巧設多維問題導

隨著新課標的落地，教師的教和學生的學都有所轉變。一線教師需要緊跟時代步伐，積極響應課改方針政策。如何巧設問題導學，激活學生思維，已經成為當前教育者關注的重要話題。只有從全景視角出發，設置核心問題導學，教學時化繁為簡、以“少”勝“多”，才能讓知識序列和能力培養循序漸進，形成相互聯系、螺旋上升的暢通機制。這樣不僅有助于教師更全面、深刻地把握數學教學內容，還有助于培養學生的綜合能力和創新意識，真正促進學生思維向縱、深、廣發展。

一、思辨性問題導學，在激活思維中“辯理”

數學是思維的體操，思維是數學的內核。發展思維是數學教學的本真追求。思辨是指通過深入思考和探究來理解和解決問題，以及推動知識和理解的進一步發展和完善的過程。思辨包括對事物、概念和觀點的探究、推理和評估，并可以涉及不同學科領域的知識、經驗和觀點的綜合。思辨需要運用批判性思維、創造性思維和邏輯思維等多種思維方式，對問題進行深入的分析和探討。思辨可以幫助學生拓寬視野、發現新的解決方案、提高自我認識和培養創造性思維能力。教師通過實際問題導學，從學生認知起點出發，深挖蘊含的思維元素，設置指向學生思維發展的核心問題，引導學生深刻經歷思維提升的過程，引發學生“辯論”，激發課堂思辨，在“不憤不啟，不悱不發”的思辨狀態中創造靈動課堂，撬動動態思維杠桿，解開靜態知識的底層密碼，發展核心素養。

（一）激活思維，理性思考

“鴿巢問題”是數學廣角中的內容，屬于綜合與實踐的學習領域。在此之前，學生已經多次體驗模型思想，如“工程問題”“行程問題”等的學習。此外，教材還以數學廣角為單元來呈現模型思想，如四年級的“雞兔同籠”問題和五年級的“植樹”“找次品”問題。

鴿巢問題是較為抽象和艱澀的數學問題，是組合數學的重要原理，蘊含著豐富的數學思想方法。鴿巢問題的“存在性”，是“最不利”情況下存在的。“最不利原則”是：為了保證完成某一個任務，從“最糟糕”的情況入手考慮問題，確保萬無一失的思想方法，在現實社會中具有廣泛的應用價值。對全體學生而言具有一定的挑戰性。具體體現在：首先，難在模型的建立。“總有”“最多”“至少”等術語的理解，會對思考過程和結論的表述產生影響。其次，難在模型的應用。如何判斷具體問題中的集合（鴿籠）與元素（鴿子），特別是對一些存在變式的情況，學生時常感到無從下手。學生在分享時，雖抓住了關鍵詞“最多”和“至少”，但卻不容易解釋清楚。不難發現，學生理解的難點在于對“最多”和“至少”兩個詞的理解。明明要求要“最多”，怎么又出來個“至少”呢？教師應立足學生的思維特性，精心設計富有核心性、衍生性的核心問題，推動學生深入思考、深度探究、深刻感悟。學生在思辨中積累經驗，在充分辯理、主動構建中舉一反三，使思維在靈動課堂中拔節成長。

（二）搭腳手架，以辯促辨

核心問題：教師準備給節糧惜食之星頒發獎品，有粉、黃、藍3雙筷子。①直接拿走2根同顏色的筷子。②3雙筷子放進抽獎箱，然后一次性抽出4根，2根若是同顏色，則取走。你會怎樣選擇呢？請說說你的理由。在這個問題導學中，學生經歷的思維的真正碰撞有兩次：第一次，選擇①或②的思辨。一部分學生認為，選擇①能保證得到1雙筷子，選擇②則可能得到2雙筷子，也可能1雙都得不到，求穩心理的他們選擇①。這部分學生發表觀點后，激起了更深刻的思維浪花。學生在頭腦風暴中撥云見日：手氣再差也會得到至少1雙筷子。明白了①選項只能得到1雙筷子，而②選項可能得到2雙筷子，學生在思辨中無形體會了“總有”和“至少”的含義，將抽象、拗口的詞語具象化，初步感知了鴿巢問題的確定與不確定因素。第二次，枚舉法與假設法的思辨。在小組充分交流中，利用枚舉法的學生列舉出所有可能出現的情況，利用假設法的學生把思維聚焦在“抽出的筷子根數至少要比顏色數多1”，因此，4根筷子出現的“最不利”情況就是前3根顏色都不同，第4根一定會重復顏色。

