從2024年一道高考題解法探究過程論高考創(chuàng)新試題的應對策略

【摘要】高考中的創(chuàng)新試題真正要考查的是考生的基本數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學思維，在高考復習備考中緊緊依托教材進行拓展延伸，在深入理解知識本質的過程中建構知識，引導學生開展創(chuàng)造性學習，這才是最根本的應對策略.

【關鍵詞】新課標；高考創(chuàng)新題；應對策略

2024年數(shù)學高考已塵埃落定，今年新課標Ⅰ卷、Ⅱ卷試卷結構做了重要調整，在題量減少的情況下，試題突出創(chuàng)新導向，加強創(chuàng)新能力考查，設計全新的試題情境、呈現(xiàn)方式和設問方式，加強了解答題部分對基本能力的考查，提升壓軸題的思維量，突出理性思維和數(shù)學探究，考查學生運用數(shù)學思維和數(shù)學方法發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.其中新課標Ⅰ卷第19題以數(shù)列為知識背景，創(chuàng)新設問方式，設置數(shù)學新定義，題目非常新穎，沒有固定的模式，是今年高考數(shù)學的“聚焦點”[1].筆者對此題的解法進行探究，并從試題解法的探究過程看這類題的解題策略，供讀者參考.

1試題及分析

（2024年高考數(shù)學新課標Ⅰ卷第19題）設m為正整數(shù)，數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項ai和aji<j后剩余的4m項可被平均分為m組，且每組的4個數(shù)都能構成等差數(shù)列，則稱數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是i，j－可分數(shù)列．

（1）寫出所有的i，j，1≤i<j≤6，使數(shù)列a1，a2，…，a6是i，j－可分數(shù)列；

（2）當m≥3時，證明：數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是2，13－可分數(shù)列；

（3）從1，2，…，4m+2中一次任取兩個數(shù)i和ji<j，記數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是i，j－可分數(shù)列的概率為Pm，證明：Pm>18．

此題以等差數(shù)列為知識背景，創(chuàng)新設問方式，設置數(shù)學新定義，搭建思維平臺，引導考生積極思考，在思維過程中領悟數(shù)學方法，自主選擇路徑和策略分析問題、解決問題.充分體現(xiàn)了“多想少算”的設計理念，充分重視對思維能力、探究能力和解決問題能力的考查.

2解法探究

解（1）由于從等差數(shù)列中取出的項成等差數(shù)列的充要條件是所取項的序號成等差數(shù)列，所以只需討論數(shù)列1，2，…，4m+2是i，j－可分數(shù)列即可，本文的討論均在此假設下進行.

第1小問相當于從1，2，3，4，5，6中取出兩個數(shù)i和ji<j，使得剩下的四個數(shù)是等差數(shù)列，那么剩下的四個數(shù)只可能是1，2，3，4，或2，3，4，5，或3，4，5，6.所以所有可能的i，j有1，2，1，6，5，6.

（2）當m=3時，由于從數(shù)列1，2，…，4m+2中取出2和13后，剩余的4m個數(shù)可以排列成下面的形狀：

1，4，7，10；5，8，11，14；3，6，9，12.共3組.

當m≥4時，還有

15，16，17，18；…；4m－1，4m，4m+1，4m+2.共m－3組.

故數(shù)列1，2，…，4m+2是2，13－可分數(shù)列.

（3）解法1：設集合A={4k+1k=0，1，2，…，m}={1，5，9，13，…，4m+1}，

B={4k+2k=0，1，2，…，m}={2，6，10，14，…，4m+2}.

下面證明，對1≤i<j≤4m+2，如果下面條件1和條件2同時成立，

則數(shù)列1，2，…，4m+2一定是i，j－可分數(shù)列.

條件1：i∈A，j∈B或i∈B，j∈A；

條件2：j－i≠3.

分兩種情況證明這個結論.

情況1：如果i∈A，j∈B，且j－i≠3.

此時設i=4k1+1，j=4k2+2，k1，k2∈{0，1，2，…，m}，

則由i<j可知4k1+1<4k2+2，即k2－k1>－14，故k2≥k1.

