依托結構關聯 發展推理意識

【摘 要】推理意識是學生核心素養的主要表現之一。在計算教學中，引導學生以結構化視角理解運算的一致性，在關聯中發展推理意識是一條可行的路徑。在四年級學生學完“三位數乘兩位數”筆算乘法之后，可增設一節探尋乘法豎式結構關聯的復習課。教師引導學生通過“聚焦橫式，建立結構關聯”“深化結構圖應用，促進結構遷移”“逆向運用，發展推理意識”等活動，深度剖析筆算乘法的算理，建立結構關聯，在感悟筆算乘法一致性的同時提升運算能力，發展推理意識。

【關鍵詞】結構關聯；推理意識；筆算乘法

筆算乘法是“數的運算”主題的重要組成部分，也是培養學生運算能力和推理意識的重要載體。在小學階段，筆算乘法的學習序列包括多位數乘一位數、兩位數乘兩位數和三位數乘兩位數等內容。這些筆算乘法內容之間存在著緊密的聯系：豎式構造相似，層層深入；運算算理相通，都需要經歷“拆—乘—合”的過程；運算本質相同，均可追溯至表內乘法。然而，在實際教學中，這些內容分散于不同教學單元，導致學生缺乏結構化的思考。同時，在面對乘法豎式時，教師和學生往往過分關注計算技能的掌握，而忽視對計算內涵的深入理解，這不利于學生運算能力的增強與推理意識的發展。鑒于此，筆者認為亟須增設一節筆算乘法的整理復習課，以助力學生深入探究筆算乘法的本質，并建立其結構關聯。本文將對“筆算乘法的整理與關聯”教學的突破點、教學目標的確立以及教學實踐等問題進行探討。

一、教學思考

（一）教學的突破點

“筆算乘法的整理與關聯”教學的突破點包括結構關聯和發展推理意識。

1.依托結構關聯

各類筆算乘法之間存在著內在的關聯性和一致性。主要體現在以下幾個方面。

（1）算理相通，在進行豎式計算時，都需要經歷“拆—乘—合”的過程。

（2）本質相同，通過“拆”和“乘”，可以將多位數乘兩位數分解為多位數乘一位數，進而得出多少個“十”和多少“一”。

（3）結構相似，算理與算法的一致性決定了乘法豎式具有相似性。

因此，本節課的教學重點應圍繞這些結構關聯組織學習活動，以加強學生對筆算乘法本質的理解。教學時，可引導學生通過比較橫式來感受算理的相通性，體會筆算乘法可追溯到表內乘法。同時，指導學生依據已經學過的豎式模型進行歸納推理，實現計算方法向多位數筆算乘法的遷移，從而形成完整且系統的知識脈絡，感悟筆算乘法本質上的一致性。

2.發展推理意識

計算教學的目標應當從計算技能轉向運算能力和推理意識，從而促進學生數學思維的發展。建立知識之間的結構關聯，加深對知識結構的本質理解，是推理意識形成的重要基礎。反之，推理意識的培養也能促進學生對數學知識的理解，推動深度學習的發生。教學時，為了更好地達成計算教學的目標，發展學生的推理意識，可以從以下三個層面推進。

（1）從具體運算到抽象結構，讓學生經歷由特殊到一般的遷移過程，對筆算乘法豎式形成統一的結構圖。

（2）從已知到未知，引導學生主動將多位數乘一位數、多位數乘兩位數的乘法模型遷移、推廣至多位數乘多位數，打通筆算乘法的運算脈絡。

（3）從計算到推算，改變練習形式，引導學生依據算理進行數學推理，鼓勵學生選擇合適的運算策略，在方法比較中發展推理意識。

（二）明確教學目標

為凸顯筆算乘法之間的結構化聯系，發展學生的推理意識，本課設定的具體教學目標如下。

（1）通過4道筆算乘法的豎式與橫式，揭示其計算過程的相通之處，統整筆算乘法的算理與算法，形成完整的整數乘法知識結構；理解筆算乘法中部分積的含義，并能根據實際情況進行合理推算。

