多元表征 流程架構(gòu):構(gòu)建有意義的乘法

為了全面貫徹落實(shí)黨的教育方針，2023年中山市開(kāi)展了義務(wù)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)和評(píng)價(jià)。數(shù)據(jù)顯示，一方面，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣、自信心不足;另一方面，學(xué)生問(wèn)題解決能力有待提高。

基于教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)結(jié)果，如何推進(jìn)教育教學(xué)方式變革，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生學(xué)習(xí)走向深度思考，助力學(xué)生數(shù)學(xué)高階思維能力培養(yǎng)，是當(dāng)下亟須解決的問(wèn)題。下面以“連乘解決實(shí)際問(wèn)題”為例加以闡述。

“連乘解決實(shí)際問(wèn)題”是人教版三年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元末的解決問(wèn)題教學(xué)，是在學(xué)生熟練掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)計(jì)算方法之后的教學(xué)，著重解決生活中連乘的實(shí)際問(wèn)題。以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在連乘的計(jì)算中問(wèn)題不大，但對(duì)其中乘法意義的理解卻存在較大的困難。如三個(gè)相關(guān)聯(lián)的信息，學(xué)生按照自己的經(jīng)驗(yàn)，能很快找到連乘的方法進(jìn)行計(jì)算，但要表述每一步乘法具體的含義是存在困難的。也就是說(shuō)，在學(xué)生樸素的意識(shí)中，連乘更多是停留在淺層、字面上的理解，即把任意的三個(gè)數(shù)相乘，一旦有信息變化，或者類(lèi)型的變化，或者信息增加、減少的情況，學(xué)生往往會(huì)變得無(wú)所適從。

基于以上的分析，教師在教學(xué)中要把重心放在乘法意義的建構(gòu)上，用波利亞“怎樣解題”的建議來(lái)看，要引導(dǎo)學(xué)生梳理信息、明確問(wèn)題、找準(zhǔn)條件與問(wèn)題之間的關(guān)聯(lián)，構(gòu)建有意義的乘法。為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，本文從以下幾個(gè)方面進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐。

一、創(chuàng)設(shè)情境，培養(yǎng)提問(wèn)能力——關(guān)注學(xué)生思維的起點(diǎn)

教師在教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，將數(shù)學(xué)問(wèn)題巧妙地融入情境之中，充分喚醒學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)用已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，使學(xué)生把已有問(wèn)題的解決經(jīng)驗(yàn)遷移到新知的學(xué)習(xí)中。

師：前段時(shí)間，我們學(xué)校舉行了校運(yùn)會(huì)，班上買(mǎi)了一些礦泉水，如圖1，你能發(fā)現(xiàn)什么數(shù)學(xué)信息？

生：每箱有24瓶，每瓶2元。

師：你能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？

生：買(mǎi)一箱礦泉水要多少元？

師：怎么解答？你為什么用乘法解決？

課堂伊始，利用剛舉行完的校運(yùn)會(huì)中購(gòu)買(mǎi)礦泉水的情境導(dǎo)入。讓學(xué)生根據(jù)這些信息提出相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并討論為什么用乘法解決。學(xué)生初步回憶數(shù)量、單價(jià)、總價(jià)的數(shù)量關(guān)系式和乘法的意義，從而激活數(shù)學(xué)思維。

二、借助直觀(guān)，理清數(shù)量關(guān)系——促進(jìn)學(xué)生思維的外顯

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要借助幾何直觀(guān)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式，幫助學(xué)生探究問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖等表征方式將自己的想法直觀(guān)呈現(xiàn)出來(lái)。在本課的教學(xué)中，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、算一算、說(shuō)一說(shuō)的表征方式，將內(nèi)隱的思維顯性呈現(xiàn)出來(lái)，對(duì)算式賦予的意義進(jìn)行解釋?zhuān)M(jìn)而在圖、式、語(yǔ)言的表征中幫助學(xué)生在條件、問(wèn)題之間構(gòu)建清晰的數(shù)量關(guān)系，明確每一步具體的計(jì)算含義。

