù)及次數(shù)一定要計(jì)算準(zhǔn)確，這是最容易出錯(cuò)的地方。

（五）檢驗(yàn)結(jié)果，回顧反思的錯(cuò)誤

在解題過程中，檢驗(yàn)結(jié)果是最后一個(gè)重要的環(huán)節(jié)。檢驗(yàn)一方面可以檢查紕漏和錯(cuò)解，提高結(jié)果的正確性，另一方面這一步相當(dāng)于是題后反思，可以幫助學(xué)生形成解題思路和體系，應(yīng)對(duì)同類題型能夠更加得心應(yīng)手。

二、錯(cuò)題資源的運(yùn)用價(jià)值

（一）提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的針對(duì)性

在平時(shí)的教學(xué)過程中，利用好學(xué)生的錯(cuò)題資源的目的在于從問題出發(fā)，探尋錯(cuò)因，反思方法，總結(jié)策略，以期在之后遇到相類似的題目時(shí)，能夠有正確的思路及方法進(jìn)行應(yīng)對(duì)，提高針對(duì)性，避免同類錯(cuò)誤的出現(xiàn)頻次。

（二）查漏補(bǔ)缺，夯實(shí)基礎(chǔ)［5］

學(xué)生在學(xué)完新知識(shí)之后，如果長時(shí)間沒有進(jìn)行運(yùn)用或回憶，就會(huì)出現(xiàn)遺忘，做題時(shí)出錯(cuò)的概率自然也就增加了。面對(duì)這樣的情況，教師要幫助指導(dǎo)學(xué)生通過對(duì)錯(cuò)題資源的利用，及時(shí)回憶起遺忘的知識(shí)，幫助學(xué)生形成牢固的記憶，夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

（三）反饋學(xué)生學(xué)習(xí)情況

數(shù)學(xué)試題是檢測學(xué)生學(xué)習(xí)情況的一個(gè)工具，而其中錯(cuò)題的情況則可以對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)情況提供一個(gè)很好的反饋［6］。學(xué)習(xí)情況包括很多方面，比如知識(shí)理解、解題思維等，這些都可以從學(xué)生的錯(cuò)題中反映出來，教師根據(jù)反饋及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，提高教學(xué)效率。

三、錯(cuò)題資源的運(yùn)用策略

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生會(huì)產(chǎn)生大量的錯(cuò)題，這些錯(cuò)題無論是對(duì)教師的教學(xué)還是對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)都是很寶貴的財(cái)富，因此利用好錯(cuò)題資源很重要。

（一）分類整理錯(cuò)題，培養(yǎng)解題能力

在做數(shù)學(xué)題的過程中，學(xué)生會(huì)由于缺乏解題方法或解題技巧等原因，產(chǎn)生大量的錯(cuò)題，在剛進(jìn)入高中的時(shí)候，面對(duì)這么多的錯(cuò)題，需要正確的分類整理方法［7］，才能幫助學(xué)生找到自己的思維漏洞，總結(jié)出解題技巧，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率。常見的整理思路有三類：按時(shí)間整理錯(cuò)題、根據(jù)單元內(nèi)容進(jìn)行整理、根據(jù)錯(cuò)因進(jìn)行整理。第一種方法缺乏系統(tǒng)性，只是將錯(cuò)題機(jī)械性地記錄下來，對(duì)于錯(cuò)題規(guī)律的總結(jié)沒有很大的幫助；第二種的條理性系統(tǒng)性要比第一種強(qiáng)很多，可以很好地總結(jié)不同知識(shí)模塊的題型；第三種則是前兩種方法的綜合，效果也是最好的，但對(duì)學(xué)生的分類整理能力要求很高，學(xué)生不易操作，這需要教師適當(dāng)?shù)丶右砸龑?dǎo)來培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力。

比如數(shù)列求和可以作為一個(gè)知識(shí)模塊進(jìn)行整理，這一類最主要的就是要根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)的特征進(jìn)行整理，不同的特征對(duì)應(yīng)的方法也有所不同。例如，求數(shù)列1，1+a，1+a+a2，…，1+a+…+an-1的前n項(xiàng)和Sn。這道題很多學(xué)生都能分析出該數(shù)列的通項(xiàng)其實(shí)本身就是一個(gè)等比數(shù)列和的形式，在求解的過程中方法也很簡單，選用分組求和法，但往往會(huì)忽略對(duì)未知數(shù)a是否等于1進(jìn)行討論，導(dǎo)致解答過程不完整而失分。

