類比法在“線性代數”課程中的應用探究

摘要：“線性代數”是大學數學的基礎課程，是理工類、經濟管理類各專業的必修課，為后續專業課程的學習提供必要的數學知識和方法.二次型是“線性代數”課程中的重點學習內容之一，在數學的其他分支以及經濟管理、工程技術等領域都有著廣泛應用，但是該部分內容較復雜、抽象難以理解和記憶，往往是學生學習的難點.本文探討了如何將學生已經學習過的線性方程組相關內容類比運用到二次型的教學中.教學實踐表明，類比法能夠有效激活學生的思維，幫助學生掌握不同知識點之間的聯系與區別，提高分析問題解決問題的能力.

關鍵詞：類比法；線性代數；線性方程組；二次型

1概述

“線性代數”是理工科和經濟管理類專業的一門重要的數學基礎課程，在不同的領域有著非常廣泛的應用，比如電子信息、自動化、材料、計算機、生物等學科，為學生后續專業課程學習以及將來在工作中對實際問題的解決提供了必要的數學知識方法，對學生邏輯思維能力、創新意識和能力以及應用能力的培養有著重要的作用［1］.因此，教師應高度重視“線性代數”課程的教學.“線性代數”課程的特點是：概念定理多，邏輯性、抽象性強，課時量不足，學習難度大.而二次型又是“線性代數”課程中的重要內容，其在數學的其他分支領域以及經濟管理、工程技術等領域有著廣泛應用［2］，比如在概率統計中協方差矩陣理論、供應鏈管理與協調理論中的最優化方法.由于二次型涉及概念多、內容復雜抽象、計算煩瑣，學生在學習時往往很難短時間內消化吸收，考完即忘的情況比較普遍，嚴重影響了教學質量［3］.而抽象性、復雜性又是數學的一個基本特征，這就要求教師在教學時要特別注意提高學生學習的積極性，激發學生主動思考，積極參與課堂活動.恰當運用類比分析法能夠化抽象為直觀、變未知為已知，有助于掌握新舊知識之間的聯系與區別，幫助學生高效理解記憶和靈活運用所學知識.本文是筆者教授“線性代數”課程時對一些相關聯的知識、方法的思考和教學實踐體會，探討了如何將學生已經學習過的線性方程組相關內容類比運用到二次型的教學中，旨在幫助學生更加高效深刻地掌握二次型的相關知識點.教學實踐表明，恰當運用類比法能夠有效提高學生學習二次型的積極性，幫助學生把不容易掌握的新知識轉化為已經學過的相關舊知識，提高學生分析問題解決問題的能力，進而提高“線性代數”教學質量.

2在二次型教學中線性方程組的類比應用

2.1線性方程組的矩陣表示與二次型的矩陣表示

二次型的矩陣表示能夠借助矩陣這個有力的工具研究二次型的性質，是二次型理論學習的基礎.但是不少學生在初學二次型的矩陣表示時，常常只是背結論，不能直觀理解這種表示的合理性.在教學中，筆者注意運用二次型矩陣表示與線性方程組的矩陣表示的聯系，將線性方程組的矩陣表示類比到二次型的矩陣表示上，幫助學生理解新舊知識之間的關系、提高學習興趣，從而縮短學生理解記憶的時間，提高學習效率［4］，為后面二次型理論的深入學習打下扎實基礎.

設一般的含有m個方程，n個未知量的線性方程組為：

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

……

am1x1+am2x2+…+amnxn=bm（1）

如果令A1=a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn，X=x1

x2

xn，b=b1

b2

bm，則由矩陣的乘法可知，方程組（1）可以用矩陣表示為A1X=b，一般的n元二次型：

f（x1，x2，…，xn）=a11x21+a22x22+…+annx2n+2a12x1x2

+2a13x1x3+…+2an-1，nxn-1xn（2）

如果令2aijxixj=aijxixj+ajixjxi，即aij=aji（i，j=1，2，…，n），則可以將式（2）寫成n行相加的形式：

f（x1，x2，…，xn）=（a11x1+a12x2+a13x3+…+a1nxn）x1

+（a21x1+a22x2+a23x3+…+a2nxn）x2

+…

+（an1x1+an2x2+an3x3+…+annxn）xn.

