一道調(diào)考填空題的探究與啟示

【摘要】從一道調(diào)考題出發(fā)，對(duì)知識(shí)背景進(jìn)行溯源，幫助學(xué)生找到解題的切入點(diǎn).在探究問(wèn)題的過(guò)程中，感悟到高考備考需要站位有高度、內(nèi)容有廣度、過(guò)程有梯度、培養(yǎng)有深度的一些觀念，希望對(duì)廣大一線教師有所幫助.

【關(guān)鍵詞】高考數(shù)學(xué)；馬爾科夫鏈；復(fù)習(xí)備考

1問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與提出

武漢2024年2月調(diào)考高中數(shù)學(xué)填空的壓軸題如下：

“布朗運(yùn)動(dòng)”是指微小顆粒永不停息的無(wú)規(guī)則隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，在如圖1所示的試驗(yàn)容器中，容器由三個(gè)倉(cāng)組成，某粒子作布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)每次會(huì)從所在倉(cāng)的通道口中隨機(jī)選擇一個(gè)到達(dá)相鄰倉(cāng)或者容器外，一旦粒子到達(dá)容器外就會(huì)被外部捕獲裝置所捕獲，此時(shí)試驗(yàn)結(jié)束.已知該粒子初始位置在1號(hào)倉(cāng)，則試驗(yàn)結(jié)束時(shí)該粒子是從1號(hào)倉(cāng)到達(dá)容器外的概率為 .

作為填空壓軸題，難度不言而喻.學(xué)生們反映對(duì)此題完全“摸不著頭腦”，即不知道這道題要考查的意圖？破題的切入點(diǎn)在哪里？筆者通過(guò)研究高考題、調(diào)研題，以及對(duì)教材的挖掘，發(fā)現(xiàn)此題和最近幾年的高考題均與馬爾科夫鏈密切相關(guān)，故做了以下一些整理，希望對(duì)廣大一線教師的復(fù)習(xí)與備考有一些啟發(fā).

2問(wèn)題的關(guān)聯(lián)與溯源

2.1馬爾科夫鏈的介紹

在計(jì)算機(jī)學(xué)習(xí)算法中，馬爾科夫鏈?zhǔn)莻€(gè)很重要的數(shù)學(xué)模型.因俄國(guó)數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾科夫得名，為狀態(tài)空間中經(jīng)過(guò)從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機(jī)過(guò)程，且下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，在時(shí)間序列中它前面的事件均與之無(wú)關(guān).用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)：隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn為一個(gè)數(shù)列，這些變量的取值構(gòu)成的集合，被稱為“狀態(tài)空間”，其中Xn的值表示在時(shí)間n的狀態(tài)，Xn+1對(duì)于過(guò)去狀態(tài)的條件概率分布僅是Xn的一個(gè)函數(shù)，即

P（Xn+1）=P（Xn+1|X1，X2，X3，…Xn）=P（Xn+1|Xn）.

這種特定類型的“無(wú)記憶性”稱作馬爾科夫性質(zhì).

2.1.1賭徒輸光問(wèn)題

高中生要理解馬爾科夫鏈，可以從著名的數(shù)學(xué)問(wèn)題——賭徒輸光來(lái)展開(kāi).恰巧2023年杭州二模21題就是以賭徒輸光問(wèn)題為背景，我們不妨先來(lái)看看此題：

馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語(yǔ)言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測(cè)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，Xt-2，Xt-1，Xt，Xt+1，…，那么Xt+1時(shí)刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)Xt，即P（Xt+1）=P（Xt+1|…，Xt-2，Xt-1，Xt）=P（Xt+1|Xt）.

現(xiàn)實(shí)生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型.假如一名賭徒進(jìn)入賭場(chǎng)參與一個(gè)賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?0%，且賭輸就要輸?shù)?元.賭徒會(huì)一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會(huì)結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達(dá)到預(yù)期的B元，賭徒停止賭博.記賭徒的本金為A（A∈N*，A<B），賭博過(guò)程如數(shù)軸（圖2）所示.