此時，從數(shù)列1，2，…，4m+2中取出i=4k1+1和j=4k2+2后，剩余的4m個數(shù)只需要從小到大依次排列，即可得到m個都有四項的等差數(shù)列.

情況2：如果i∈B，j∈A，且j－i≠3.

此時設i=4k1+2，j=4k2+1，k1，k2∈{0，1，2，…，m}.

由i<j可知4k1+2<4k2+1，即k2－k1>14，故k2>k1.

由于j－i≠3，故4k2+1－4k1+2≠3，從而k2－k1≠1，這就意味著k2－k1≥2.

此時，把正整數(shù)1，2，…，4m+2按如下方式排列：

1，2，3，4；5，6，7，8；…；4k1－3，4k1－2，4k1－1，4k1.共k1組；

4k1+1，3k1+k2+1，2k1+2k2+1，k1+3k2+1；

4k1+2，3k1+k2+2，2k1+2k2+2，k1+3k2+2；

4k1+3，3k1+k2+3，2k1+2k2+3，k1+3k2+3；

4k1+4，3k1+k2+4，2k1+2k2+4，k1+3k2+4；

……

3k1+k2，2k1+2k2，k1+3k2，4k2.共k2－k1組；

4k2+3，4k2+4，4k2+5，4k2+6;4k2+7，4k2+8，4k2+9，4k2+10；…；4m－1，4m，4m+1，4m+2.共m－k2組.

（如果某一部分的個數(shù)為0，則忽略之）

可見，取出i=4k1+2和j=4k2+1后，剩余的4m個數(shù)可排成m個都有四項的等差數(shù)列，故此時數(shù)列1，2，…，4m+2是i，j－可分數(shù)列.

這就證明了：對1≤i<j≤4m+2，如果條件1和條件2同時成立，則數(shù)列1，2，…，4m+2一定是i，j－可分數(shù)列.

然后考慮這樣的i，j的個數(shù).

首先，由于A∩B=，A和B各有m+1個元素，故滿足條件1的i，j總共有m+12個.

如果j－i=3，假設i∈A，j∈B，則可設i=4k1+1，j=4k2+2，代入得4k2+2－4k1+1=3.

但這導致k2－k1=12，矛盾，所以i∈B，j∈A.

設i=4k1+2，j=4k2+1，k1，k2∈{0，1，2，…，m}，則4k2+1－4k1+2=3，即k2－k1=1.

所以可能的k1，k2恰好就是0，1，1，2，…，m－1，m，對應的i，j分別是2，5，6，9，…，4m－2，4m+1，總共m個.

所以這m+12個滿足條件1的i，j中，不滿足條件2的恰好有m個.

這就得到同時滿足條件1和條件2的i，j的個數(shù)為m+12－m.

故Pm≥m+12－mC24m+2=m2+m+12m+14m+1>m2+m+142m+14m+2=m+12222m+12m+1=18.

證畢.

解法2：設1，2，…，4m+2是i，j－可分數(shù)列的i，j有bm個，則b1=3.

下面考慮bm+1與bm的關系：

設1，2，…，4m+2是i，j－可分數(shù)列的i，j組成的集合為Am.

由于從1，2，…，4m+2，4m+3，4m+4，4m+5，4m+6的前4m+2個數(shù)中任意抽掉兩個數(shù)，不影響4m+3，4m+4，4m+5，4m+6成等差數(shù)列，所以AmAm+1，于是bm≤bm+1.

再考慮Am+1中比Am多出來的元素.

情況1：若抽取j=4m+6，i=4m+5－4t（t=0，1，2，…，m，m+1），剩下的4m+4個數(shù)只需要從小到大依次排列，即成m+1個都有四項的等差數(shù)列，這樣的i，j有m+2個.

情況2：若抽取j=4m+5，i=4m+6－4ss=2，3，…，m+1.

把從4m+5－4s到4m+6的整數(shù)按如下方式排列：

4m+6，4m+6－s，4m+6－2s，4m+6－3s，4m+6－4s；

4m+5，4m+5－s，4m+5－2s，4m+5－3s，4m+5－4s；

4m+4，4m+4－s，4m+4－2s，4m+4－3s；

4m+3，4m+3－s，4m+3－2s，4m+3－3s；

……

4m+7－s，4m+7－2s，4m+7－3s，4m+7－4s.

