真實情境促聯結 多元表征探本質

摘 要：運算教學是小學數學教學中的重要內容，貫穿了小學數學學習的整個過程.“兩位數乘兩位數（不進位）筆算”是學生真正學習多位數乘法的起始內容，在數的運算教學中起著承上啟下的作用.因此，筆者在教學時，創設真實情境喚醒已有知識，借表征互譯激活運算經驗；利用情境應用聯結前后知識，借表征互譯探索多樣算法；聯系情境溝通算理算法，借表征互譯理解運算本質，幫助學生在前后運算方法的溝通聯系中理解算理、掌握算法．

關鍵詞：運算教學；真實情境；多元表征

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標》）指出：“運算能力主要是指根據法則和運算律進行正確運算的能力.”［1］由此可見，運算能力也是小學生主要的數學關鍵能力和核心素養之一.在運算教學中，教師尤其要關注運算本質，也就是溝通算法、理解算理，以及這兩者間的融合．

“兩位數乘兩位數（不進位）筆算”是蘇教版《義務教育教科書數學三年級下冊》第一單元《兩位數乘兩位數》第二課時的內容，在這之前學生已經學習過兩位數乘一位數、兩位數乘整十數的口算，本節課的教學重點在于讓學生理解并掌握兩位數乘兩位數（不進位）筆算的算理和算法，體會數的運算的一致性.因此，本節課的教學關鍵就是如何幫助學生在前后運算方法的溝通和聯系中逐步理解多位數乘法的運算本質.筆者在設計本節課的教學時，注重真實情境的創設，讓學生結合具體問題情境合理運用多種方法計算出正確結果，并通過多元表征之間的靈活轉換，體會將未知轉化為已知的過程，溝通整數乘法的運算本質，發展運算能力和推理意識．

1 真實情境喚醒已有知識，表征互譯激活運算經驗

《課標》指出：“學生能體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，在探索真實情境所蘊含的關系中，發現問題和提出問題，運用數學和其他學科的知識與方法分析問題和解決問題.”［2］對于小學生而言，理解并掌握抽象的“數的運算”知識，需要真實情境的支持.喚醒學生的已有知識，恰當地呈現、互譯不同類型的數學表征方式，能夠幫助學生理解知識本質，提升核心素養.因此，在運算教學中，教師引導學生運用多元表征呈現運算過程，并通過不同表征間的轉譯，可以更好地幫助學生溝通算法，理解算理．

問題呈現：

新春佳節，商家在商場外面掛起了燈籠，一排燈籠有十四個，掛兩排，一共有多少個燈籠？

師：讀一讀，想一想，我們可以怎樣來進行計算？

學生列式14×2，并說出算式的意義．

師：我們用一個點來表示一個燈籠，就可以得到一幅點子圖.一排有十四個點，一共有兩排.利用這副點子圖，我們一起來回顧一下計算過程．

教師出示14×2的點子圖.

師：計算時我們把14拆成10和4，先用2×4得8，表示八個一.再用2乘十位上的1得2，表示兩個十，合起來是28.左邊部分可以用哪個算式來表示呢？ 右邊呢？

學生討論后回答.

師：這是我們以前就學過的兩位數乘一位數的筆算，把兩位數拆成整十數和一位數，分別和一位數相乘，然后把兩個積合并起來.我們可以把這種方法概括為“先分后合”.

學生的已有知識基礎和認知經驗是進行學習活動的起點.基于此，課堂伊始教師創設學生熟知的生活情境，喚醒學生關于兩位數乘一位數算法的已有認知.緊接著，教師主動出示14×2的點子圖，通過師生共同回顧，讓抽象的符號表征呈現的豎式轉譯成具象的圖象表征呈現的點子圖，聯結起豎式與圖示之間的意義，完成從符號表征到圖象表征的互譯，明確“先分后和”的計算本質，為學習新知作好鋪墊．

2 情境應用聯結前后知識，表征互譯探索多樣算法

學習數學的目的不僅是為了獲取知識，更重要的是能夠對前后知識進行深度聯結.因此，在運算教學中創設真實情境，可以激活新舊知識間的相互作用，實現知識的同化和順應.同樣，正是由于前后知識的內在聯系，在運算教學中還應該靈活運用多元表征，引發學生將知識點進行勾連轉化，從不同的視角選擇不同的算法，讓數學思維“看得見”．

2.1 變化情境創設，探索算法

變化情境引入新問題：商家掛完以后覺得兩排燈籠不夠喜慶，就掛成了十二排，每排燈籠依然是十四個，現在一共有多少個燈籠呢？怎樣列式表示？

生：14×12.

師：要求一共有多少個就是求什么呢？

生：十二個14是多少．

師：這節課我們就一起來研究像這樣的兩位數乘兩位數（不進位）筆算.

師：在計算之前，我們先來估一估14×12的結果大約是多少.

生1：我把14看成10，把12看成10，大約是100．

生2：把12估成10，14乘10等于140個．

師：同學們運用估算知道了14×12的結果大約是一百多，那么14×12的準確結果是多少呢？我們一起來探究，請看學習要求．

學習要求如下.