這個式子每一行括號內的式子就和線性方程組（1）中的某一個方程的左邊部分類似，故可以類比線性方程組的矩陣表示方法用列矩陣A2X來表示，

其中，A2=a11a12…a1n

a21a22…a2n

an1an2…ann，A2T=A2，X=x1

x2

xn.

然后再用這些小括號中的式子分別和x1，x2，…，xn相乘再相加，故在用行矩陣XT左乘上面的列矩陣A2X即可，所以該n元二次型可以用矩陣表示為：

f（x1，x2，…，xn）=XTA2X（3）

例1：設二次型f（x1，x2，x3）=x22+2x23-4x1x2+2x1x3-8x2x3.試求二次型的矩陣A及用二次的矩陣A將該二次型用矩陣表示.

解：因為f（x1，x2，x3）=0x21-2x1x2+x1x3-2x2x1+x22-4x2x3+x3x1-4x3x2+2x23=（0x1-2x2+x3）x1+（-2x1+x2-4x3）x2+（x1-4x2+2x3）x3，

所以二次型的矩陣A=0-21

-21-4

1-42，f（x1，x2，x3）=XTAX，其中X=x1

x2

x3.

2.2齊次線性方程組基礎解系所包含解的個數與二次型的標準形中所含的項數

二次型理論的一個重要內容是二次型化為標準形，在研究二次型時通常將其轉化為標準形，比如討論二次型的正定性，并且二次型的標準形在研究二次曲線的性質等方面有重要的應用［5］.在教學中，先通過具體的二次型例子引導學生發現同一個二次型的標準型是不唯一的，但是標準形所含的項數卻是唯一的.在探究其背后原理時，筆者有意識地引導學生類比齊次線性方程組基礎解系所包含解的個數也是唯一的，以此激發學生的思考，培養學生數學學習的主動性和良好的數學思維習慣.

設一般的一個齊次線性方程組為：

A1X=0（4）

其中A1=（aij）m×n，X=（x1，x2，…，xn）T，0=（0，0，…，0）T，則當系數矩陣A1的秩R（A1）=r<n時，該齊次線性方程組有基礎解系，并且任一基礎解系所含解的個數均為n-r.由于基礎解系就是齊次線性方程組全體解向量的極大線性無關組，所以它是不唯一的，但是不同的基礎解系所含解的個數都等于n-r，是唯一確定的.

對一個一般的n元二次型式（3），一定存在可逆變換X=CY，使得二次型化為標準形，即：

f（x1，x2，…，xn）=XTA2X

=YT（CTA2C）Y

=d1y21+d2y22+…+dny2n.

二次型的標準形的矩陣是對角矩陣：

CTA2C=d10…0

0d2…0

00…dn

由于C是可逆矩陣，所以CT也是可逆矩陣，故矩陣A2的秩等于對角矩陣CTA2C的秩，即等于對角線上不為零的元素的個數.所以二次型f（x1，x2，…，xn）=XTA2X的標準形中不為零的項的系數雖然是不唯一的，但是不為零的項的個數都等于二次型的秩，是唯一確定的.

例2：已知二次型f（x1，x2，x3）=5x21+x22+cx23-2x1x2+6x1x3-8x2x3的標準形的秩為2，求參數c的值.

解：因為二次型的標準形的秩為2，所以原二次型的秩也為2.

即矩陣A=5-13

-11-4

3-4c的秩為2，所以A=0.由A=5-13

-11-4

3-4c=04-17

-11-4

0-1c-12=4-17

-1c-12=4c-65=0.

解得c=654.

2.3初等變換不改變矩陣的秩與可逆實線性變換不改變實二次型的正定性

初等變換不改變矩陣的秩是用初等變換法求矩陣秩的理論基礎，在矩陣理論中有重要的作用.但是二次型的正定性計算復雜抽象，學生不容易理解和記憶，而二次型的標準形在判斷正定性時更容易理解，因此一個二次型通過可逆線性變換化為標準形的過程中正定性是否發生變化就是一個關鍵問題了.對于“可逆線性變換不改變實二次型的正定性”命題的證明，只需證明矩陣A經過一次初等變換成為B時，R（A）≤R（B），即經過一次初等變換之后矩陣的秩是不減小的.這是因為矩陣的初等變換具有可逆性，所以矩陣B一定也可以經過一次初等變換得到矩陣A，從而有R（B）≤R（A），R（A）=R（B）.主流教材中都有完整證明，這里就不贅述了.