（2）經歷“結構關聯—抽象遷移—推理應用”的過程，在觀察、比較、推理等活動中感悟數學知識之間的關聯，積累數學活動經驗，發展運算能力和推理意識。

（3）了解數學文化，感受數學的簡潔美，體會數學探索的樂趣和知識間的聯系。

為達成上述教學目標，教師應引導學生經歷指向算理與算法的關聯過程，指向豎式結構圖的抽象過程和遷移過程，以及指向推理意識的應用過程。

二、教學實踐

（一）聚焦橫式，建立結構關聯

算理，即計算過程中的思維方式，它揭示了“為什么這樣算”的道理。利用橫式表達計算過程，能使內隱的計算道理外顯化。教師應組織學生圍繞不同的橫式表達展開討論，將抽象內容具體化，使學生更直觀地感受到筆算乘法之間的諸多關聯。

【教學片段1】

1.教師出示任務：列豎式計算，并用橫式表示計算過程。

2.呈現學生作品（如圖1）。

3.引導學生觀察并發現橫式中的共同點。

師：在用橫式表示計算過程時，有什么相同的地方？

生：在計算53×4和315×4時，都是把第一個因數拆分，分別乘4。

生：42×35和412×35也一樣，是把第二個因數35拆分開。

師：計算這些筆算乘法時，要經歷先把其中一個因數拆開來，拆成幾個一、幾個十、幾個百，再分別與另一個因數相乘，最后再把積合并起來。

以“用橫式表示計算過程”為任務驅動，組織學生表征算理，并通過關鍵問題“在用橫式表示計算過程時，有什么相同的地方？”來激發學生的深度思考。此舉旨在使學生的關注點由“計算操作”轉向“算理理解”，促使他們關注筆算乘法的推理過程，從而使學生能直觀地感悟算理的一致性。同時，這也為后續更復雜的多位數筆算乘法的遷移與應用奠定了堅實的基礎。

在用橫式表示計算的過程中，有一些學生展示了兩種不同形式的橫式表達，如圖2、圖3所示。

這兩種橫式表達中，圖2的學生沒有考慮位值制，圖3則考慮了位值制。兩者本質相同，均是將計算過程分解為表內乘法。在學生對筆算乘法具有相同算理形成初步認識的基礎上，進一步引導學生領悟各類乘法運算間的內在聯系，進而體會到表內乘法是所有整數乘法運算的基礎。

【教學片段2】

1.組織學生思辨。

師：這兩種橫式中，圖2中的橫式簡單，圖3中的橫式復雜，你們有什么看法？

生：圖2中豎式315×4的這個橫式不正確，應該是10×4和300×4，而且乘積沒有相加。

生：圖3豎式412×35的這個橫式把412和35這兩個數都拆開了。

生：是的，這樣的拆分很煩瑣，也容易導致錯誤。

2.引導學生探究筆算乘法的根源。

師：想一想，圖2的橫式中為什么會寫成1×4和3×4？

生：他只是把計算時用到的乘法口訣記錄了下來，沒有考慮到數字1和3所在的數位，1在十位上表示1個十，3在百位上表示3個百。

師：計算多位數乘一位數時，我們實際上是在用乘法口訣計算有多少個這樣的計數單位。既然可以用乘法口訣進行計算，那么為什么又說圖3的橫式煩瑣呢？

生：5乘2等于10，5乘10等于50，5乘400等于2000。此算式實際上是在計算412乘5。后面的乘法算式其實是在計算412乘30，我們已經學過多位數乘一位數，直接計算就可以了。

