基于GGB對極點極線背景下圓錐曲線問題的探究與推廣

【摘要】極點極線背景下的圓錐曲線問題是高考數學的高頻考點，GGB是一款能夠同時處理幾何與代數問題的功能強大的動態數學軟件.對近五年來極點極線背景下的圓錐曲線高考題進行梳理，并借助GGB軟件對極點極線背景下的定點問題、定直線問題、平行垂直問題和傾斜角與斜率問題進行了探究與推廣.

【關鍵詞】極點極線；圓錐曲線；GGB；信息技術

1引言

GeoGebra軟件（以下簡稱GGB）是由美國佛羅里達州亞特蘭大學的數學教授Markus Hohenwarter設計的一個動態數學軟件，只需點擊或者輸入命令就可以實現畫圖、作切線極線等功能，給解析幾何的研究帶來了極大的便利.

極點極線背景下的圓錐曲線問題一直是高考考查的重點與難點，選取近年來極點極線背景下的高考圓錐曲線大題，分析其背景，并借助GGB對其進行探究與推廣，以期為教學、命題、解題帶來一定的參考與啟示.

2極點極線的相關概念

2.1極點極線的定義

代數定義：二次曲線C：Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0（A2+B2≠0），點P（x0，y0）與直線Ax0x+By0y+Cx0y+y0x2+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0是二次曲線C的一對極點與極線.

幾何定義：以橢圓為例如圖1，點P不在圓錐曲線上，過點P作圓錐曲線的兩條割線，分別交曲線于A，B，C，D四點，弦AC與BD的交點為M，直線AD與BC的交點為N，則直線MN為點P的極線，直線PN為點M的極線，直線PM為點N的極線.△PMN稱為自極三角形，其中每一頂點與其對邊所在的直線為一組極點極線[1].

2.2調和點列與調和線束

調和點列：對于線段AB的內分點C和外分點D，若滿足CACB=DADB，則稱點列A，C，B，D是調和點列，點列D，B，C，A也是調和點列.以橢圓為例，如圖2，過點Q作直線與圓錐曲線交于A，B兩點，與點Q的極線交于點P，則A，Q，B，P是調和點列.

調和線束：如圖3，若A，C，B，D是調和點列，O為直線外任意一點，則直線OA，OC，OB，OD為調和線束.另一直線截調和線束，則截得的四點A′，C′，B′，D′仍成調和點列.

直線OA，OC，OB，OD的斜率分別記為k1，k2，k3，k4，則滿足2（k1k3+k2k4）=（k1+k3）（k2+k4）.特別地，當調和線束四條直線中有一條直線如OD的斜率不存在時，調和線束的斜率滿足k1+k3=2k2；當有一條直線的斜率為0，如k4=0時，調和線束的斜率滿足1k1+1k3=2k2（調和線束斜率的等差模型）.

3題目探究與推廣

統計了2020年到2024年近五年來全國卷關于極點極線問題的考查情況如表1，可以發現極點極線為背景的圓錐曲線問題是高考數學不折不扣的熱點問題，借助GGB對其常見的四種考查形式進行探究與推廣.

3.1定點問題

例1（2020年全國Ⅰ卷理/文·20/21）已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，AG·GB=8，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D.

（1）求E的方程；

（2）求證：直線CD過定點.

極點極線背景分析：易得橢圓的方程為x29+y2=1，如圖4，設AB與CD交于點M，CB與AD交于點Q，則△PQM為自極三角形，點M和直線PQ是一對極點極線.設點M的坐標為（xM，0），則直線PQ為x=9xM，又因為點P在直線x=6上，所以9xM=6，解得xM=32，所以直線CD恒過定點（32，0）.

探究1已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點， P為直線x=m（m>a）上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D，直線CD過定點（a2m，0）（直線過定點與圓錐曲線的形狀無關）.

如圖5，設置數值滑動條a，b，m，區間范圍分別為［0，5］，［0，a］，［a，10］，繪制橢圓E：x2a2+y2b2=1；設置點P（m，0），PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D；對直線CD開啟跟蹤，改變P點位置，可以發現直線CD隨著P點的變化而變化，但是CD始終過定點；拖動滑動條改變a，b，m的值重復操作，發現直線CD仍然始終過定點，說明該性質與圓錐曲線的形狀無關.

探究2 已知A，B分別為雙曲線E：x2a2－y2b2=1的左、右頂點， P為直線x=m（0<m<a）上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D，直線CD過定點（a2m，0）（以雙曲線為例，直線過定點與圓錐曲線的類型無關）.

如圖6，設置數值滑動條a，b，m，區間范圍分別為［0，5］，［0，5］，［0，a］，繪制雙曲線C：x2a2－y2b2=1；設置點P（m，0），PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D，對直線CD開啟跟蹤，改變P點位置，可以發現直線CD隨著P點的變化而變化，但是CD始終過定點；拖動滑動條改變a，b，m的值重復操作，發現直線CD仍然始終過定點，說明該性質與圓錐曲線的類型無關.