可逆實線性變換不改變實二次型的正定性是通過將二次型化成標準形判定其正定性的理論基礎，在二次型理論中有重要作用.在證明時注意到做的是可逆實線性變換，故與前面證明初等變換不改變矩陣的秩類似，只用證明“一半”即可.設二次型式（3）是實二次型，對其作可逆實線性變換X=C1Y，得：

h（y1，y2，…，yn）=XTA2X=YT（CT1A2C1）Y（5）

由于C1是可逆矩陣，所以二次型式（5）也可以經過可逆實線性變換Y=C-11X變為二次型式（3），故當二次型式（5）正定時式（3）也正定.所以可逆實線性變換保持二次型的正定性不變.

例3：試通過二次型的標準形判別二次型f（x1，x2，x3）=2x21+5x22+8x23-4x1x3的正定性.

解：由配方法知，

f（x1，x2，x3）=2x21+5x22+8x23-4x1x3=2（x1-x3）2+5x22+6x23

故作可逆線性變換

x1=y1+y3

x2=y2

x3=y3，

令X=QY，Q=101

010

001.

從而f（x1，x2，x3）=2y21+5y22+6y23，該二次型的標準形顯然為正定的，由于可逆線性變換不改變二次型的正定性，所以原二次型f（x1，x2，x3）=2x21+5x22+8x23-4x1x3也是正定的.

3教學效果及總結

筆者在專科院校師范專業講授“高等數學”“線性代數”等課程時特別注意運用類比等教學方法引導學生思考，調動學生的積極性，發揮其主體作用.為了準確判斷類比教學法應用的教學效果，筆者進行了線上問卷調查（見下表）.

線上問卷調查表

教師通過將二次型的有關問題用學過的線性方程組相關知識作類比，是否能啟發你的思路，調動你思考的積極性

教師通過循序漸進的問題串推進教學，是否能促使你積極思考、主動參與課堂互動

教師通過將線性方程組類比應用于二次型有關知識點上，是否能使你更好地理解和記憶二次型的相關知識和方法，學習更高效

通過對88名學生進行問卷調查，其中96%以上的學生表示類比法的問題串教學方式能夠讓問題更直觀和熟悉，能夠激發他們主動思考，幫助他們深刻理解不同知識點的區別與聯系，節省理解記憶時間，并更加高效地學習，提高對知識的靈活運用和融會貫通能力.問卷調查統計結果如下圖.

結語

高等教育，特別是理工科專業的一個重要任務是提高學生邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力.因此，在數學相關課程教學中應特別注意對知識背后的數學思想方法的挖掘和訓練，培養學生的抽象思維能力、創新意識和創新能力.本文是筆者教授“線性代數”課程時對一些相關聯的知識、方法的思考和教學實踐體會，以二次型為例探討了如何將學生學習過的線性方程組相關知識和方法類比運用到二次型相關內容的教學中.通過類比法的教學方式，能夠幫助學生更容易地理解和記憶二次型的相關知識點，提高學習效率，獲得良好的學習體驗，增強學習數學的信心和對數學的興趣，提升學生的創新意識和將來在后續課程及工作中更好地應用二次型的能力，進而提高教學的質量和效果.

參考文獻：

［1］徐龍玉，胡葵，王麗.“線性代數”教學中的主線法與類比法的綜合運用［J］.綿陽師范學院學報，2018，37（2）：2732.

［2］卞小霞，季紅蕾.實二次型的教學探究［J］.教育教學論壇，2018（50）：195196.

［3］張莉，周羚君.類比方法在線性代數教學中的應用［J］.大學數學，2014，30（6）：6769.

［4］李子萍，費秀海.類比法在高等數學教學中的應用體會［J］.數學學習與研究，2021（29）：1011.

［5］王馨禹.試論二次型化標準形的方法［J］.數學學習與研究，2022（22）：152154.

［6］北京大學數學系前代數小組.高等代數［M］.4版.北京：高等教育出版社，2013.

［7］張學奇，趙梅春.線性代數［M］.3版.北京：中國人民大學出版社，2021.

基金項目：安徽省高等學校科學研究項目自然科學類重點項目（2023AH052993、KJ2021A1573）

作者簡介：劉俊（1988—），男，碩士，助教，從事供應鏈協調研究。