所以在整理此題時(shí)，要將之歸類為分類討論的題型中。

（二）課堂巧設(shè)錯(cuò)誤，強(qiáng)化學(xué)生理解［8］

教學(xué)過程是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的主要來源，同樣也是錯(cuò)題資源的重要來源之一。教師可以通過對(duì)教學(xué)活動(dòng)的巧妙設(shè)計(jì)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生走入誤區(qū)，產(chǎn)生錯(cuò)題，在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)錯(cuò)題原因進(jìn)行探究，加深理解，總結(jié)歸納出應(yīng)對(duì)策略，培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的能力以及發(fā)揮錯(cuò)題輔助學(xué)生學(xué)習(xí)的作用，促成一個(gè)良性循環(huán)。這也是提高課堂教學(xué)效率的一種行之有效的方法，因?yàn)檎n堂中的適當(dāng)出錯(cuò)可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維積極性，提升學(xué)生的課堂參與感。

比如在函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)過程中，教師帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)完相關(guān)的理論知識(shí)之后，可以設(shè)計(jì)這樣一道練習(xí)題：畫出函數(shù)f（x）=1x的函數(shù)圖像并說出它的單調(diào)區(qū)間。圖像是學(xué)生學(xué)過的反比例函數(shù)，但此時(shí)很多學(xué)生會(huì)將兩個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間給合并起來寫，這時(shí)教師便要帶著學(xué)生分析出反比例函數(shù)在第一、第三象限雖然都是遞減的，但第三象限的函數(shù)中始終比第一象限的函數(shù)值要小，由此強(qiáng)調(diào)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)這一重點(diǎn)，也是易錯(cuò)點(diǎn)。

（三）組織交流討論，加深錯(cuò)題印象

學(xué)生是一個(gè)獨(dú)立的個(gè)體，因此產(chǎn)生的錯(cuò)題類型也是多樣的，合理地利用好自己的錯(cuò)題是有助于提升學(xué)生數(shù)學(xué)成績的，當(dāng)然其他同學(xué)所產(chǎn)生的錯(cuò)題也是有很大的參考作用的，要做到集百家之所錯(cuò)，鑄個(gè)人之優(yōu)秀［9］。因此教師要積極組織學(xué)生之間的錯(cuò)題討論活動(dòng)，無論是課內(nèi)還是課外都可以，以此來將全班的錯(cuò)題資源進(jìn)行整合，便于總結(jié)具有代表性的錯(cuò)誤和相應(yīng)的解題技巧。

比如這樣的問題：投三枚質(zhì)地均勻的色子多次，則這三枚色子向上的點(diǎn)數(shù)為兩個(gè)奇數(shù)、一個(gè)偶數(shù)的概率是多少？這道題的正確答案是38，但很多同學(xué)都寫錯(cuò)了，主要是對(duì)色子的情況沒弄清楚，這三枚色子的向上點(diǎn)數(shù)的奇偶問題，其本質(zhì)和投硬幣的正反問題是一樣的，因?yàn)橐幻渡佑辛鶄€(gè)面對(duì)應(yīng)1、2、3、4、5、6這6個(gè)數(shù)，其中奇偶各占一半，因此向上點(diǎn)數(shù)為奇偶的情況是等可能性的，都是12，而此問題如果將2、4、6看成一個(gè)整體，1、3、5看成一個(gè)整體，那么總共包括了8種情況，2偶1奇的情況占了3種。針對(duì)這類問題，可以讓學(xué)生進(jìn)行相互討論，加深理解。

結(jié)語

錯(cuò)題資源是高中課程資源的重要組成部分，且在教和學(xué)兩個(gè)方面都有很大的價(jià)值。教師在教學(xué)過程中需要充分利用好這一資源，不但可以及時(shí)強(qiáng)調(diào)知識(shí)中的易錯(cuò)點(diǎn)，總結(jié)應(yīng)對(duì)策略，還可以幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的思維敏捷度，提升學(xué)生分析解決問題的能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的快速發(fā)展。學(xué)生用好這一資源，能夠加深自己對(duì)學(xué)科知識(shí)的理解，提升自己學(xué)習(xí)的自信心和在數(shù)學(xué)中的獲得感和成就感。

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作者簡介：張政（1998—），男，漢族，江蘇淮安人，教育碩士，從事數(shù)學(xué)教育研究工作。

*通訊作者：馬旭（1971—），男，漢族，寧夏固原人，碩士，從事數(shù)學(xué)教育，計(jì)算數(shù)學(xué)等方面的研究工作。