探究3 已知A，B分別為橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右頂點， 過點（m，0）（0<|m|<a）的直線與E交于C，D兩點，AC與BD交于點P，點P過定直線x=a2m（互換條件與結論問題變為定直線問題）.

如圖7，設置數值滑動條a，b，m，區間范圍分別為［0，5］，［0，a］，［－a，a］，繪制橢圓C：x2a2+y2b2=1；設置M（m，0），過點M的直線與E交于C，D兩點，直線AC，BD交于點P；對點P開啟跟蹤，改變C點位置，可以發現P點隨著直線CD的變化而變化，但是P點始終在一條定直線上；拖動滑動條改變a，b，m的值重復操作，發現P點仍然始終在一條定直線上，說明互換本題的條件與結論仍然成立.

3.2定線問題

將例1中圓錐曲線的類型改為雙曲線，互換條件與結論將題目改為定直線問題，就可以得到2023年新課標Ⅱ卷圓錐曲線大題，該題和2020年全國Ⅰ卷圓錐曲線大題同出一源，背景相同，其探究推廣略.

例2（2023年新課標Ⅱ卷·21）已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為（－25，0），離心率為5.

（1）求C的方程；

（2）記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點B（－4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點P，證明：點P在定直線上.

極點極線背景分析：易得雙曲線的方程為x24－y216=1，如圖8，設MN與A1A2交于點B，設MA2與NA1交于點Q，則△PQB為自極三角形，直線PQ與點B互成一對極點極線，則點P在點B對應的極線x=－1上.

3.3平行垂直關系

例3（2024年全國甲卷理/文·20/21）設橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點為F，點M（1，32）在C上，且MF⊥x軸.

（1）求C的方程；

（2）過點P（4，0）的直線與C交于A，B兩點，N為線段FP的中點，直線NB交直線MF于點Q，證明AQ⊥y軸.

極點極線背景分析：易得橢圓的方程為x24+y23=1.如圖9，PA∩FM=D，點D在P的極線上，則A，D，B，P為調和點列，以Q為束心，QA，QD，QB，QP為調和線束.QD的斜率不存在，則kQA+kQP=2kQN，又N為PF的中點，可得kQB=kQN=2kQP，所以kQA=0，即AQ⊥y軸.

探究4設C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點為F，c=a2－b2，點M（c，b2a）在C上，過點P（a2c，0）的直線與C交于A，B兩點，N為線段FP的中點，直線NB交直線MF于點Q，則AQ⊥y軸（AQ⊥y軸與圓錐曲線的形狀無關）.

如圖10，使用GGB作圖，設置數值滑動條a，b，區間范圍分別為［0，5］，［0，a］，繪制橢圓C：x2a2+y2b2=1；令c=a2－b2，設置F（c，0），M（c，b2a），P（a2c，0），N為線段FP的中點，過點P的直線與C交于A，B兩點，直線NB交直線MF于點Q，連接線段AQ；對直線AQ開啟跟蹤，改變A點位置，可以發現直線AB、點Q隨著A點的變化而變化，但是直線AQ始終垂直于y軸；拖動滑動條改變a，b的值重復上面操作，發現直線AQ仍然垂直于y軸，說明該性質與圓錐曲線的形狀無關.

探究5設C：x2a2－y2b2=1（a，b>0）的右焦點為F，點M（c，b2a）在C上，過點P（a2c，0）的直線與C交于A，B兩點，N為線段FP的中點，直線NB交直線MF于點Q，則AQ⊥y軸（以雙曲線為例，探究AQ⊥y軸與圓錐曲線的類型無關）.

如圖11，使用GGB作圖，設置數值滑動條a，b，區間范圍分別為［0，5］，［0，5］，繪制雙曲線C：x2a2－y2b2=1；設置F（c，0），M（c，b2a），P（a2c，0），N為線段FP的中點，過點P的直線與C交于A，B兩點，直線NB交直線MF于點Q，連接線段AQ；對直線AQ開啟跟蹤，改變A點位置，可以發現直線AB、點Q隨著A點的變化而變化，但是直線AQ始終垂直于y軸；拖動滑動條改變a，b的值重復上面操作，發現直線AQ仍然垂直于y軸，說明該性質與圓錐曲線的類型無關.

探究6設C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點為F，點M（c，b2a）在C上.A為橢圓C上位于y軸左側的一點，且滿足直線AQ⊥y軸交MF于點Q（Q在橢圓內），連接N（c+a2c2，0）與Q，線段NQ與C交于點B，證明：直線AB過定點（a2c，0）（互換條件與結論改為直線過定點問題）.[HJ1.3mm]

如圖12，使用GGB作圖，設置數值滑動條a，b，區間范圍分別為［0，5］，［0，a］，繪制橢圓C：x2a2+y2b2=1；將A設置為為橢圓C上一動點，N（c+a2c2，0），作直線AQ⊥y軸交MF于點Q，連接線段NQ與C交點B；對直線AB“開啟跟蹤”，調整點A的位置，可以發現直線AB隨著A點位置的變化而變化，但是直線AB恒過定點；拖動滑動條改變a，b的值，重復上面操作，發現直線AB仍然恒過定點，說明互換該題的條件與結論仍然成立.