共有s行，前兩行有5個數(shù)，s≥3時后面每行有4個數(shù).

可見抽取j=4m+5，i=4m+6－4ss=2，3，…，m+1后，剩下的4s個數(shù)排成了s個都有四項的等差數(shù)列.而從1到4m+4－4s（當m≥s時）的4m+4－4s個整數(shù)只需從小到大就可以排成m+1－s個都有四項的等差數(shù)列.這說明把前4m+6個正整數(shù)抽取了j=4m+5，i=4m+6－4ss=2，3，…，m+1后，剩余的4m+4個數(shù)可以排m+1個都有四項的等差數(shù)列.這樣的i，j有m個.

于是bm+1≥bm+m+2+m，即bm+1－bm≥2m+1.

故bm=bm－bm－1+bm－1－bm－2+…+b2－b1+b1≥2m+2m－1+…+2×2+3

=m2+m+1.

于是Pm=bmC24m+2≥m2+m+12m+14m+1>m2+m+142m+14m+2=m+12222m+12m+1=18.

證畢.

3從試2E0ZxBSADImR9VgQwahjbg==題解法的探究過程看這類題的解題策略

這類題很新穎，沒有固定的模式，表面上涉及的知識點可以是高中數(shù)學的任何一個或幾個板塊，但核心是考查考生的數(shù)學素養(yǎng)和思維能力.就這道題來講，表面上是考數(shù)列和概率，但解題過程的重心和難點都不在這兩部分，而是在構造法和集合的劃分，它們是典型的解競賽題的常用方法，沒有優(yōu)秀的數(shù)學素養(yǎng)和很強的思維能力是駕馭不了的.因此，這類題的解法沒有套路，沒有模型，不能照搬現(xiàn)成的解法，只靠刷題是練不出來的.但是，它畢竟還是數(shù)學題，解法的發(fā)現(xiàn)自然也會遵循數(shù)學題的解題規(guī)律，所以掌握一些解題策略還是很有幫助的.下面就從這道題解法的發(fā)現(xiàn)過程來總結一些解這類題的策略.

第1問的解法有兩種，第一種是注意到從6個數(shù)中取出兩個數(shù)有15種情況，把這15種情況考慮完即可；第二種方法是發(fā)現(xiàn)剩余的4個數(shù)一定有差為1的兩個數(shù)，故從小到大排成數(shù)列公差只能是1，很容易就得出只有3種情況.

第2問只要把剩余的4m個數(shù)排成m個等差數(shù)列即可.解法的發(fā)現(xiàn)過程就是嘗試各種排列方式，很快就得到了想要的結果.

第3問解法的發(fā)現(xiàn)是比較困難的，在這一過程不斷變換策略，總算取得了突破.

策略1：特例入手.

首先研究了m=2的情況，很快發(fā)現(xiàn)數(shù)列1，2，…，10的i，j有1，2，1，6，5，6，1，10，5，10，9，10，此時概率已大于18.再考慮m=3的情況，發(fā)現(xiàn)數(shù)列1，2，3，…，14的i，j有1，2，1，6，5，6，1，10，5，10，9，10，1，14，5，14，9，14，13，14，由第2問知還有2，13，此時概率為1191，小于18，說明還有沒發(fā)現(xiàn)的.經幾次嘗試，發(fā)現(xiàn)6，13也正確，因為剩余的12個數(shù)可以排列成1，2，3，4；5，7，9，11；8，10，12，14.此時概率已大于18.進一步研究m=4的情況，找出了1，2，1，6，5，6，1，10，5，10，9，10，1，14，5，14，9，14，13，14，1，18，5，18，9，18，13，18，2，13，6，13，共16個，而概率要大于18至少要20個，還差4個.再找下去太費時間，而且還不一定能得到結果，所以決定不找了，轉變策略.

策略2：歸納總結.