1.教學(xué)例3

2.從題中你知道了哪些數(shù)學(xué)信息？應(yīng)該怎么求一共賣(mài)了多少錢(qián)？

（1）完成學(xué)習(xí)單。（溫馨提示：先獨(dú)立思考，可以畫(huà)一畫(huà)、算一算，把想法表示出來(lái)）

（2）同桌交流。同桌交流自己的方法，說(shuō)一說(shuō)用了幾步，每步求的是什么。

學(xué)生通過(guò)閱讀與理解，在學(xué)習(xí)單上留痕，找出已知信息和問(wèn)題，培養(yǎng)收集信息和分析數(shù)量關(guān)系的能力。結(jié)合小學(xué)生擅長(zhǎng)直觀(guān)形象思維的特點(diǎn)，巧用學(xué)習(xí)單，通過(guò)畫(huà)一畫(huà)、算一算、說(shuō)一說(shuō)等教學(xué)活動(dòng)，降低學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系的難度，為正確分析和解決問(wèn)題搭建必要的腳手架。因此，教師在課堂中應(yīng)給足學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間和空間，讓不同學(xué)生的思維能達(dá)到不同程度的發(fā)展，讓內(nèi)隱的思維逐漸外顯。

三、交流展示，鼓勵(lì)算法多樣——促成學(xué)生思維的碰撞

根據(jù)例題中三個(gè)信息的編排順序，大部分學(xué)生會(huì)直接利用前兩個(gè)信息先求出一共賣(mài)了多少個(gè)保溫壺，也有少部分同學(xué)會(huì)想到先求1箱保溫壺賣(mài)了多少錢(qián)。不管是哪種方法，學(xué)生最能聽(tīng)懂的就是同伴的語(yǔ)言。因此，在教學(xué)中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生大膽思考，聯(lián)系所求問(wèn)題，說(shuō)清自己的解題思路，在生生交流中產(chǎn)生思維碰撞，進(jìn)一步明晰解題的步驟和方法。

師：通過(guò)剛才的探究，大家有了自己的思考，誰(shuí)愿意來(lái)分享一下自己的想法？

（學(xué)生匯報(bào)）

師：你是先畫(huà)圖還是先寫(xiě)算式？

生：我是先畫(huà)圖（見(jiàn)圖2），再寫(xiě)算式。

師：你的圖表達(dá)的是什么意思？你的算式是先解決圖中的哪一步？

生：我用圓圈代表保溫壺，畫(huà)5個(gè)框表示有5箱，每個(gè)框里畫(huà)12個(gè)圓代表每箱有12個(gè)保溫壺。先用5箱和每箱12個(gè)保溫壺這兩個(gè)信息求出一共有多少個(gè)保溫壺，12×5=60（個(gè)），再用保溫壺的數(shù)量乘1個(gè)保溫壺的價(jià)格就求出一共賣(mài)了多少元，60×45=2700（元）。

師：大家聽(tīng)明白他的方法了嗎？誰(shuí)能試著把剛才這位同學(xué)的方法在黑板上擺一擺表示出來(lái)？

學(xué)生邊擺樹(shù)狀圖（見(jiàn)圖3）邊講解，先選擇哪些信息，求出來(lái)的是什么，再……

師：老師看到有同學(xué)是這樣列式的（呈現(xiàn)圖4），誰(shuí)看明白他的方法了？

生1：這個(gè)是綜合算式。

生2：他們都是先求出了一共有多少個(gè)保溫壺。

生3：他們的方法是一樣的。

師：是的，這兩個(gè)算式用的是同一種方法，都先求一共有多少個(gè)保溫壺，只是書(shū)寫(xiě)形式不一樣。一個(gè)是分步計(jì)算，一個(gè)是綜合算式。

師：真了不起，其他同學(xué)有不一樣的想法嗎？

生：我用的方法不一樣，我畫(huà)線(xiàn)段表示。先求出每箱保溫壺賣(mài)多少錢(qián)，45×12=540（元），再用1箱的價(jià)錢(qián)乘5箱，540×5=2700（元）。（生結(jié)合畫(huà)的圖和列出的算式匯報(bào)，見(jiàn)圖5）

師：真厲害，想到了不一樣的方法。誰(shuí)能在黑板上再來(lái)擺一擺？

學(xué)生在黑板上邊擺樹(shù)狀圖（見(jiàn)圖6）邊講解，先選擇哪些信息，求出來(lái)的是什么，再……

師：請(qǐng)同學(xué)們嘗試將分步改寫(xiě)成綜合算式。

追問(wèn)：剛才同學(xué)們找到了兩種不同的方法，那還有其他的方法嗎？

（生猶豫了一會(huì)兒）

生1：我先算45×5。

生2：（反駁生1）那你先算出來(lái)的是什么？

生3：我也不贊同他的這種方法，因?yàn)槊總€(gè)45元與5箱這兩個(gè)信息沒(méi)有直接的關(guān)系。所以不能先算45×5。（同學(xué)們紛紛點(diǎn)頭表示贊同）