通過實際問題導學，激活思維辯理，學生在獨立思考、交流討論中以辯促辨，自主構建數學模型，在邏輯論證中凸顯鴿巢問題的本質意義，突出邏輯推理數學方法的思維價值和理性意義，提高邏輯思維能力，發展核心素養。

二、活動性問題導學，在覓尋本質中“明理”

高斯說過：數學中一些美麗定理具有這樣的特性，它們極易從事實中歸納出來，但證明卻藏得極深。數學教學不在于追求“熱鬧”的課堂，而在于覓尋隱藏在知識深處的數學本質，理解“四何”問題，即是何——是什么（知道）、為何——為什么（理解）、如何——怎么辦（應用）、若何——又怎樣（遷移）。問題導學以核心問題為導向，緊扣本質明理，讓思維從淺層到中層，再到深層，使數學課堂學習走向縱深。

小學階段“圖形與幾何”領域最基本的測量概念有長度、面積和體積，體現了由一維到二維，再到三維的立體空間。從縱向上看，長度單位、面積單位和體積單位有共同之處;從概念本質上看，三者存在內在聯系。編者根據學生的認知特點，將這些空間概念分別編排在不同年級進行教學。教師應具有整體視野，從全景的角度建構小學數學知識體系，從知識本質進行整體構建，解決“斷層”，減緩“坡度”，溝通不同階段的教學認知，讓知識序列和能力培養循序漸進，形成相互聯系、螺旋上升的暢通機制，讓學生深刻把握數學內容。

（一）拼擺沖突，引發深思

“面積和面積單位”在核心問題“哪個圖形面積大”這一活動性問題的驅動下，學生自主選擇重疊法、拼接法、數格子等，在活動中感受數學“理”的嚴謹性，在拼一拼、擺一擺過程中，通過同一圖形用不同大小的正方形拼擺所用的數量不同，激起認知沖突，進而引出需要統一用一樣大小的單位來擺，也就是統一面積單位，包括“形狀”和“大小”的統一。度量的前提是構建度量的標準，并對標準進行賦值。學生在一、二年級認識時間、錢幣、質量、長度等計量單位，已經積累了一定的思維經驗。而面積單位的建構過程更為直觀，也更利于學生感悟度量思想。人教版教材用了三角形、圓形、正方形對比引出正方形更適合做面積單位，此處給出的理由是圓不能密鋪而三角形不能鋪滿。這個理由并沒有說服我，因為長方形完全可以將正三角形一分為二繼續鋪滿，而且用三角形作單位去鋪長方形本來就不公平，今天換做兩個三角形比較大小，那就變成了正方形不能鋪滿了啊！所以，我對此處課堂教學設計進行了改變。我們可以思考在除去圓之外，為什么面積單位非要選擇正方形不可？我們需要找到一個充分的理由。以面積是1 cm2的長方形為例，其可以是長2 cm和寬0.5 cm，或長4 cm和寬0.25 cm等;面積是1 cm2的三角形，可以是底1 cm高2 cm，或底4 cm高0.5 cm;面積是1 cm2的平行四邊形同樣有很多。只有1 cm2的正方形是唯一的。我們需要選擇一個不會變化的事物作為測量單位。“拼擺”的本質是用小的面積單位不斷積累來測量圖形的面積，以面積的深度理解為核心，幫助學生構建核心概念，建立面積和面積單位之間的關聯，實現“整體化教學”。這有利于學生形成量感，達成核心素養目標。