當(dāng)賭徒手中有n元（0≤n≤B，n∈N）時(shí)，最終輸光的概率為P（n），請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

（1）請(qǐng)直接寫出P（0）與P（B）的數(shù)值.

（2）證明{P（n）}是一個(gè)等差數(shù)列，并寫出公差d.

（3）當(dāng)A=100時(shí)，分別計(jì)算B=200，B=1000時(shí)，P（A）的數(shù)值，并結(jié)合實(shí)際，解釋當(dāng)B→∞時(shí)，P（A）的統(tǒng)計(jì)含義.

解析（1）我們先來(lái)考慮兩個(gè)極端情況：當(dāng)賭徒開(kāi)始的本金為0元時(shí)，即一開(kāi)始就輸光了，所以他輸光的概率P（0）=1；當(dāng)賭徒開(kāi)始的本金為B元時(shí)，即一開(kāi)始就已經(jīng)贏到目標(biāo)錢數(shù)的狀態(tài)，賭博結(jié)束，所以他輸光的概率P（B）=0.

（2）記M：賭徒有n元最后輸光的事件，N：賭徒有n元下一場(chǎng)贏的事件，則

P（M）=P（N）P（M|N）+P（N-）P（M|N-），

即P（n）=12P（n+1）+12P（n-1），所以P（n）-P（n-1）=P（n+1）-P（n），所以{P（n）}是一個(gè)等差數(shù)列.

設(shè)P（n）-P（n-1）=d，則P（n-1）-P（n-2）=d，…，P（1）-P（0）=d，累加得P（n）-P（0）=nd，故P（B）-P（0）=Bd，得d=-1B.

（3）由P（n）-P（0）=nd，得P（A）-P（0）=Ad，即P（A）=1-AB.

當(dāng)B=200，P（A）=50%；當(dāng)B=1000，P（A）=90%；當(dāng)B→∞，P（A）→1，因此可知久賭無(wú)贏家，即便是一個(gè)這樣看似公平的游戲，只要賭徒一直玩下去就會(huì)有100%的概率輸光.

近幾年一部熱門電影《孤注一擲》中，張藝興飾演的程序員就用馬爾科夫鏈數(shù)學(xué)模型推演過(guò)賭徒必然輸光的問(wèn)題，加上詐騙分子利用賭徒的翻本心理，誘導(dǎo)賭徒借高利貸繼續(xù)賭，結(jié)果只能是馬爾科夫鏈的疊加，借的越多輸?shù)迷綉K.

2.1.2一維隨機(jī)游走模型

賭徒問(wèn)題又可以抽象為這樣的一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：

（1）簡(jiǎn)化為點(diǎn)在數(shù)軸上移動(dòng)；

（2）每次移動(dòng)都有一定的概率；

（3）下一時(shí)刻的位置狀態(tài)只與上一次的位置狀態(tài)有關(guān)系，可寫出概率遞推公式；

（4）它最后會(huì)停下來(lái)，達(dá)到一個(gè)給定的最終狀態(tài).

這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題其實(shí)就是一維的隨機(jī)游走模型，而且兩側(cè)有吸收壁.什么是一維隨機(jī)游走模型呢？該模型是指在一維空間中，即一條直線上，有一個(gè)可以任意移動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)位置只能位于整點(diǎn)處，它能以一定的概率向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，每個(gè)單位時(shí)間移動(dòng)一次.一維隨機(jī)游走模型可分為以下三類：

（1）無(wú)吸收壁的一維隨機(jī)游走.

