模型意識的內涵、維度與教學策略

如何在教學中發展學生的模型意識

在數學的發展歷程中，抽象、推理和模型構成了其三大基本思想。其中，模型思想的構建是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。《義務教育數學課程標準（2022年版）》將“模型思想”細分為小學階段的“模型意識”和初中階段的“模型觀念”。因此，指向模型意識的教學，將成為小學數學教師落實課程標準的重要途徑。章勤瓊教授與他的團隊長期致力于素養導向的單元整體教學理論與實踐的研究。本期特刊發他們的部分研究成果，探討如何在教學中發展學生的模型意識，為廣大教師落實課程標準要求，提升學生核心素養提供有價值的教學參考。

【摘 要】數學模型是數學應用的基本方式，模型意識的培養有助于學生體會和理解數學與現實世界的聯系，增強數學的應用意識，為現實生活中的問題提供有效的解決方案。根據小學生的認知特點和思維水平，模型意識可以劃分為感悟模型、使用數學模型表示現實情境、依托數學建模解決現實問題三個維度。教學中，教師需要深度挖掘教材，明確模型教學內容；凸顯學生體驗，深化模型意識培養；優化評價方式，關注學生建模過程。

【關鍵詞】數學素養；模型意識；數學模型；建模過程

模型意識是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）中數學核心素養的主要表現之一。模型意識的培養，有助于學生初步感知與領悟數學模型的普適性，獲得多層次的數學思想，提升數學表達和社會溝通能力［1］。同時，模型意識能增強學生的數學應用意識，有助于他們更好地體會和理解數學與現實世界的聯系。深入探究模型意識的內涵與維度，對教師精準把握其本質，科學制定培養策略具有重要意義。

一、模型意識的內涵解讀

數學模型作為概念框架系統，旨在通過形式化的數學符號和語言，構建、解釋和描述選定情境。在數學建模過程中，學生能夠識別復雜現象的內在數學結構，運用數學方式與現實世界交流。在小學數學中，用字母、數字及其他數學符號建立起來的代數式、關系式、方程、函數、不等式以及各種圖表、圖形，都屬于數學模型。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》首次將“發展學生的模型思想”列為數學課程的十大核心概念之一。模型思想指“針對問題構建相應的數學模型，再通過對數學模型的研究來解決實際問題的一種數學思想”［2］。模型思想的建立是“學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑”。它要求學生通過簡化、抽象和創建模型，運用數學概念、原理和工具，將現實問題轉化為數學問題，并借助數學模型提供解決問題的方案。2022年版課標將“模型思想”細分為小學階段的“模型意識”和初中階段的“模型觀念”。小學階段的“模型意識”聚焦于“對數學模型普適性的初步感悟”。在數學教育中，“意識”一詞通常涉及對數學概念、原理及方法的理解，對數學問題的敏感性和洞察力，以及運用數學模型解決一類問題的準備狀態。模型意識指個體能夠有意識地運用數學的概念、原理和思維方法，用數學語言對實際問題進行概括性表達，并以數學建模為基本途徑理解、描述以及解決現實世界中的一類問題。［3-4］其內涵包括以下三個方面：第一，模型的感性認識，即認識到數學模型是對現實情境簡化的本質的描述，具備解決一類問題的能力；第二，模型的識別與應用，即在特定情境下，能夠迅速識別數學模型的應用場景，并主動采用數學的方式進行描述、解釋和解決問題；第三，模型的創建，即將模型意識作為認知工具，經歷建模的過程，應用數學對現實世界的現象進行表達、分析、預測及深入探究。

模型思想與模型意識緊密相連，通過比較兩版課標的要求，二者均強調增強數學的應用意識。然而，從本質而言，模型思想側重于運用數學的概念、原理和思維方法講述現實世界中的故事，體現模型素養的整體要求。而模型意識則強調數學思考，更加突出小學生的認知特點和思維水平，是小學階段模型思想滲透的階段性、整體性表述，激勵學生主動運用模型思想來解決現實問題。

二、模型意識的維度分析

模型意識作為小學階段重要的核心素養，主要表現為“知道數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑；能夠認識到現實生活中大量的問題都與數學有關，有意識地用數學的概念與方法予以解釋”。結合模型意識內涵，依據“感悟模型—創建模型—應用模型”這一認知路徑，模型意識可劃分為三個維度：“感悟模型”“使用數學模型表示現實情境”以及“依托數學建模解決現實問題”。各維度釋義及特征描述如表1所示。

