2024年新高考Ⅱ卷第19題的證法探究

摘 要：2024年新高考Ⅱ卷第19題考查了雙曲線與數(shù)列的綜合，情境新穎，難度不小.文章從不同角度給出試題的多種證明方法，旨在為一線教師提供研究高考題的思路與教學參考.

關(guān)鍵詞：雙曲線；數(shù)列；等比數(shù)列；三角形面積；證法探究

中圖分類號：G632"" 文獻標識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）36-0042-03

收稿日期：2024-09-25

作者簡介：朱伶鷺（1984.12—），女，江蘇省啟東人，本科，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

高考數(shù)學壓軸題一直以來都是考生關(guān)注的焦點，它不僅考查學生的知識掌握程度，更考驗學生的思維能力和創(chuàng)新意識.2024年新高考Ⅱ卷的壓軸題將雙曲線與等比數(shù)列巧妙結(jié)合，具有較高的難度和區(qū)分度，這種綜合性的題目對學生的綜合素養(yǎng)提出了更高的要求.本文將對這道壓軸題進行深入剖析，從不同角度探索其證明方法，希望能為廣大師生在數(shù)學學習和教學中提供有益的參考，進一步提升學生解決綜合問題的能力.

1 真題再現(xiàn)

題目 （2024年新高考Ⅱ卷第19題）已知雙曲線C：x2-y2=m（m＞0），點P1（5，4）在C上，k為常數(shù)，0＜k＜1.按照如下方式依次構(gòu)造點Pn（n=2，3，…），過點Pn-1作斜率為k的直線與C左支交于點Qn-1，令Pn為Qn-1關(guān)于y軸的對稱點，記Pn的坐標為（xn，yn）.

3 結(jié)束語

本題以雙曲線為知識素材，通過直線與雙曲線的交點及該點關(guān)于y軸的對稱點，依次構(gòu)造新的點，形成一組點列，探討這些點的橫坐標與縱坐標之差構(gòu)成的數(shù)列的性質(zhì).試題考查解析幾何中的“設(shè)而不求”和“化繁為簡”的思想，同時對等比數(shù)列的掌握、代數(shù)求解能力和平面幾何能力等也有一定的要求，是一道較為綜合、難度較高的題目.通過對這道題目的證法探究，我們深刻體會到高考數(shù)學命題的深度和廣度.在未來的學習中，學生應(yīng)更加注重對數(shù)學知識的深入理解和綜合運用，不斷提升自己的思維能力和解題技巧.教師也應(yīng)根據(jù)高考命題的趨勢，調(diào)整教學方法和策略，培養(yǎng)出更多具有創(chuàng)新精神和實踐能力的優(yōu)秀學生.

參考文獻：

［1］ 李鴻昌.高考題的高數(shù)探源與初等解法［M］.合肥：中國科學技術(shù)大學出版社，2022.

［責任編輯：李 璟］