無(wú)吸收壁的一維隨機(jī)游走就是上述一維隨機(jī)游走的原始定義，沒(méi)有邊界，永遠(yuǎn)移動(dòng)，我們會(huì)重點(diǎn)研究質(zhì)點(diǎn)處在某一位置的概率.假設(shè)時(shí)刻t=0時(shí)，點(diǎn)位于x=i（i∈N*）處，下一個(gè)時(shí)刻，它將以概率α向左移動(dòng)一個(gè)單位，或以概率β向右移動(dòng)一個(gè)單位，其中α∈（0，1），α+β=1.若記狀態(tài)Xt=i表示：在時(shí)刻t該點(diǎn)位于位置x=i（i∈N*），那么由全概率公式可得：

P（Xt+1=i）=P（Xt=i+1）·P（Xt+1=i|Xt=i+1）+P（Xt=i-1）·P（Xt+1=i|Xt=i-1），其中，P（Xt+1=i|Xt=i+1）=α，P（Xt+1=i|Xt=i-1）=β，代入上式可得：P（Xt+1=i）=α·P（Xt=i+1）+β·P（Xt=i-1），若再用Pi表示點(diǎn)在i處的概率，則有

Pi=α·Pi+1+β·Pi-1.①

一維隨機(jī)游走模型是馬爾科夫鏈的一個(gè)特例，無(wú)吸收壁的一維隨機(jī)游走可得概率遞推公式①，重點(diǎn)關(guān)注的是質(zhì)點(diǎn)在某一位置的概率.

（2）雙側(cè)吸收壁的一維隨機(jī)游走.

一維隨機(jī)游走的基礎(chǔ)上，如果在位置x=0和x=m處均添加吸收壁，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到吸收壁位置時(shí)會(huì)被吸收停止運(yùn)動(dòng)，就是上文介紹的賭徒必輸問(wèn)題（m的值對(duì)應(yīng)目標(biāo)金額B的值）.有了吸收壁，一維空間變得不夠自由，原來(lái)的無(wú)吸收壁的遞推公式也不成立了.我們此時(shí)研究質(zhì)點(diǎn)位置概率的意義并不大，轉(zhuǎn)而會(huì)對(duì)點(diǎn)從x=i處不停隨機(jī)運(yùn)動(dòng)最后被吸收壁吸收的概率感興趣.

假設(shè)初始位置x=i，0<i≤m（i，m∈N），記質(zhì)點(diǎn)從x=i到吸收壁x=m的概率為Pi，質(zhì)點(diǎn)將以概率α或β（α∈（0，1），α+β=1）向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位.由全概率公式

P（從i到m）=P（向左一步）·P（從i到m|向左一步）+P（向右一步）·P（從i到m|向右一步）代入數(shù)據(jù)，得遞推關(guān)系

Pi=α·Pi-1+β·Pi+1.②

以上遞推關(guān)系是質(zhì)點(diǎn)每次游走只有向左或向右兩種可能的情況，如果質(zhì)點(diǎn)在每一次游走的可能有如下三種情況：向左平移一個(gè)單位的概率為α，向右平移一個(gè)單位的概率為β，原地不動(dòng)的概率為γ，同理可得這樣一個(gè)遞推關(guān)系

Pi=α·Pi-1+γ·Pi+β·Pi+1.③

（3）單側(cè)吸收壁的一維隨機(jī)游走.

在一維隨機(jī)游走的基礎(chǔ)上，從位置x=0處、x=m處僅選擇一處添加吸收壁，就是數(shù)學(xué)中另一個(gè)有趣的酒鬼失足問(wèn)題：一個(gè)醉鬼行走在一頭是懸崖（設(shè)懸崖處于x=0的位置）的道路上，他的初始位置為x=i，向左或向右走一步的概率都是0.5（畢竟喝醉了，隨機(jī)行動(dòng)），問(wèn)他失足掉入懸崖的概率是多少？現(xiàn)實(shí)中，醉漢不一定走直線，他的移動(dòng)可以抽象為在二維空間（用xOy平面直角坐標(biāo)系研究）上隨機(jī)游走，那么酒鬼失足問(wèn)題就是一個(gè)簡(jiǎn)單的二維隨機(jī)游走問(wèn)題了.醉漢問(wèn)題最早于1905年7月由Karl Pearson在《自然》雜志上提出：假如有個(gè)醉漢醉得十分嚴(yán)重，完全喪失方向感，把他放在荒郊野外，一段時(shí)間后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？大家感興趣的話可以查閱相關(guān)資料研究.

