數學試題中“基礎性”的體現及備考策略探討

【摘要】近年高考數學全國新課標卷“持續深化基礎性考查”.以具體的試題、案例闡釋“基礎性”的內涵，呈現高考數學試題“基礎性”的體現樣態，揭示高考備考注重基礎性的基本策略和路徑.

【關鍵詞】高考數學；新課標卷；基礎性；評價分析；策略路徑

2024年全國高考數學新課標卷，特點之一就是“持續深化基礎性考查”.近年的高考數學全國卷，尤其是新課標卷不斷加強對于基礎知識、基本原理的考查力度，延伸基礎性考查的內涵[1].“高考注重基礎性考查”“高考備考要注意夯實基礎”的觀點每年都廣泛提及，高三師生備考指向也明了于心，但每年高考數學依然很多“成也基礎敗也基礎”的案例.何為“基礎性”？高考數學試題如何體現“基礎性”？高三備考應如何有效夯實基礎？本文立足數學試題中“基礎性”的體現評析，探討高考備考注重基礎性的基本策略和路徑，給一線教師以啟示.

1高考評價體系中的“基礎性”的內涵及解讀

高考評價體系指出，“基礎性包括學科內容的基本性、通用性以及情境的典型性.它要求以生活實踐或學習探索中最基本的問題情境作為任務創設和基本知識能力運用考査的載體，對即將進入高等學校的學習者應掌握的學科基本概念、原理、技能和思維方法進行測量與評價”［2］.

高考關注各學科中的主干內容，關注學習者在未來的生活、學習和工作中所必須具備、不可或缺的知識、能力和素養.高考注重基礎性，強調基礎扎實，促進學生系統掌握學科基礎知識、基本技能、基本方法，從而促進教學回歸課程教材，夯實學生成長的基礎.因此，筆者將“基礎性”界定為《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課標”）提出的“四基”：基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.

1.1基礎知識

數學基礎知識，主要指課標中要求掌握的數學概念、法則、性質、公式、公理、定理以及由其內容所反映出來的一些具體方法.

例1 （2025屆廣州市高三階段訓練卷第3題）長江被稱為黃金水道，而三峽大壩則是長江上防洪發電的國之重器，三峽大壩壩前正常蓄水位為海拔175米，而壩下通航最低水位為海拔62米，為了改善船舶的通航條件，常常會通過修建階梯船閘來實現（如圖1），船只只需要像爬樓梯一樣，以實現上升或者下降，假設每個閘室之間的水位差均可控制在15至25米之間，則要保證全年通航，那么三峽大壩船閘至少需要修建閘室的個數為（）.

A.4B. 5C. 6D. 7

評析本題創設一個利用等差數列知識解決實際問題的簡單生活實踐情境.通過將情境問題建立數列模型、解決問題，考查等差數列的定義、通項公式及其性質等基礎知識：等差數列{an}，首項為a1=62，末項為an=175，公差為d∈（15，25），先求項數n.由d=an-a1n-1=175-62n-1∈（15，25），得n=6，7，8，從而答案為B.試題將基礎知識載體融于實際生活情境，考查了基礎知識，同時考查了閱讀理解能力、數學建模能力，體現數學知識的應用性.充分凸顯高考“基礎性”試題“情境在命題中的運用”：“在命制試題時，要以問題情境為載體，加強對基本概念、原理、思想方法的考查，體現高考試題的‘基礎性’.這一類型的試題引導學生重視學科的基礎內容，確保學生基礎扎實.只有根深基穩，才能枝繁葉茂；只有打好基礎，學生才能在未來的學習工作中更好地成長和發展.”[3]

可見，對基礎知識的考查不一定是“裸考知識”，新高考更倡導基于情境的“知行合一”的考查，實際難度有所提升.復習備考，不僅要求教學關注基礎知識的梳理、扎實訓練，同樣需要重視創設運用知識解決問題的基本情境.

1.2基本技能

數學基本技能，主要是指能夠按照一定的程序與步驟進行熟練操作的數學行為與本領（如計算、化簡、變形、作圖、進行簡單的推導等）.

