圖形中“高”的認識論障礙與教學啟示

【摘 要】“高”的概念貫穿小學數學課程平面圖形與立體圖形的相關內容，對于圖形的認識與測量起著至關重要的作用。經調查發現，對這一概念的認識與理解存在著諸多普遍性的錯誤，表明對于“高”的認識存在著諸多的障礙，導致認知的困難。為了改善教學，需要探明常見錯誤的類型，并運用認識論障礙的相關理論分析錯誤產生的原因，在此基礎上創新有針對性的教學方法。同時，為準確地分析學生認知過程中的“難點”提供思路。

【關鍵詞】高；認識論障礙；具身認知；幾何變換

“高”這一概念貫穿小學數學課程平面圖形與立體圖形的相關內容，對于平面圖形面積和立體圖形體積的測量與計算起著至關重要的作用。通過調查發現，學生對“高”概念的認識與理解并非易事，存在著諸多普遍性的錯誤。這表明他們對于“高”的認識存在著諸多的障礙，導致認知的困難。為了改善教學，需要通過調查探明常見的錯誤類型，并運用“認識論障礙（Epistemological Obstacle）”的相關理論分析錯誤產生的原因，在此基礎上創新有針對性的教學方法。

一、認識論障礙

認識論障礙是法國科學家、哲學家加斯東·巴什拉（Gaston Bachelard）在《科學精神的形成》一書中提出的概念。巴什拉認為，認識論障礙并非外在的物理障礙，而是認知行為本身的惰性［1］，是一種內在的心理和認知障礙，這些障礙存在于認識活動的內部，表現為大腦的遲鈍和混亂。換言之，認識論障礙是阻礙對事物進行直接認識的內在因素，導致人頭腦中的認識總是帶有模糊性，無法達到完全的清晰和透明。

20世紀70年代，法國數學教育研究者蓋伊·布魯索（Guy Brousseau）深入發展了認識論障礙概念，并在其著作《數學中的教學情境論》中指出，認識論障礙表現為“一種知識在某一活動領域內可以正常發揮其功能，且因具備良好基礎而表現出色，但在另一種情境下卻喪失了令人滿意的效用，呈現出失靈或錯誤的狀態，從而導致理解出現偏差”。［2］也就是說，布魯索認為認識論障礙是一種具有范圍性的知識，在特定情境下有效，但如果不考慮其適用范圍而在其他情境下應用，則會導致誤解或錯誤。例如，當向學生提問半小時等于多少分鐘時，一些學生可能會下意識地回答半小時等于50分鐘，而實際上半小時應該等于30分鐘。這可能是由于學生將1米=100厘米、半米=50厘米的長度換算知識，類推到了時間單位的換算上。

英國數學教育家大衛·托爾（Davidij2Htr+xQpdHD5rRdF/5tw== Tall）利用認識論障礙來解釋數學中的語義、概念等障礙［3］。例如，在學習小數乘法概念時，學生由于受到先前整數乘法概念的影響，認為乘法都是越乘越大的。波蘭數學教育家斯爾平斯卡（A. Sierpinska）指出，認識論障礙具有“無可避免”的顯著特征［4］，即學生在學習過程中犯錯誤是普遍且必然的現象。

在“高”的概念學習中，認識論障礙可以理解為學生在掌握“高”概念的過程中普遍且必然遇到的困難。教師需要充分認識到這一點，并將其融入日常的教學設計中，以幫助學生更好地克服這些障礙，準確掌握“高”的概念。

二、常見錯誤的調查

為深入探究學生在理解圖形中高的概念時可能遇到的問題，筆者設計了一份包含可能錯誤類型的試卷，要求學生畫出圖形中的高。該試卷在內蒙古呼倫貝爾市兩所小學的五年級中各發放了50份，總計100份。以下是學生在學習“高”概念的過程中出現的錯誤。