2.2教材中的馬爾科夫鏈

高中數(shù)學(xué)教材2020年人教A版選擇性必修第三冊(cè)91頁(yè)第10題：甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，求n次傳球后球在甲手中的概率［1］ .

分析n次傳球后球在甲的手中，只跟上一次球在不在甲的手中有關(guān)，與前面n-2次球在誰(shuí)的手中無(wú)關(guān)，屬于馬爾科夫鏈問(wèn)題.

解析記An表示事件“經(jīng)過(guò)n次傳球后，球在甲的手中”，設(shè)n次傳球后球在甲手中的概率為pn（n=1，2，3，…，n），則有p1=0，An=An-1·An+An-1·An，所以pn+1=P（An·An+1+An·An+1）=P（An·An+1）+P（An·An+1）

=P（An）·P（An+1|An）+P（An）·P（An+1|An）=（1-pn）·12+pn·0=12（1-pn），

即pn+1=-12pn+12，n=1，2，3，…，所以pn+1-13=-12（pn-13），且p1-13=-13

所以數(shù)列pn-13表示以-13為首項(xiàng)，-12為公比的等比數(shù)列，

所以pn-13=-13×（-12）n-1，所以pn=-13×（-12）n-1+13=13［1-（-1）n·12n-1］，

即n次傳球后球在甲手中的概率是13［1-（-1）n·12n-1］.

另外，2007年8月第一版的人教A版教材選修4-9“風(fēng)險(xiǎn)與決策”中的第四講是馬爾科夫型決策簡(jiǎn)介，大家也可以進(jìn)行查閱與學(xué)習(xí).

2.3高考真題、調(diào)考題中的馬爾科夫鏈

2019年全國(guó)Ⅰ卷21題的藥物試驗(yàn)問(wèn)題、2020年全國(guó)Ⅰ卷19題羽毛球比賽問(wèn)題、2023年新高考Ⅰ卷21題的投籃問(wèn)題、2023年杭州二模21題的賭徒輸光問(wèn)題、2023年茂名二模的摸球問(wèn)題等都是馬爾科夫鏈.為何這一類題越來(lái)越多的出現(xiàn)了呢？因?yàn)樾陆滩囊肓巳怕使剑痪S馬爾科夫鏈模型可以簡(jiǎn)單的概括為“全概率公式+數(shù)列遞推”問(wèn)題，并且它是人工智能學(xué)習(xí)的一種非常重要的算法，所以不難理解這一類問(wèn)題會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)在高考真題與熱門調(diào)考題中了.

3問(wèn)題的探究與解析

3.1探究

經(jīng)過(guò)對(duì)問(wèn)題的關(guān)聯(lián)與溯源，我們發(fā)現(xiàn)只要一個(gè)隨機(jī)過(guò)程具有下一狀態(tài)的概率分布只能由上一狀態(tài)決定的“無(wú)記憶”的性質(zhì)，它就可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)馬爾科夫鏈問(wèn)題，我們就可以利用全概率公式找到狀態(tài)之間的遞推關(guān)系，結(jié)合數(shù)列知識(shí)，進(jìn)一步可以得到隨機(jī)過(guò)程中有關(guān)概率的通項(xiàng)公式，從而解決問(wèn)題.

3.2解析

視角1粒子下一次的位置在幾號(hào)倉(cāng)只與上一次小顆粒的位置在幾號(hào)倉(cāng)有關(guān)，屬于馬爾科夫鏈問(wèn)題，故可先考慮粒子運(yùn)動(dòng)到1號(hào)倉(cāng)的可能性，再考慮它從1號(hào)倉(cāng)出去的可能性.

解析1設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)n次后在第1號(hào)倉(cāng)、第2號(hào)倉(cāng)、第3號(hào)倉(cāng)的概率分別為an，bn，cn，n∈N，則有an=13bn-1，bn=13an-1+12cn-1cn=13bn-1，，可推出an+1=518an-1，n≥3.