例2（2025屆廣州市高三階段訓練卷第3題）若sin（π12+α）=45，則cos（2α-5π6）=（）.

A.-1225B. -725C.725D.1225

評析高考強調“基礎扎實”，因此命題不回避“裸考”基礎知識，應當更突出對基本技能以及學科核心素養的融合考查.本題主要以考查二倍角公式、誘導公式、三角恒等變換等基礎知識，著力考查基于算理分析、解決問題的數學運算能力.如學生首先要觀察出已知、未知式子中角度的特點，從而合理運用“二倍角公式cos 2α=2cos2α-1=1-2sin2α”求解.如，可將“未知角”構造成“已知角”，2α-5π6=2（π12+α）-π，從而cos（2α-5π6）=cos［2（π12+α）-π］=-cos 2（π12+α）=2sin2（π12+α）-1=725，從而獲得答案C.這種靠觀察直接“構造”的題一般只適用于結構簡單的情形，對于復雜的結構，更需要在夯實基礎知識的過程中，形成更本質的基本技能.本題的基本技能本質上就是“換元法”，令t=π12+α，反解α=t-π12，代入cos［2（t-π12）-5π6］=cos（2t-π）=-cos 2t，最后計算求解（略）.此題考查的基本技能就是考查“換元法”的如上“操作流程”.基本技能的熟練性，可以通過強化訓練來實現，大前提是學生要先形成結構化的知識、再形成結構化的技能，才可以學以致用.

可見，對基本技能的有效考查，可以通過創設基于基礎知識的較復雜的問題情境，借助“結構特征”強化技能識別與應用.因此，教師“雙基”教學，不能只提供“雙基”練習，學生“機械刷題訓練”、老師“對對答案”，而要基于學情充分把握強化對基礎知識、基本技能結構化活動的設計與反思.

1.3基本思想

數學基本思想，是指對數學及其對象、數學概念和數學結構以及數學方法的本質性認識.

例3（2025屆廣州市高三階段訓練卷第6題）函數f（x）=cos（ωx+φ）（ω>0）的部分圖象如圖2所示，直線y=12與其交于A，B兩點，若|AB|=π3，則ω=（）.

A. 1 B. 2 C. 3D. 4

評析本題考查三角函數圖象及其性質、三角函數的圖象變換等基礎知識，考生可能面臨兩種情形.其一，與自己以前做的三角圖象題相比較感覺陌生，不明白題意而無從下手；其二，基于“零點”思路求解：設A（x1，12），B（x2，12），x2-x1=π3，考慮A，B兩點在該函數f（x）=cos（ωx+φ）（ω>0）同一周期內，于是由cos（ωx1+φ）=12=cos（ωx2+φ），不妨令ωx1+φ=π3，ωx2+φ=5π3，兩式相減得ω（x2-x1）=4π3，即ω×π3=4π3，所以ω=4，從而得答案D.實際上，如果從f（x）=cos（ωx+φ）（ω>0）圖象變換的本質上看：平移變換不改變圖象形狀及某兩點相對距離，而伸縮變換改變圖象形狀及某兩點相對距離（變化規律是伸縮變換前后的伸縮比例相同）.因此，本題基于抽象思想，可將問題等價于“將函數y=cosx圖象上的兩點A0（π3，12），B0（5π3，12）橫坐標變為原來的1ω，再將得到的圖象平移，得到函數f（x）=cos（ωx+φ）圖象上的兩點A（x1，12），B（x2，12），|AB|=π3”，所以|AB|=π3=（5π3-π3）×1ω，從而快速獲解.兩種解法均能求解，但反映的是思維水平和問題本質理解的差異，從而體現在解題速度差異上.造成這兩種差異的原因是教學時，教師對數形結合思想寬泛認識（要深刻理解具體數學對象的圖象性質）和對學生揭示問題本質的引導缺乏.

數學基本思想和數學方法既有區別又有密切的聯系.數學基本思想表現較宏觀，體現的是對數學對象的一種本質認識；數學方法表現較具體，并具有程序性、步驟性、路徑性和可操作性.數學基本思想，蘊含在數學知識形成、發展和應用的過程中，影響著數學知識內容發展的主線和邏輯架構，也是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括.它表現多樣，如歸納、演繹、抽象、分類、模型、結構、數形結合、隨機等.教師需要善于根據教學的實際，采取恰當的手段使學生對這些思想有所感悟.