（二）測量活動，建立表象

通過選用小圓片、小三角形和小正方形來測量，發現小三角形和小圓片在拼擺的時候都不能密鋪，此給了學生充分表達的機會，敘述小正方形做面積單位最合適的道理。這樣既有效促進思維生長，又給其他學生以啟迪，讓學生在明理中突破難點，在似懂非懂中順利過渡，“面積單位”呼之欲出，結合估測和實際測量，幫助學生建立常用面積單位的表象。在數學中充分利用學生關于長度度量等方面的經驗，把對面積的研究從定性引向定量。另外，對抽象的面積單位概念的體會和認識，應當通過實踐活動幫助學生建立表象，并體驗其實際意義。此處開展實踐活動：哪些物體表面面積接近1 cm2（1 dm2/1 m2）？黑板的面積有多大？數學書封面的面積用哪個面積單位比較合適？估一估大概是多少dm2，再實際測量。估測活動與實際測量活動相結合，加深了學生對度量單位的認識與把握，使學生順利建立面積單位的表象。學生容易通過對比、歸納，根據已給的信息，嘗試給1 dm2和1 cm2下定義，并嘗試用它們來估測身邊物體面積的大小，還可能給出1 mm2和1 km2等面積單位。這樣的方式非常考驗學生的觀察、分析、歸納能力，可以讓學生真正成為學習的主體。

新課程理念指出，數學教學是數學活動的教學。教師應設計科學合理的教學環節，力求將幾何概念課上得生動、有趣而富有數學之“理”，讓學生在活動中思考，觸動學生的思維內核，使學生真正實現認知上的超越，深化對本質的理解，實現思維的質變。

三、聯系性問題導學，在構建體系中“通理”

美國認知心理學家布魯納指出，學習結構就是學習事物是如何關聯的。因此，教師在解讀教材時，要打破學段壁壘，將不同學段的教學內容進行有機融合，實現不同學段之間的知識銜接和能力培養，為學生提供更為連貫、系統、高效的學習體驗。運用“三鏡視角”觀察，即用“顯微鏡”觀察課時內容關鍵元素之間的結構關聯，用“放大鏡”觀察課時內容與相關課時、單元和領域內容的結構關聯，用“望遠鏡”觀察課時內容與學科外相關學科乃至廣闊的生活世界的關聯。正如史寧中教授所說，基于數學核心素養的教學要實現從知識點到知識團的跨越。

（一）前后聯系，歸納聯理

在學習“圓的面積”時，學生都知道“圓的面積=πr2”，但這個公式的道理是什么，未必理解透徹。在梳理中，我們以核心問題“圓的面積為什么等于πr2”導學，撬開面積公式原理的大門，深挖隱藏的秘密。本課緊緊圍繞轉化思想，引導學生聯系已學知識，把圓等分成4份、8份、16份、32份、64份……分割得越小，越接近長方形。觀察發現，圓的面積即長方形的面積，長是πr，寬是r，圓的面積=πr2。圓的面積公式的推導方法有多種。通過對不同版本教材的對比，不難發現，大部分教材都是將分割后的圓拼成近似的長方形，然后通過比較長、寬、圓的半徑之間的關系，推導出圓的面積計算公式的。在數形結合中研究、歸納，學生發現圓的面積與拼成的近似長方形的面積之間的聯系，從而完成對新知的構建過程，建立數學模型。學生在聯理中培養推理能力，體驗了面積守恒、極限等數學思想方法，培養了解決問題的能力。在構建知識過程中，學生是發現者、研究者，能發展數學思維，提升核心素養。