又a0=1，a1=0，a2=19，得∑+∞i=0ai=1+0+19+0+19×518+…=1+191-518=1513，

所以從1號(hào)倉(cāng)到達(dá)容器外的概率為23×1513=1013.

視角2粒子從幾號(hào)倉(cāng)出去被捕獲，相當(dāng)于有吸收壁的問(wèn)題，故可關(guān)注粒子出發(fā)的位置到最后被特定出口捕獲的概率.

解析2設(shè)粒子從i號(hào)倉(cāng)出發(fā)最終從1號(hào)口出去的概率為Pi，則有P1=23+13P2，

P2=13P1+0+13P3P3=12P2，，解得P1=1013.

視角3從粒子總量的角度出發(fā)，比較直觀.（學(xué)生的一種解答）

解析3假設(shè)1號(hào)倉(cāng)中開(kāi)始有總量為1的粒子群進(jìn)入，并設(shè)從1號(hào)倉(cāng)三個(gè)通道口出去的粒子數(shù)均為x，從2號(hào)倉(cāng)三個(gè)通道口出去的粒子數(shù)均為y，從3號(hào)倉(cāng)三個(gè)通道口出去的粒子數(shù)均為z，當(dāng)試驗(yàn)結(jié)束時(shí)，有1-3x+y=0，x+z-3y=0，y-2z=0，解得x=513，y=213，z=113.

所以從1號(hào)倉(cāng)出去的粒子為513×2=1013.

4由問(wèn)題探究到備考的啟示

4.1備考站位要有高度

黨的二十大報(bào)告中強(qiáng)調(diào)，要“全面提高人才自主培養(yǎng)質(zhì)量，著力造就拔尖創(chuàng)新人才”.拔尖創(chuàng)新人才是新知識(shí)的創(chuàng)造者、新領(lǐng)域的開(kāi)拓者、新技術(shù)的發(fā)明者，這就不難理解為什么現(xiàn)在的高考真題、調(diào)考題經(jīng)常出現(xiàn)一些“出乎意料”又在“情理之中”的創(chuàng)新題.新定義、高等數(shù)學(xué)背景等包裝的創(chuàng)新題，只是外表多了一個(gè)千奇百怪的容器，容器內(nèi)裝的東西才是值得探索的內(nèi)核.這個(gè)內(nèi)核是什么呢？是“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”，確切地說(shuō)是可以適應(yīng)高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心素養(yǎng).教師要明確無(wú)論是高中課本知識(shí)還是拓展的知識(shí)，只是命題的載體，高考考查的核心是運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，其背后體現(xiàn)出的是學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的高低.

4.2內(nèi)容選擇要有廣度

2019年全國(guó)Ⅰ卷21題的藥物試驗(yàn)題、2022年新高考Ⅰ卷20題的疾病與衛(wèi)生習(xí)慣問(wèn)題、2022年北京鉛球比賽、2020年全國(guó)Ⅰ卷19題羽毛球比賽問(wèn)題，以及本文研究的問(wèn)題都是物理“布朗運(yùn)動(dòng)”與數(shù)學(xué)概率的交叉問(wèn)題.種種跡象表明國(guó)家選拔的人才是學(xué)科交叉型人才、復(fù)合型人才，所以高考試題注重考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.本文從馬爾科夫鏈的概念介紹到聞名有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題探究，再到抽象本質(zhì)的數(shù)學(xué)研究，利于學(xué)生多角度的體驗(yàn)、思考同一類問(wèn)題，總結(jié)出解題的規(guī)律，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.教師可以通過(guò)文獻(xiàn)閱讀、研究調(diào)考題等方式大量輸入，那么在教學(xué)資源選擇的時(shí)候，就可以從容地找到與生活實(shí)際相關(guān)、與其他學(xué)科融合的情境，并對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行廣泛聯(lián)系與拓展，幫助學(xué)生全方位、多角度地學(xué)習(xí)與理解.最終達(dá)到學(xué)生在考試中不怕“生題”，敢于嘗試的教學(xué)效果.