小學五年級學生在尋找鈍角三角形外高過程中出現的錯誤（如圖1）。［5］

學生在學習過程中，對于識別位于三角形內部的高通常較為熟練，但對于識別位于三角形外部的高則往往感到困惑。部分學生甚至錯誤地認為高必然位于三角形內部。這種困惑不僅限于三角形，當四邊形、梯形等圖形發生變形時，學生也經常難以找到圖形中的高（如圖2）。

對于圖形中高的認識錯誤不僅存在于平面圖形中，立體圖形的變形也會導致學生難以確定其中的高。例如，當圓柱處于直立狀態時，學生能夠輕松找到其高，但當圓柱的形態發生改變時，學生往往會出現不會畫高的情況。部分學生可能會將傾斜的圓柱上某一點至地面的垂直距離誤認為圓柱的實際高度（如圖3）。

除了立體圖形的變形，圖形在高度上的變化也會使學生在判斷其準確高度時產生困惑。如圖4所示，當展示左邊細長的圓錐時，由于其在視覺上符合學生對高的直觀理解，學生能夠輕易識別并指出其顯著的高度。然而，一旦當這個圓錐的高度大幅降低，與原始圖形相比產生較大差異時，對于這種視覺上顯得不那么高聳的立體圖形，學生便不再認為其具有顯著的高度。

根據回收的100份試卷的測試結果，第一所小學回收的50份試卷中有31份試卷出現了學生畫高的錯誤，第二所小學回收的50份試卷中有28份存在類似問題。在這些出現錯誤的試卷中，學生普遍在需要畫出圖形“外高”的部分犯了錯，錯誤地將高全部畫在了圖形的內部。這一結果表明，大部分學生在理解高的概念上存在局限，普遍認為高僅局限于圖形內部。對這些錯誤進行深入的分析，找出產生錯誤的原因，對于改進教學設計和促進學生理解圖形中高的概念具有重要意義。

三、錯因分析

認識論障礙的形成主要受到日常經驗、已有圖式和先前學習經驗的影響。通過對上述圖形中高的常見錯誤的分析，可以發現錯誤的原因主要與日常經驗和原型認知有關。

日常經驗與數學概念之間的沖突，導致學生在理解圖形的高這一概念時產生了認識論障礙。［6］在學生的日常經驗中，“高”通常與豎直向上的方向相關聯，如“身高”“樹高”“樓高”等。而“深”則與向下的方向相關，如“水深”“井深”等。因此，學生會認為高是豎直方向的，只有在直立的圖形中才能正確地找到“高”。當圖形發生傾斜時，“高”的方向也隨之發生改變，學生不會認為傾斜方向的那個是高。

除了日常經驗上的障礙，還存在原型（Prototype）認知上的障礙。原型理論起源于維特根斯坦（Wittgenstein）的《哲學調查》和羅什（Rosch）的意義理論。原型理論認為，在解釋某種現象時，人們會將屬于這類現象的某個個體視為原型，并在對這個原型總體特征認識不變的情況下把握這類現象中的其他個體特征。［7］例如，在家具這個范疇，可以將“椅子”視為該范疇的原型，它通常由座位、靠背和四條腿等部位組成。當看到新的物品，如沙發、床、桌子等時，人們會根據它們與“椅子”這一原型的相似程度來判斷它們是否屬于“家具”這一范疇。

根據原型理論，學生在學習“高”的概念過程中，會先形成一個關于“高”的原型認知。最初學習三角形的高時，銳角三角形的高在內部成為學生對高的原型認知。此后，學生便習慣以這一原型認知來認識圖形。而鈍角三角形的高可能在三角形外部與原型差異大，導致學生難以把握新情況下高的特征。

因此，當圖形的形狀發生變化時，學生可能難以從變化后的圖形中識別出他們熟悉的原型。原型理論指出，個體的認知活動往往以個體圖式的原型為基礎或參照點。［8］如果變化后的圖形不再符合學生已有的原型認知，他們就可能難以正確識別圖形的屬性，如高度。

四、教學啟示

基于上述對圖形中高的認識論障礙來源的詳盡剖析，可以提出有針對性的教學建議。這些建議包括：運用具身認知理論促進對高的理解，以及借助幾何變換的原理設計“高”的教學活動。