分析m=1，2，3，4時找到的i，j，發(fā)現(xiàn)了兩個規(guī)律：（1）m取較大值時的i，j包含了m取較小值時的i，j.這點其實早就想到了，m取較大值時的數(shù)列就是在m取較小值時的數(shù)列的后面增加了一些數(shù)，而新增加的數(shù)本來就可以排列成都有4項的等差數(shù)列，所以m取較小值時的i，j自然也是m取較大值時的i，j；（2）i，j中的兩個數(shù)一奇一偶.其中前奇后偶的最多，而且這種情況下去掉這兩個數(shù)以后余下的4m個數(shù)分成了一段或兩段或三段，每段都是4的倍數(shù)個連續(xù)整數(shù)，這樣的i，j很容易找完.前偶后奇的找到的很少，原因是每找一個都要花大力氣去考慮余下的數(shù)怎么排列，所以本題的難點就在這里.根據(jù)發(fā)現(xiàn)的兩個規(guī)律，想到了兩個突破方向.第一個是直接研究余下的數(shù)排列成等差數(shù)列中的規(guī)律，第二個是化整為零，利用遞推思想研究m+1相應的i，j個數(shù)比m相應的i，j個數(shù)增加的數(shù)量.

策略3：合情推理.

從特殊到一般是合情推理的一種重要形式，也是一種非常重要而有效的數(shù)學思想方法.根據(jù)這一思想，接下來就是利用已有的特例，研究i為偶數(shù)j為奇數(shù)時余下的數(shù)排列成等差數(shù)列中的一般規(guī)律.當m=3時，去掉2和13，余下的數(shù)可以如下排列：1，4，7，10；5，8，11，14；3，6，9，12.去掉6和13，余下的數(shù)可以如下排列：1，2，3，4；5，7，9，11；8，10，12，14.當m=4時，去掉6和13，余下的數(shù)排列成：1，2，3，4；5，7，9，11；8，10，12，14；15，16，17，18.

可以看出，當i的前面或j的后面多于4個數(shù)時，可以把前后的數(shù)從小到大依次排成若干個都有4項的等差數(shù)列，再排中間余下的數(shù)即可.那么余下的數(shù)又有什么排列規(guī)律呢？按照上面的排列方式，要看出規(guī)律很難.所以想到了改變排列方式，按照數(shù)的大小順序把得到的數(shù)列從上往下排，并且把去掉的數(shù)加在相應的位置，得到如下的排列：

1，4，7，10，13；1，2，3，4；1，2，3，4；

2，5，8，11，14；5，7，9，11，13；5，7，9，11，13；

3，6，9，12.6，8，10，12，14.6，8，10，12，14;

15，16，17，18.

可以看出，從i所在的行起到j所在的行止，先從上往下看再從左往右看，這些數(shù)是從小到大依次排列的.為了驗證這一點，再取m=5，先考慮（6，19），發(fā)現(xiàn)排不出來，再考慮（6，21），發(fā)現(xiàn)可以如下排列：

1，2，3，4；

5，9，13，17，21；

6，10，14，18，22；

7，11，15，19；

8，12，16，20.

可見前面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律應該修改為：i前面的數(shù)多于4個時，可以先從小到大排成若干個都有4項的等差數(shù)列.到最接近i時，余下的數(shù)先排最小的一個，再確定適當?shù)墓睿筳在這一行的第5個；下一行的第一個數(shù)為i（比上一行的第一個數(shù)小1），公差不變，也是5個；再下面的幾行（如果有的話）都只排4個，且依次由上一行的數(shù)減1得到，把i和j之間的整數(shù)排完為止，根據(jù)公差與i和j所在的位置，計算出了需要排的行數(shù)為j在奇數(shù)中的排位數(shù)減去i在偶數(shù)中的排位數(shù)之差，但這個差不能是3；后面的數(shù)從小到大依次排列即可.發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律以后，就得到了解法1.

策略4：遞推思想.

由于有了前面的發(fā)現(xiàn)，所以想到了遞推的方法，這種方法在解數(shù)列題中有很好的效果，它實際上是把一個大問題分割成了若干小問題，然后各個擊破，這樣就極大地減小了難度.本題中，考慮到m取較大值時的i，j包含了m取較小值時的i，j，所以只要弄清楚m+1相應的i，j個數(shù)比m相應的i，j個數(shù)增加的數(shù)量即可.而增加的i，j中i和j至少有一個取自增加的4個數(shù).注意到j=4m+6時，只要取i=4m+5－4t（t=0，1，2，…，m，m+1），則余下的4m+4個數(shù)只需要從小到大依次排列，即成m+1個都有四項的等差數(shù)列，這樣的i，j有m+2個.但這個數(shù)量是不夠的，怎么找新的i，j成了難題.