師：你們說(shuō)得真好，看來(lái)同樣是三個(gè)數(shù)相乘，但并不是隨意兩個(gè)都可以先乘，每一步一定要乘得有意義才行。

師：仔細(xì)觀(guān)察這兩種方法，它們有什么異同點(diǎn)？

小組先交流，再匯報(bào)。

生1：它們的相同點(diǎn)是都用了兩步計(jì)算。

生2：都是連乘解決的。

生3：它們的方法不一樣。

生4：它們先求的那個(gè)問(wèn)題不同。

……

師小結(jié)，引出中間問(wèn)題。

通過(guò)展示學(xué)生的不同解題方法，一方面引導(dǎo)他們具體解釋每步求得的實(shí)際意義，進(jìn)一步明確解決問(wèn)題的思路，也就是先算什么、再算什么，訓(xùn)練學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力。追問(wèn)環(huán)節(jié)，引發(fā)學(xué)生的思辨質(zhì)疑，使其明確每一步相乘的意義。在交流展示多種算法中，學(xué)生思維的火花得到碰撞。另一方面，重視每種解題思路分步與綜合的對(duì)比，明確具體算法的含義。適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀(guān)察比較兩個(gè)算式，明確不同算法之間的區(qū)別與聯(lián)系。在對(duì)比中梳理出中間問(wèn)題，降低學(xué)生的理解難度。這樣的過(guò)程，不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生的分析、比較、抽象、概括能力，而且有助于他們從中感悟出一些乘法運(yùn)算的基本規(guī)律，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

四、多元表征，文圖式的互譯——促進(jìn)學(xué)生思維的進(jìn)階

畫(huà)圖是分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的重要策略，能有效幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，找到解題的步驟和方法。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生閱讀題目，對(duì)題目中的信息進(jìn)行加工，用文字、畫(huà)圖、操作、語(yǔ)言、符號(hào)等方式將自己的理解轉(zhuǎn)譯出來(lái)，通過(guò)具體的表征形式來(lái)表達(dá)自己的思考，并通過(guò)自主分享、同伴質(zhì)疑與交流的方式增進(jìn)對(duì)知識(shí)的理解。連乘是三個(gè)數(shù)相乘，更需要建立在有意義的理解上列式相乘。

教師通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)及動(dòng)手操作，引導(dǎo)學(xué)生手、腦、口有機(jī)結(jié)合，實(shí)現(xiàn)文、圖、式互譯，隨機(jī)切換，培養(yǎng)學(xué)生思維的有序性和靈敏性，促進(jìn)學(xué)生思維的進(jìn)階。

五、回顧反思，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型——促進(jìn)學(xué)生思維的迭代

連乘作為解決問(wèn)題的教學(xué)，一是需要對(duì)解決問(wèn)題的教學(xué)步驟進(jìn)行復(fù)習(xí)與鞏固，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解決問(wèn)題三個(gè)基本步驟“閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思”進(jìn)行回顧與梳理，便于學(xué)生將本課學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)、方法進(jìn)行遷移;二是需要對(duì)連乘的解題思路進(jìn)行回顧：引導(dǎo)學(xué)生先利用兩個(gè)信息解決一個(gè)中間問(wèn)題，再在中間問(wèn)題的基礎(chǔ)上解決題目的目標(biāo)問(wèn)題。因此，對(duì)本課的梳理與回顧，一方面是對(duì)解題流程的回顧，另一方面是對(duì)方法的總結(jié)與回顧，有利于學(xué)生梳理經(jīng)驗(yàn)，逐步形成解決連乘問(wèn)題的一般化思路。

師：結(jié)合板書(shū)，回顧今天的學(xué)習(xí)內(nèi)容，我們是如何展開(kāi)研究的？

生1：先讀題找到已知條件和要求的問(wèn)題，再分析題意進(jìn)行解答，最后檢驗(yàn)結(jié)果。

生2：選擇不同的信息，求出來(lái)的問(wèn)題就不同。

生3：可以用畫(huà)圖的方式來(lái)幫助我們分析和理解。

……

本環(huán)節(jié)通過(guò)回顧整節(jié)課的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生梳理解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟（閱讀與理解、分析與解答、回顧與反思，見(jiàn)圖7），讓學(xué)生去溝通新舊知識(shí)的聯(lián)系，尋找解決問(wèn)題的方法，在總結(jié)中加深對(duì)知識(shí)形成過(guò)程的理解，自主構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，從而實(shí)現(xiàn)思維的迭代，進(jìn)而將本課所積累的知識(shí)遷移到同類(lèi)型問(wèn)題的解答中。