3.4傾斜角與斜率問題

例4（2022年全國甲卷理/文·20/21）設拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，點D（p，0），過點F的直線交C于M，N兩點.當直線MD垂直于x軸時，|MF|=3.

（1）求C的方程；

（2）設直線MD，ND與C的另外一個交點分別為A和B，記直線MN，AB的傾斜角分別為α，β，當α－β取得最大值時，求直線AB的方程.

極點極線背景分析：易得拋物線的方程為y2=4x，如圖13，延長BM和AN交于點P，延長MN和AB交于點Q，點D的極線PQ：x=－2交x軸于點E，則△PQD為自極三角形，E，F，D，G為調和點列.

由DFDG=EFEG，得G點坐標為（4，0），|tanα|=EQEF，|tanβ|=EQEG=EQ2EF，則|tanα|=2|tanβ|，且tanα與tanβ同號，令k=tanβ，由題意知k>0，tan（α－β）=k1+2k2=11k+2k，當且僅當1k=2k即k=22時tan（α－β）最大，所以直線AB的方程為y－0=22（x－4），即x－2y－4=0.

探究7拋物線C：y2=2px的焦點為F，點D（p，0），過點F的直線交C于M，N兩點，直線MD，ND與C的另外一個交點分別為A和B，直線AB過定點（2p，0）（定點問題）.

如圖14，使用GGB作圖，設置數值滑動條p，區間范圍設為［－5，5］，繪制拋物線C：y2=2px；設置點D（p，0），過點F的直線交C于M，N兩點，直線MD，ND與C的另外一個交點分別為A和B；對直線AB“開啟跟蹤”，調整點M的位置，可以發現直線AB隨著點M位置的變化而變化，但是直線AB恒過定點；拖動滑動條改變p的值，重復上面操作，直線AB仍然恒過定點.

探究8拋物線C：y2=2px的焦點為F，點D（p，0），過點F的直線交C于M，N兩點，直線MD，ND與C的另外一個交點分別為A和B，MN和AB的交點為P，AN和BM的交點為Q，點P，Q在定直線x=－p上（定直線問題）.

如圖15，使用GGB作圖，設置數值滑動條p，區間范圍設為［－5，5］，繪制拋物線C：y2=2px；直線MN和AB的交點為P，AN和BM的交點為Q，對點P，Q“開啟跟蹤”，調整點M的位置，可以發現P，Q在定直線上；拖動滑動條改變p的值重復上面操作，P，Q仍在定直線上.

探究9拋物線C：y2=2px的焦點為F，點D（p，0），過點F的直線交C于M，N兩點，直線MD，ND與C的另外一個交點分別為A和B，過點A和B作拋物線的切線，兩條切線的交點在定直線x=－2p上（定直線問題）.

如圖16，使用GGB作圖，設置數值滑動條p，區間范圍設為［－5，5］，繪制拋物線C：y2=2px；過點A和B作拋物線的切線，兩條切線的交點為P；對點P“開啟跟蹤”，調整點M的位置，可以發現點P在定直線上；拖動滑動條改變p的值重復上面操作，P仍在定直線上.

探究10拋物線C：y2=2px的焦點為F，點D（p，0），過點F的直線交C于M，N兩點，直線MD，ND與C的另外一個交點分別為A和B，以AB為直徑的圓過原點（圓過定點問題）.

如圖17，使用GGB作圖，設置數值滑動條p，區間范圍設為［－5，5］，繪制拋物線C：y2=2px；以AB為直徑作圓，對圓“開啟跟蹤”，調整點M的位置，可以發現以AB為直徑的圓恒過原點；拖動滑動條改變p的值重復上面操作，以AB為直徑的圓仍然恒過原點.

5結束語

高考壓軸題并非無源之水，而是有根可尋，極點極線蘊含著豐富的內容，是考試考查的重點，是命題取之不盡的源泉.借助GGB軟件對復雜的幾何動態問題進行展示探究，使得圓錐曲線問題的探究更加動態直觀形象，進而窺探問題的背景，挖掘試題的本質，自然可以居高臨下地認識高考試題，游刃有余地駕馭課堂[2].

參考文獻

[1]王文彬.極點、極線與圓錐曲線試題的命制[J].數學通訊，2015（08）：62-66.

[2]張志勇.2016年高考四川卷解析幾何題的探源與推廣[J].中國數學教育，2017（18）：53-58.

作者簡介

朱樹金（1997—），男，山東濱州人，高中二級教師；主要從事數學課程與教學論研究.

李怡泉（1995—），男，湖北宜昌人，中學數學教師；主要從事數學課程與教學論研究.