1.4基本活動經驗

數學基本活動經驗，是指學生通過親身經歷數學活動過程所獲得的具有個性特征的經驗.

圖3例4（2025屆廣州市高三階段訓練卷第10題）如圖3，造型為“∞”的曲線C稱為雙紐線，其對稱中心在坐標原點O，且C上的點滿足到點F1（-1，0）和F2（1，0）的距離之積為定值a，則（）.

A.點（2，0）在曲線C上

B.曲線C的方程為（x2+y2）2=2x2-y2

C.曲線C在第一象限的點的縱坐標的最大值為12

D.若點（x0，y0）在C上，則y0>|x0|

評析本題是一個新定義的現場學習類型的題型.以卡西尼卵形線為背景，給出了其特殊情況“雙紐線”的定義，基于定義、數形結合、解析法等研究曲線的簡單幾何性質.主要考查學生閱讀理解能力以及邏輯推理、數學運算、直觀想象等數學核心素養.本題難度不算很大，要想解決問題，必須要有“解析幾何”研究經歷、基本活動經驗.研究思路：曲線定義→曲線方程→曲線簡單幾何性質（范圍、對稱性、頂點、離心率等）.還要具有方程變形技巧等.所以，首先求解曲線的方程，直接“翻譯”條件即可：設曲線上的點P（x，y），則|PF1|·|PF2|=a，即（x+1）2+y2·（x-1）2+y2=a，由圖可知曲線經過原點O（0，0），所以將原點坐標代入得a=1，于是（x+1）2+y2·（x-1）2+y2=1.兩邊平方變形得，［（x2+2x+1）+y2］·［（x2-2x+1）+y2］=1，至此基于經驗需要用平方差公式展開變形［（x2+y2+1）+2x］·［（x2+y2+1）-2x］=1，即（x2+y2+1）2-4x2=1，化簡得曲線C的方程：（x2+y2）2=2（x2-y2），所以x2>y2，即|x|>|y|，從而易知A選項正確、BD選項錯誤；至于C選項，需要有處理雙變量的經驗，根據需要本題將x視作變量，y視作參數，將方程整理成關于x的方程（x2）2+（2y2-2）x2+（2y2+y4）=0，所以Δ=（2y2-2）2-4（2y2+y4）≥0，化簡即得-12≤y≤12，即C正確.故答案為AC.

如果學生全程經歷了圓錐曲線的研究過程，學生應該能順利解答此題.數學基本活動經驗，有兩個關鍵詞體現了其核心要義：一是“活動”，二是“親身經歷”.數學基本活動經驗具有主體性、實踐（過程）性、多樣性、發展性特征；數學活動經驗的類型，有多種，如直接的活動經驗和間接的活動經驗，設計的活動經驗和思考的活動經驗等.數學活動經驗不僅僅是解題的經驗，更重要的是在多樣化的數學活動中去思考、去探索、去發現結論的經驗.它重在積累，在積累中所獲得的豐富而有價值的經驗往往是孕育素養、形成智慧、進行創新的重要基礎.因此，教師教學需要突出學生主體地位，讓學生有機會充分探究、經歷、體驗.

“四基”不是相互獨立和割裂的，而是一個密切聯系、相互交融的有機整體.

例5（2025屆廣州市高三階段訓練卷第11題）類比平面上的三角形是由三條線段首尾順次相接構成的封閉圖形，我們把球面上三條大圓的劣弧AB，BC，CA首尾順次相接構成的封閉圖形稱為球面三角形，如圖4所示，分別連接球心O與不在同一大圓上的三點A，B，C，定義球面△ABC的三個內角∠A，∠B，∠C分別為二面角B-OA-C，A-OB-C，B-OC-A的平面角.則下列說法正確的是（）.