（二）內在聯系，深刻通理

“平面圖形求面積公式的道理一樣嗎？”學生以學過的直邊圖形為例，闡明其中蘊藏的奧秘：都是在數圖形里面有幾個面積單位。學生在三年級學過長方形面積公式長×寬，長即一行面積單位個數，寬即一列的面積單位個數，長×寬即求長方形里面所鋪面積單位的個數;在五年級學習“多邊形的面積”單元知識時亦是。平行四邊形、三角形、梯形均轉化成已經學習過的圖形，找到沿著長（或底）有幾個面積單位，沿著寬（或高）有幾個面積單位，再相乘。二維圖形的面積就是數圖形里有幾個面積單位。圓的面積也一樣，都是對多少個面積單位的表達，本質具有一致性。平行四邊形、三角形、梯形的面積都是以三年級長方形的面積為基礎，圓的面積的求解也能回到數面積近似長方形的面積單位。有的學生拼成近似平行四邊形、近似梯形、近似三角形，再數面積單位。這樣我們就能引導學生在聯系中領悟轉化思想，并靈活應用轉化思想。

新課標強調，學生的學習應該是主動探索、自主交流的過程，必須在已有知識和經驗上展開學習活動。本節課以聯系性問題導學，基于學生年齡特征和心理特點，關注知識的差異性、階段性和遞進性，從“二維圖形的面積”整體出發，溝通內在聯系。在不斷思考追問中，學生建立完整的知識結構，形成系統的數學思維，提高數學素養。

四、開放性問題導學，在對比質疑中“追理”

根據SOLO分類評價理論，不同的解法反映不同學生不同層次的認知水平，體現不同層次學生思維的廣度、深度與靈活性。開放性問題提供“大空間”，可以讓學生在師生對話、生生質疑中撥云見日。

“找次品”屬于統計與概率的內容，旨在通過操作活動滲透優化思想。學生在真實情境中感受數學與生活的聯系。教師不斷讓學生通過觀察、試驗、推理歸納優化策略的有效性，在潛移默化中學會數學地思考，培養了思維的條理性和邏輯性。此前學習過的“沏茶”“田忌賽馬”“打電話”等，都屬于這一范疇。學生已經具有一定的邏輯推理能力和綜合運用所學知識解決問題的能力，因此，教學的關鍵落在找次品最優策略的本質理解上。

（一）明晰問題，感受推理

本課以“如何用最快的方法找到次品”這一富有挑戰性的開放性問題導學，激發學生的探索欲望。學生容易想到用天平，基本上把8個分成（4，4），9個分成（3，3，3）來稱，少部分分成（4，4，1）來稱。教學時巧妙用對比—質疑手段喚醒學生思維，引導學生再次追理：“為什么要盡可能分成3份？”如果分成（4，4），稱一次只排除，如果分成3份，一次可以排除，所以三等分最快。學生在比較、推理中理解“一分為三”策略最優的道理。

（二）對比質疑，深刻追理

此處的對比有：第一次：天平外的為什么不稱？感受推理的重要性。第二次：把9分成（4，4，1）和（3，3，3），感受平均分的重要性。第三次：9個只需稱2次，8個卻要稱3次，合理嗎？第四次：同樣是8個，分成（4，4）2次就可以找到，而分成（3，3，2）要3次，從而發現分法不同，將目光聚集到“第3個盤子”上。第五次：把8個分成3份對比，發現“使最大數與最小數相差1的這種盡量均分最優。第六次：“一分為三”和“一分為多”進行對比，如（1，1，1，1，1，1，1，1）和（3，3，2），通過數形結合發現，分的份數越多，第二次查找的范圍越大，再次確認“一分為三”是最好的策略。即在多次對比中找到規律，把問題模型化。學生在解決問題的過程中，質疑與思辨共存，傾聽與交流相伴，落實了核心素養的培養。

新課標視域下，小學數學深度說理課堂的問題設計與實施，要以思辨性問題導學，激發學生辯理：在活動性問題導學中覓尋本質，引發學生明理;在聯系性問題導學中構建知識，引導學生通理;在開放性問題導學中對比質疑，促使學生追理。問題導學作為“雙減”政策下的課堂新樣態，以問題為導向、以導學為方法、以發展思維為目的、以落實核心素養為最終目的，把教學內容整合提煉歸納出核心問題，提供開放的課堂空間、問題空間、思考空間，以多元學習的方式，在說理表達中碰撞思維，推動數學課堂走向“靈動”，推動學生思維走向“深刻”，落實了全面育人的時代需求。

編輯：常超波