4.3教學(xué)過(guò)程要有梯度

能力的培養(yǎng)從來(lái)不是一蹴而就的.拿游泳為例，無(wú)論是學(xué)習(xí)哪種泳姿（蛙泳或自由泳），教學(xué)第一步都是讓學(xué)員學(xué)會(huì)在水中放松身體，擁有漂浮在水面上的能力；第二步是分解練習(xí)，教學(xué)員分別訓(xùn)練手部動(dòng)作、腳步動(dòng)作、換氣動(dòng)作等；下一步讓學(xué)員練習(xí)腿部加換氣的配合；最后一步才是加上手部動(dòng)作的完整配合練習(xí).本文對(duì)問(wèn)題的探究注重難點(diǎn)分解，從易于理解的馬爾科夫鏈概念引入，到有趣的“賭徒問(wèn)題”探究，再抽象為一維隨機(jī)游走模型的研究（有無(wú)吸收壁問(wèn)題的討論），以及推廣到二維隨機(jī)游走的模型，由具體到抽象，理解上由易到難，從而使得問(wèn)題的解析水到渠成.一道難題的教學(xué)需要如此，一類難題的教學(xué)更應(yīng)如此.對(duì)于學(xué)生理解、掌握有困難的一些知識(shí)，或者思維量大、綜合性強(qiáng)的一類題目，教師應(yīng)該深入探索，在高中三年的教學(xué)過(guò)程中分散難點(diǎn)，有計(jì)劃、分階段滲透教學(xué)，循序漸進(jìn)，才能達(dá)到培養(yǎng)思維的目的，取得良好的教學(xué)效果.

4.4思維培養(yǎng)要有深度

本文的填空題，學(xué)生為什么感覺(jué)“難入手”，原因在于平常沒(méi)有將這一類題研究“透”.如果教師以課本傳球習(xí)題為源，按照上文的梯度順序，引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些問(wèn)題都是具有下一狀態(tài)的概率只由上一狀態(tài)決定的隨機(jī)過(guò)程，抽象成一維隨機(jī)游走的模型，提煉出“無(wú)記憶”的馬爾科夫性質(zhì)，相信深入的探究與挖掘后，數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)落地的同時(shí)，學(xué)生們對(duì)此道調(diào)考題自然而然能從視角1或視角2展開(kāi)思考.

筆者因此受到啟發(fā)：平常教學(xué)中要以知識(shí)為元，思考為軸突，建立舊知與新知的聯(lián)系，像神經(jīng)元傳輸信息一樣建立起知識(shí)網(wǎng)絡(luò)；總結(jié)通性通法，探尋基本解題規(guī)律，幫助學(xué)生掌握解題的一般套路，形成一定的解題邏輯.學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，形成的解題套路、思考方向就是數(shù)學(xué)思維得到培養(yǎng)的體現(xiàn).目前命題的方向是反機(jī)械刷題，反套路，其實(shí)就是命題者通過(guò)一些知識(shí)背景使解題的規(guī)律隱性化.而考生作為解題者，與命題者的思考恰好是一個(gè)相反的過(guò)程，所以我們要在平常的教學(xué)過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生將隱性的解題規(guī)律顯性化的能力，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，化陌生為熟悉的效果.

參考文獻(xiàn)

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.普通高中教科書·數(shù)學(xué)·選擇性必修A版：第三冊(cè)[M].北京：人民教育出版社，2020.

作者簡(jiǎn)介

楊宇（1990—），男，江西東鄉(xiāng)人，碩士，中教一級(jí)；曾榮獲市級(jí)優(yōu)秀援藏教師、區(qū)先進(jìn)班集體、區(qū)百優(yōu)班主任、區(qū)優(yōu)秀青年教師等稱號(hào)；曾取得“一師一優(yōu)課，一課一名師”省級(jí)優(yōu)課、全國(guó)中小學(xué)信息技術(shù)創(chuàng)新與實(shí)踐活動(dòng)教學(xué)優(yōu)質(zhì)成果獎(jiǎng)；主要研究高中教學(xué)與考試方向；發(fā)表論文5篇.