（1）想一想：結合以前學過的知識思考怎樣計算．

（2）分一分：把自己的想法在點子圖上表示出來．

（3）寫一寫：用算式記錄自己的思考過程．

（4）說一說：同桌交流自己的想法．

交流匯報，展示學生運用的方法，并讓學生借助點子圖加以說明.

算法1：9×14=126（個），3×14=42（個），126＋42=168（個）.

算法2：14×10=140（個），14×2=28（個），140＋28=168（個）.

算法3：14×6=84（個），84×2=168（個）.

算法4：14×4=56（個），56×3=168（個）.

通過把兩位數乘一位數的情境變化為兩位數乘兩位數的情境，自然引入新知，然后借助“學習要求”引導學生利用點子圖的直觀表征獨立探索計算方法，遷移“先分后合”的算法經驗，在圖與式的表征互譯中得到多樣化的算法．

2.2 多元表征互譯，歸納通法

師：請同學們仔細觀察這些算式，你能幫他們分分類嗎？

生：算法1和算法2為一類，先分開計算，再合在一起，用了“兩乘一加”的方法.算法3和算法4為一類，都是先平均分，求出其中的一份，再乘份數，求出總數，是“連乘法”．

師：這兩種方法有什么相同的地方呢？

生：他們都是把其中一個兩位數拆成了兩個一位數的和或積，然后變成了我們已經學過的兩位數乘一位數來進行計算．

師：是的，這兩類算法，其實都是把兩位數乘兩位數轉化成以前學過的兩位數乘一位數或整十數進行計算的.這種把未學過的新知轉化為已學過的舊知的方法是數學學習中經常采用的方法．

在呈現學生的多種算法時，教師引導學生進行對比和分類，理解“兩乘一加”與“連乘法”這兩類不同拆分思路的內涵，進而發現兩者的相同之處都是運用了轉化思想，將未學過的兩位數乘兩位數轉化為已學過的兩位數乘一位數來解決.在此基礎上，通過改變情境問題中的數據，啟發學生感受“兩乘一加”這一方法的普遍適用性，從而自覺實現算法優化，為接下來探索和理解兩位數乘兩位數的豎式計算的算理和算法作必要的鋪墊．

3 情境溝通算理算法，表征互譯理解運算本質

在運算教學中，情境的創設是溝通算法和算理的橋梁.因此，在學生初步嘗試豎式計算之后，教師應及時引導學生根據問題情境溝通橫式與豎式之間的聯系，讓學生知其然，并知其所以然.在這個過程中，學生經歷了語言表征、圖形表征、符號表征之間的互譯，從不同的角度對運算本質進行語言化、視覺化、符號化的闡述，深刻感悟其中的本質.［3］

3.1 聯系情境，溝通理法

師：現在，結合我們剛剛探索的過程，再來一起用乘法豎式把分和合的過程表示出來.14×12，先算兩個14，用個位的2乘14得28，算出了兩排燈籠的個數，再算十個14，用十位的1乘14，得十四個10，也就是140，算出了十排燈籠的個數，最后再把兩次乘得的積相加，得14×12=168（個）.

同學們，你學會了嗎？請你在學習單上自己嘗試著列一列這個豎式.邊算邊想，我們應該先算什么？再算什么？每一步表示什么意思？

學生再次獨立計算．

豎式計算就是讓橫式推算過程豎立起來.本環節的教學啟發學生借助情境意義把“兩乘一加”的橫式推算過程在豎式中表示出來，逐步引導學生實現符號表征的進階轉換，自主完成由橫式推算走向豎式算法建構的過程，初步掌握兩位數乘兩位數的豎式計算方法.在此基礎上，教師引導學生對比新舊知識，發現豎式模型的差別，理解“先分后合”“兩乘一加”的算理，進而理解“兩乘”只是所在的數位不同，因而所得的數值也不同.如此，通過“數位”與“數值”的深度聯結，實現“算理”與“算法”的深度融合，使學生更透徹地理解兩位數乘兩位數的算理與算法，形成推理意識．

3.2 借助表征，理法融合

教師出示兩個豎式.

師：老師把這兩個乘數交換一下位置，結果會變成多少呢？請你算一算．

生：調換兩個乘數的位置，積不變．

師：這是什么原因呢？我們一起借助點子圖來看一看．

生：無論是14×12，還是12×14，結果都是168．

師：所以，以后如果想檢驗乘法運算的結果對不對，可以怎么辦？

生：驗算乘法時，我們只要調換乘數的位置再乘一遍．

師：其實豎式中的每一步都對著點子圖中的一部分，讓我們來看一看吧.

這里利用學生把14拆成10和4的計算思路，啟發學生據此寫出相應的豎式，并借助圖形表征比較發現，雖然豎式中兩個乘數的位置相反，但是所解決的是同一個情境問題，計算結果也是一樣的，感受到可用調換乘數位置再乘一遍的方法進行驗算的合理性，形成必要的技能，發展運算能力．

4 結語

運算教學中，創設真實情境可以有效引導學生聯結已有經驗，借助多元表征間的互譯，可以幫助學生進行算法與算理的融通，逐步理解運算本質．

參考文獻

［1］［2］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022．

［3］劉賢虎.借助多元表征 豐富數學概念的認識［J］.課程教學研究，2014（7）：47-50