策略5：前問挖潛.

注意到第2小問的結論中提供的信息：當m=3時，數(shù)列1，2，3，…，13，14是2，13－可分數(shù)列，這個結論僅僅就是提供一個特例嗎？恐怕不止于此.在高考題中，前面問題中的結論對后面問題的解法有很大幫助的情況并不少見，其目的是考查學生根據(jù)一絲有用的信息發(fā)現(xiàn)更重要的結論的能力，這是一種對數(shù)學的直覺和敏感，這種能力強的人學習潛力很大.對于本題，經過分析，很快有了發(fā)現(xiàn)，那就是13正是倒數(shù)第二個數(shù)，結合前面已發(fā)現(xiàn)的6，13，已經有一定的方向了.接著又發(fā)現(xiàn)m=4時有2，17，6，17，10，17.到這里，特例已經夠多了，并且猜想對于m+1相應的這類i，j有2，4m+5，6，4m+5，…，4m－2，4m+5，共m個.接下來就是尋找數(shù)的排列規(guī)律.

策略6：逆向思維.

經過對得到的特例分析，把i和j放在適當?shù)奈恢煤螅l(fā)現(xiàn)總是在后兩行，這樣就要先確定前面的數(shù)怎么排，困難較大.于是逆向思維，想到等差數(shù)列倒過來排也是等差數(shù)列，而從大到小排的好處是i和j總在前兩排，這樣排起來就方便多了.于是，把m=4時的2，17，6，17，10，17這幾個特例排成了如下的形狀：

18，14，10，6，2;18，15，12，9，6;18，16，14，12，10;

17，13，9，5，1;17，14，11，8，5;17，15，13，11，9；

16，12，8，4；16，13，10，7；8，7，6，5；

15，11，7，3；4，3，2，1.4，3，2，1.

經過觀察，很容易就發(fā)現(xiàn)了規(guī)律：前兩行都有5個數(shù)，后面每行都有4個數(shù)，i在第一行的最后一個，17在第二行的第一個，把i和j之間的數(shù)排完需要的行數(shù)剛好是每行的公差（由等差數(shù)列的特征知這個規(guī)律是必然的），這部分排完后余下的數(shù)從大到小（或從小到大）依次排即可.經進一步分析，發(fā)現(xiàn)每行的公差與這類i，j的排列2，4m+5，6，4m+5，…，4m－2，4m+5中i所在那組的序號有關，也就是m+1減去i那組的序號之差等于公差.接下來就按照這一規(guī)律把一般情況排列出來，發(fā)現(xiàn)完全正確，這樣就有了解法2.

上面用到的這些策略在解數(shù)學題中都很常見且非常重要，輕松自如地運用這些策略將能極大地提高解決新問題的能力，而高考中的創(chuàng)新題真正要考的也正是考生的基本數(shù)學素養(yǎng)和數(shù)學思維[2].從這方面來講，平時教學和學習的重心應該放在提高數(shù)學素養(yǎng)和訓練思維能力上，而不是用在刷題上，這才是最根本的應對策略.

參考文獻

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[2]張君.高三壓軸題講評，講好思維的“卡殼”處：以2020屆成都三診理科數(shù)學第20題解法探究為例[J].教學考試，2020（47）：50-53.

作者簡介

張君（1978—），男，四川宣漢人，中學高級教師;主要從事高中數(shù)學教學研究;發(fā)表論文30余篇，主持一項四川省教育科研重點課題.

李武學（1966—），男，四川沐川人，中學高級教師；主要從事高中數(shù)學教學研究．

陳婷婷（1987—），女，四川宜賓人，中學一級教師；主要從事高中數(shù)學教學研究．

基金項目

2023年度四川省教育科研項目重點課題“拔尖創(chuàng)新人才早期培養(yǎng)視域下普通高中‘強基課程’建設研究”（SCJG23A051）.