以北師大第五版教材一年級上冊“5以內數加與減”單元為例，該單元遵循“問題情境—建立模型—解釋與應用”的敘述方式，結合“一共有多少？”“還剩下多少？”等現實情境引入加減法概念，引導學生初步建立加法和減法模型，并基于這些模型探索多樣化的計算策略，解決實際問題。模型意識在該單元的具體表現如表2所示。

三、模型意識的教學策略

（一）深度挖掘教材，明確模型教學內容

教材是模型意識培養的重要載體，因此對教學內容的深入理解和把握對于教師制定全面、系統的培養策略至關重要。北師大第五版教材中，數學模型相關內容在各個年級均有所體現，且分布均衡，體現了模型意識培養的整體性、階段性和一致性。通過對各分冊教材中數學模型內容的統計與分析（主要內容如表3），可以明確地認識到數學模型教學內容在不同年級和領域的側重點。

總體而言，“數與代數”領域是形成模型意識的重要載體，其中以加法模型和乘法模型尤為顯著，學生需在具體情境中運用數量關系解決問題，感悟加法模型和乘法模型的意義。此外，該領域還包括方程模型和函數模型，學生從具體情境中抽象出數學符號、經歷用字母表示數、構建代數式及列方程等抽象過程，體會數學的抽象性。在“圖形與幾何”領域，學生通過對圖形的認識與測量、圖形的位置與運動的學習，借助數形結合的思想初步構建數學模型，進而形成空間觀念和幾何直觀。在“統計與概率”領域，學生則需通過多樣化的實例和數形結合，嘗試理解數據的統計意義，如從現實問題出發，嘗試“以一個數代表一組數”的表征方式，深入理解統計量的“代表”意義，并在這一過程中真正理解平均數是一個良好的代表量，從而在實踐中體會用數學概念解決實際問題的路徑。“綜合與實踐”領域則通過主題學習和項目式學習，拓寬學生對數學應用過程的認識。

教師應整體解讀教材，深刻理解數學模型教學內容，把握模型意識培養目標的整體性與進階性，明確教材中的數學概念、原理和方法，并自覺將模型意識的培養融入日常教學之中。同時，教師還需識別模型教學的要素，識別教材中與模型意識培養緊密相關的內容，依據不同的模型思想，設計建模任務或項目，引導學生在解決問題的過程中，運用數學知識構想、創建和使用數學模型。

（二）凸顯學生體驗，深化模型意識培養

1.關聯現實世界，創設真實生活情境

精心創設“體驗性真實”的生活情境，讓學生經歷解決實際問題的過程來發展模型意識。然而，在將現實情境數學化時，所需的數量關系和操作步驟往往超出了傳統數學教學的范疇。與傳統的問題解決相比，數學建模問題要求學生深入理解情境，自主構建和發展其獨特的數學思想或概念體系，進而形成可推廣、可重用的關系系統。這一過程往往伴隨著復雜程序或概念工具的生成。因此，在教學中，教師應明確數學問題，利用有意義的情境來激發學生的建模意識，促使他們進行超越情境現實和日常經驗的數學思考。通過創建情境的“現實模型”，學生能夠從中抽象出數學問題，并以對他們個人而言有意義的方式進行數學化。

在教學“5以內數加與減”時，從第一個情境“一共有多少？”入手，通過“數鉛筆”（如圖1）和“數熊貓”（如圖2）兩個生動的場景，呈現動態的合并過程。這些場景作為學生學習加法的起點，是加法“移入”概念的原型。在教學過程中，教師應從多個角度提供加法背景，引導學生經歷、體驗“合起來”的實物演示過程，探究計算“一共幾支鉛筆？”或“一共幾只熊貓？”的方法，從而全面理解“合并”的含義。

2.經歷數學化過程，關注抽象和應用

數學模型的教學本質在于“‘數學化’，即通過建立數學與現實世界的雙向聯系，形成初步的模型意識”［5］。數學建模的理想化過程被描述為一個通過使用數學來解決實際問題的循環過程。為構建符合情境的現實模型，需深入理解現實背景，簡化復雜問題，這一過程涉及多重假設的設立，識別關鍵要素的影響，創建有意義的表征。首先，為了創建數學模型，在現實模型中構建數學關系結構，經歷分析、抽象和概括的過程，將其轉化為數學模型，并獲取相應的數學結果。接著，需對所得數學結果及整個建模過程進行解釋和驗證，評估模型的擬合性和適用性，獲得科學的數學模型。最后，將數學模型返回現實情境，應用其創建的數學模型解決同類現實問題（如圖3）。