A.若∠AOB=π3，球的半徑為2，則AB=2π3

B.存在球面△ABC，使得∠A+∠B+∠C=3π2

C.若∠AOB=π3，球的半徑為2，OC⊥OA，OC⊥OB，那么球面△ABC的面積為8π3

D.若∠B，∠C是銳角，且∠B>∠C，則AC>AB

評析本題通過創設“球面三角形及其內角”的“新定義”情境，主要考查了弧長公式、二面角及其求法、球的表面積公式、三角函數等基礎知識，考查了閱讀理解能力、邏輯推理能力、數學運算能力以及空間想象能力等.

對于A選項，直接利用弧長公式l=rα=2×π3=2π3，故A正確；

對于B選項，當OA，OB，OC兩兩垂直時，根據定義可得∠A+∠B+∠C=3π2，故B正確；

對于C選項，由條件知球面△ABC占半徑為2的球面的比例為12×π32π=112，所以球面△ABC的面積為112×4π×22=4π3，故C不正確；

對于D選項，如圖5，作AD⊥平面BOC于D，作AE⊥BO于E，AF⊥OC于F，連接DE，DF，則球面△ABC的∠B，∠C的平面角分別為∠AED，∠AFD.從而∠AED>∠AFD，所以sin∠AED>sin∠AFD，即ADAE>ADAF，所以AE<AF，從而AEAO<AFAO，即sin∠AOB<sin∠AOC，所以∠AOB<∠AOC即得AC>AB，故D正確.

可見，本題在情境中充分融合了“四基”的全面考查，學生解題最大的障礙點就是空間想象能力不強而難以作答.本題充分體現“高考數學的基礎性考查，絕不是對單一知識點的簡單回憶和重復再現，而是要考查對于基本知識、原理、方法、技能的深入理解和綜合運用，實現對其深度的全面檢測，引導老師和學生重視對其本質屬性和內在聯系的深刻理解與掌握”[1].因此，教師在教學設計和教學活動組織中，應同時兼顧這四個方面的目標，這些目標的整體實現，才是學生數學學科核心素養得以提升的保障.

2高考備考注重基礎性的基本策略和路徑啟示

實際上，高考評價體系中的關于“基礎性”的理念闡述以及“基礎性”試題的基本內涵，為我們明確了教學基本方向.

2.1重視教材的研究與挖掘

高考評價體系中的“四翼”突出基礎性，明確指出：“高考圍繞學科主干內容，加強對基本概念、基本思想方法的考查，杜絕偏題怪題和繁難試題，引導教學重視教材，夯實學生學習基礎，給學生提供深度學習和思考的空間.”[3]章建躍博士更是從具體操作策略和路徑上，反復表達了類似觀點：在高考備考階段，可以按照函數、幾何與代數、概率與統計對教材進行整合，引導學生在知識的變式表達、聯系與綜合上下功關，教材上一些典型題目要讓學生反復琢磨，并進行適當拓展；另外，還要適當安排數學建?；顒?、數學探究活動.教學如果再不重視教材、重視概念，不在夯實基礎知識上下功夫，不給學生留出充分的獨立思考、自主學習的時間和空間，而是用大量的刷題把所有時間占滿，那么結局必然是高考敗北.

2.1.1促進學生對核心概念的理解和知識體系的構建

復習過程，要引導學生再次回歸教材、回歸基礎，重視對概念、公式、定理的重新學習、推導，并以典型題型為抓手，促進學生對核心概念的深刻理解，發展思維.教師給學生充分的時間、空間，首先要讓學生多次通讀教材，力求準確理解概念，會推導教材中的定理、公式等，過關教材中的大部分題目.其次，教師要重視課標、教材的研究，基于課標、教材重組內容設計教學活動，對重要的例題重點教學、對教材深入挖掘，多變式教學，引導學生講、做，激發學生深入思考，在學生疑惑處教學.引導學生在回歸教材的過程中，深化觀察、思考、探究、總結等思維過程，促使學生對基礎知識、概念和基本原理的深刻理解，掌握學科知識的本質屬性和內在聯系，在此基礎上能夠做到應用、拓展和遷移綜合運用.教師要突出學科主干內容，研透、講透新教材中每節后面的練習題，課堂教學要提升課堂效果，著力培養學生的學科核心素養.