六、梯度練習(xí)，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)——促進(jìn)學(xué)生思維的成長(zhǎng)

練習(xí)是訓(xùn)練學(xué)生思維的有效途徑，可以在鞏固新知的基礎(chǔ)上讓學(xué)生充分展示自己的思維過(guò)程。有梯度的練習(xí)，能讓學(xué)生在知識(shí)再現(xiàn)、變式練習(xí)、拓展練習(xí)中拾階而上，促進(jìn)思維的進(jìn)階;便于學(xué)生把本課的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)遷移到類(lèi)似的問(wèn)題解決過(guò)程中，將零散的信息建構(gòu)起結(jié)構(gòu)化的聯(lián)系，提高應(yīng)用意識(shí)。

1.基礎(chǔ)練習(xí)（固“四基”）

（1）光后中心小學(xué)有3幢教學(xué)樓，每幢有4層，每層有3間教室，一共有幾間教室？（引導(dǎo)：說(shuō)出解決問(wèn)題的步驟，說(shuō)清每一步求的是什么）

（2）游泳池長(zhǎng)25米，小軍游了4個(gè)來(lái)回，一共游了多少米？（引導(dǎo)“來(lái)回”在數(shù)學(xué)中的意義。）

2.拓展延伸（展“四能”）

下面三種計(jì)算立體圖形中小正方體個(gè)數(shù)的方法對(duì)嗎？請(qǐng)你選擇其中一種，說(shuō)說(shuō)你的理由。

①4×2×3 ②3×2×4 ③4×3×2

3.生活啟示（滲“教育”）

（1）每天比其他同學(xué)多閱讀2分鐘，一個(gè)月按30天計(jì)算，一年12個(gè)月能比其他同學(xué)多讀多少分鐘？（學(xué)習(xí)方面）

（2）1頓飯節(jié)約50克糧食，一天3頓飯，一年365天能節(jié)約多少糧食？（節(jié)約方面）

本課的練習(xí)主要圍繞鞏固“四基”、發(fā)展“四能”、滲透“教育”三方面來(lái)設(shè)計(jì)。基礎(chǔ)練習(xí)方面，結(jié)合學(xué)生熟悉的場(chǎng)景，設(shè)計(jì)教學(xué)樓和游泳池中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，不僅能培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，還能讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與生活的廣泛聯(lián)系。拓展練習(xí)方面，重視在對(duì)比中進(jìn)一步增進(jìn)對(duì)連乘的認(rèn)知。具體為：例題中三個(gè)數(shù)據(jù)不能隨意相乘，但習(xí)題中求正方體個(gè)數(shù)時(shí)三個(gè)數(shù)可以隨意相乘，讓學(xué)生明白連乘不是亂乘，每一步列式都應(yīng)有意義。在生活啟示方面，通過(guò)閱讀和珍惜糧食進(jìn)行思想教育。練習(xí)設(shè)計(jì)由易到難，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，使每個(gè)層次的學(xué)生都有“事”可做，通過(guò)有梯度的練習(xí)，提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生思維的成長(zhǎng)。

綜上所述，在“連乘解決實(shí)際問(wèn)題”的教學(xué)中，需要超越三個(gè)數(shù)任意相乘的樸素理解，充分調(diào)用學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生帶著已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行新知探究，在新知探究的過(guò)程中通過(guò)多元表征呈現(xiàn)自己的思維，注重圖、操作、式、數(shù)量關(guān)系的關(guān)聯(lián)與互譯，并架構(gòu)條件與問(wèn)題之間的解決流程圖，搭建好必要的腳手架——中間問(wèn)題，在針對(duì)性、層次性、拓展性的練習(xí)中幫助學(xué)生建構(gòu)有意義的乘法，進(jìn)而在梳理問(wèn)題解決步驟的基礎(chǔ)上幫助學(xué)生建立思辨的認(rèn)知：連乘不是任意乘，而是需要建立有意義的乘法，清楚條件與問(wèn)題之間的關(guān)聯(lián)。

編輯：趙飛飛