美國的喬治·萊考夫（George Lakoff）與馬克·約翰遜（Mark Johnson）提出了具身認知理論的相關觀點。該理論植根于認知科學的三個主要發現：一是心智中的智力活動是“具身的（Embodied）”，二是人的思想（Thought）在很大程度上是“無意識的（Unconscious）”，三是對抽象概念的理解往往依賴于“隱喻（Metaphor）”的運用。［9］人的認知并非單純源自頭腦內部的孤立活動，而是大腦、身體與環境三者之間緊密互動的結果。在此過程中，個體會在大腦中形成思維圖式，也稱為“意象圖式（Image Schema）”，并將其應用于各類認知活動中。［10］

對高的認知需借助具體的操作活動加以理解。當學生觀察圖形時，他們的身體將積極參與其中，大腦中的“意象（Image）”會將圖形中的高與自身的身高聯系起來。從身高的衡量中，可以提煉出三個核心要素：起點、路徑及終點。起點對應身高的頭頂，終點則是腳底，連接起點和終點的距離即構成了路徑。基于這一理解，就構建了一個路徑圖式（Source-path-goal Schema）［11］，以直觀展現這一過程。

因此，教師可運用路徑圖式來理解圖形中高的概念，將圖形上的一點視作起點，該點到對邊上的投影（即垂足）視為終點，連接這兩點的垂線則代表了路徑。值得注意的是，路徑的方向不僅限于豎直方向，還包括水平方向及其他各種可能的方向。通過運用意象圖式對高這一抽象概念進行隱喻性的教學設計，可以幫助學生在頭腦中重新構建對高的認知。

當前小學課程內容在圖形運動的教學方面較為單一，主要局限于專門的“圖形的運動”單元中。一旦這些單元教學結束，后續的圖形學習便又回到了傳統的割補方法，未能有效延續圖形運動的教學理念。例如，在教學“平行四邊形的面積”時，小學課程仍然采用將四邊形分割并重新拼接成長方形的推導方法，而未能充分利用圖形平移、旋轉等運動來直觀展示和推導面積公式。這種做法在一定程度上限制了學生對圖形運動和圖形性質的理解。

德國數學家費利克斯·克萊因（Felix Klein）將圖形運動稱為幾何變換，它研究的是幾何空間在變換下保持不變的性質。［12］以運動的眼光來看待幾何圖形，能夠有效培養學生的空間幾何直覺，使他們對于高這一概念的理解變得更加直觀。

例如，在三角形的教學中，可以將鈍角三角形視為由銳角三角形運動變化而來的。當銳角三角形的一個頂點進行水平方向的平移運動，運動到一定距離后，三角形的形狀發生變化，原本的銳角會轉變為鈍角。與此同時，三角形的斜邊長度也會隨之變化。而三角形的高，隨著頂點在水平方向上的移動，會逐漸移動到三角形的外部，從原來的“形內高”轉變為“形外高”（如圖5）。

在這一過程中，三角形經歷了形狀的改變，但高的長度卻保持不變。這一現象打破了學生傳統認知中高只能局限于圖形內部的觀念，揭示了高同樣可以存在于圖形外部的可能性。通過這一發現，可以在教學中拓寬學生對幾何概念的理解，使他們認識到幾何圖形在運動變化中所蘊含的不變性和靈活性。

運動的眼光不僅可以應用于對三角形高的理解，還可以廣泛應用于其他幾何圖形。這種通過運動的眼光來分析幾何圖形的方法，不僅深化了學生對圖形性質的認識，還為探索幾何世界提供了更為廣闊的思路。

以上內容為有效地分析學生認知過程中的“難點”提供了有益的啟示，即通過對學生常見錯誤的調查與分析，揭示其認識論障礙。這些障礙反映了學生的認知規律，同時也是教學中需要克服的難點。我們堅信，準確的難點分析是實現有效教學的關鍵路徑。

參考文獻：

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（1.呼倫貝爾學院

2.首都師范大學初等教育學院）