2.1.2處理好教材與教輔的關系

高三備考要重視教材，不能過度依賴教輔（特別劣質教輔）而忽視教材.首先應該挖掘與用好教材，其次根據對教材的理解、挖掘需求，對教輔資料進行質量甄別，對學習素材取舍、詳略補充使用等加工與處理，真正體現其“教”之“輔”的地位和功能.教輔資料和教材可結合起來使用.如，知識概念的教學要利用教材，練習和典型題型教學可利用教輔資料.

2.1.3強化“教材+高考”意識

“用好教材”，教師要成為回歸和研究教材的主體，強化“教材+高考”意識.結合高考真題、優秀的模擬試題，到教材上找出處.教師可以強化“四個關注”：關注高考和教材的聯系，如教材的典型例題、典型習題；關注對形成學科思想有幫助的相關內容，如小結、引言等；關注體現新課程理念和特點的內容；關注正文內容、輔助文內容，相關鏈接等，把教材“用好”.

2.2重視教法的研究與優化

教學方式、方法決定著教學效益的高低，高考備考要走出“低效益高消耗”狀態.目前我們比較突出的“低效益高消耗”的教學方式主要有：

（1）“滿堂灌”的教學方式.沒有給學生思考的時間，教師的講授和分析代替了學生思考；老師只顧自己教，自己講，完成任務，不顧學生學的如何；由于教師的授課方式單一，滿堂灌、學生參與的深度和廣度不足，導致相當一部分學生處于淺表性學習和假學習狀態之中.

（2）盲目刷題，“做題+講題”模式.缺乏針對性刷題，忽視了對高考命題的深入研究，未有針對性刷題；缺乏適當的總結和反思，忽略了錯題的分析和針對性的補救；盲目追求做題量而忽略了基礎的鞏固和概念的理解，導致學生遇到變化時無法靈活應對；認為刷題是提高成績的唯一路徑，同時長時間刷題的復習方式導致學生心理壓力過大；大量盲目刷題忽視了對學生的創新思維的培養.

立足“四基”的教學，不是簡單進行做題、講題，更不是反復刷、講簡單題，需要突出學生主體地位、激活其主觀能動性，積極進行啟發式、探究式、互動式教學，重視思維的教學，重視情境的創設，重視積累學習的基本經驗.

總之，高考命題注重基礎性考查.基礎性考查，不是裸考知識，不是考簡單、容易的內容，基礎性的考查同樣體現“新、活、廣、深”的命題特點，同樣注重思維的考查.我們備考，深化基礎性，特別需要關注情境創設、問題解決、知行合一的命題考查理念，要重視基于“四基”的內涵，基于教材的挖掘、教法的優化等來實現，尤其注意學生基本活動經驗的積累.

參考文獻

[1]趙軒，翟嘉祺，郭淑媛.強調靈活考查思維聚焦創新人才選拔：2024年高考數學新課標卷評析[J].數學通報，2024，63（06）：44-47.

[2]教育部考試中心．中國高考評價體系[M]．北京：人民教育出版社，2019．

[3]教育部考試中心．中國高考評價體系說明[M]．北京：人民教育出版社，2019．

作者簡介

伍勛（1974—），男，湖北黃石人，廣州開發區外國語學校校長，中學高級教師；廣州市第十六屆中學數學教學研究會理事，黃埔區中學數學兼職教研員；獲高中數學優質課競賽市一等獎多次，主持省、市級課題多項；主要從事中學數學教育教學研究及管理工作.

吳光潮（1979—），湖北安陸人，中學高級教師，廣州市第十六屆中學數學教學研究會常務理事，華南師范大學教育學部兼職研究員，廣州大學碩士研究生校外兼職導師；獲高中數學優質課競賽國家二等獎1次，省部級一等獎2次、三等獎1次，市級一等獎多次，主持省、市級重點規劃課題多項；主要從事中學數學教育教學研究；發表論文30余篇（人大復印資料轉載多篇）.

基金項目

廣東省教育科學規劃領導小組辦公室2025年度中小學教師教育科研能力提升計劃項目（重點課題）“指向深度學習的中學數學單元整體教學研究”（2025ZQJK056）.