整個過程學生必須經歷兩次數學化。第一次為抽象，即從現實情境中識別和分析變量，借助抽象和概括等方式將問題映射到熟悉的數量關系和數學運算，進而創建數學模型；第二次為應用，即通過遷移和拓展，將創建的數學模型推廣到解決一類問題的實踐中。

在“一共有多少？”的學習中，學生能夠借助直觀操作（如畫圖、計數）得到鉛筆和熊貓的總數，但在數學表達上卻顯得力不從心。教學中，教師可引導學生將算式中的每一部分與情境圖相對應，解釋其表達的意義，在“數鉛筆”的過程中引出加法問題并予以解答，深刻理解加法的本質意義，明確加法計算的使用情境，進而建立起加法模型。教材還呈現了試一試“停車”問題（如圖4），進一步拉近了加法與現實生活的距離，深化了學生對加法模型的理解，促使他們逐步學會運用加法模型解決現實生活中的問題。

3.拓展模型應用，感悟模型價值

遷移、拓展和重復運用創建的數學模型，乃是數學建模學習方法的核心活動，在此過程中，讓學生感受數學模型的現實價值。［6］為在數學教學中培養學生的模型意識，教師應設計一系列與創建和應用模型相關的非常規問題情境。在這些情境中，學生將不斷探索、驗證和改進數學關系結構，最終形成能夠應用于多種情境的數學模型，從而提升他們運用數學解決現實問題的能力。教學中，教師可引導學生找一找生活中的加法問題，用語言描述和解釋，并提出解決方案，以此強化加法模型與現實生活的密切聯系，加深學生對加法模型的理解與應用。

（三）優化評價方式，關注學生建模過程

2022年版課標明確倡導發揮評價的育人導向作用，倡導多樣化的評價方式，以深入了解學生的學習過程與發展變化。傳統教學評價的載體——測試和作業評價，在指向模型意識發展的教學評價中，需進一步聚焦于學生的建模表現與問題解決能力。這要求教師確立明確的評價標準，運用多元化的評價方式，構建有效的反饋機制，以全面評價學生的建模表現與模型意識的發展狀況。

首先，確立明確的評價標準至關重要。依據2022年版課標中的學段目標和學業要求，模型意識的主要評價指標可確立為：（1）能夠掌握現有模型的相關知識；（2）在特定情境中，能夠全面執行數學建模過程的各個環節；（3）能夠批判性地分析給定模型的適用性［7］；（4）能夠運用已有模型解決一類問題。針對“5以內數加與減”的教學內容，模型意識的評價指標可具體確定為：（1）能夠結合具體情境解釋加、減法運算模型及其運算結果的實際意義；（2）能夠運用算式、畫圖等方式，表示簡單情境中的加法關系或減法關系，并解決簡單問題；（3）能夠解決與5以內數加、減法密切相關的簡單實際問題。

其次，采用多樣化的評價方式。學生模型意識的形成與發展要經歷從感性到理性、從具體到抽象的過程。因此，教學評價應重視學生在建模過程中的實際表現，而非僅僅關注單一的測評結果。學生的課堂討論、活動報告、書面作業等可以作為評價學生對數學模型的建構與使用，處理各種復雜信息時數學思維發展的重要反饋。觀察學生在建模中的表現，分析學生的活動報告和書面作業，為評價學生當前的思維方式、數學建模和概念系統的發展提供依據，特別是在使用符號、識別變量、表征信息、創建關系以及解決問題等方面的發展。

參考文獻：

［1］ENGLISH L D， WATTERS J J. Mathematical modelling in the early school years［J］. Mathematics education research journal， 2005， 16（3）：58-79.

［2］劉來福，黃海洋，曾文藝.數學模型與數學建模［M］.北京：北京師范大學出版社，1997.

［3］史寧中.漫談數學的基本思想［J］.數學教育學報，2011，20（4）：8.

［4］章勤瓊，陳肖穎.小學數學模型意識的內涵、表現與教學：兼論核心素養的表現性目標［J］.課程·教材·教法，2024，44（1）：106-113.

［5］方齊珍.模型意識：內涵、目標與教學要領［J］.福建教育，2024（6）：40-44.

［6］ENGLISH L D. Mathematical modeling in the primary school： children’s construction of a consumer guide［J］. Educational studies in mathematics，2006， 63（3）：303-323.

［7］BLUM W， NISS M. Applied mathematical problem solving， modelling， applications， and links to other subjects—state， trends and issues in mathematics instruction［J］.Educational studies in mathematics，1991，22（1）：37-68.