師：多位數乘兩位數可以轉化為多位數乘一位數，多位數乘一位數又可以轉化為表內乘法，看來我們目前學習的筆算乘法之間存在著緊密的聯系。

3.借助微課關聯古今豎式。

通過圖3中的橫式引入幾百年前歐洲人發明的豎式計算（如圖4），讓學生了解現代豎式的演變過程，感受數學的簡潔之美。

教師利用兩組不一樣的橫式表達，引導學生開展思辨活動，使學生在觀察與思考中認識到已學的筆算乘法均可追溯到乘法口訣和位值制，而當位數較多時，采用多位數乘一位數的算法進行計算更為便捷。這樣，學生自然建立起了筆算與口算、筆算與筆算之間的內在聯系，深刻感受筆算乘法之間的關聯性，并體會到運算的一致性。同時，通過古今豎式的對比，融入數學史元素，讓學生領略數學的簡潔之美，進一步加深對筆算與口算之間聯系的理解，明確算理，為后續研究豎式結構圖及推理奠定基礎。

（二）深化結構圖應用，促進結構遷移

在學生完成四道筆算乘法的計算后，將具體的豎式抽象為結構圖。鼓勵學生對結構圖進行合并、創編，依據結構關聯進行猜想與驗證，經歷由特殊到一般的遷移過程，從而積累推理經驗。

【教學片段3】

1.抽象出結構圖（如圖5），并進行交流與分析。

師：觀察這些結構圖，哪些是相互關聯，可以考慮合并起來的？

生：圖①和圖②可以合并，因為三位數比兩位數多了一個百位，相當于多進行了一次乘法運算，但合起來都是得到一層積。

生：圖③和圖④也可以合并，都是兩次多位數乘一位數，得到兩層積。

生：我覺得圖①和圖③也有聯系。在計算兩位數乘兩位數時，相當于進行了兩次兩位數乘一位數的運算，得到兩層積。

生：是的，圖②和圖④也可以合并，它們的道理一樣。

2.突出層積的意義。

師：在多位數乘兩位數的計算中，兩次多位數乘一位數的計算，積表示的意思一樣嗎？

（從位值制的角度來看，結構圖中第一層積表示多少個一，第二層積表示多少個十）

3.小結。

師：我們已經將四合為一了！所學過的筆算乘法是互相關聯的，可以整合成一個結構圖。

（利用課件動態演示合并過程，形成圖6）

將具體豎式抽象為結構圖的形式，促使探究活動由特殊實例到一般規律，從而實現了思維水平的進階。教師借助“合并結構圖”的教學活動，指引學生將既有的計算經驗遷移到結構模型之中，啟迪他們以局部視角進行審視，洞察整體中的各個組成部分。這一過程可視為對乘法結構圖的一種“創新”解讀，它打破了學生的思維定式，引導學生對豎式的關注從整體層面深入到局部細節。此舉不僅深化了學生對結構圖的理解程度，同時也為結構圖的進一步拓展及運用結構圖解決問題積累了數學活動經驗，對學生的數學思維發展具有積極意義。

（三）逆向運用，發展推理意識

算理是算法的理論依據，為算法的實施提供了必要的思維支撐。傳統的機械性練習不利于學生深入理解算理，也不利于實現算法多樣化。因此，計算教學中的練習設計，應著重培養學生的運算能力和推理意識。設計逆向練習，引導學生進行推理訓練，是達成這一目標的有效策略之一。

【教學片段4】

1.教師出示學習任務（如圖7）。

2.學生獨立思考后交流反饋。

生：我是先用2075除以25，算出第一個因數是83，再進行計算。

生：我是通過415除以5算出第一個因數是83。

生：我有一個更簡單的方法，根據第一個豎式的結構圖，我們可以知道第一個因數乘個位上的5，算出有415個一，再乘十位上的2，算出有166個十。現在，如果交換2和5的位置，即2在個位上，那么乘得的積166表示166個一，與個位對齊，5在十位上，乘得的積415表示415個十，十位對齊。因此，只需交換兩層積的位置就可以了。

（學生作品如圖8）

生：對啊，這樣就變得簡單多了！

（其余學生恍然大悟）

師：利用每層積的意義可以快速地解決這個問題，為你們的智慧點贊！

明確筆算乘法的算理，有助于學生深刻理解乘法豎式的每一層含義，并為優化解決問題的策略、實現算法多樣化奠定堅實基礎。在此環節，教師設計了依據結構圖進行推算的活動，采用開放的問題情境以激發學生的思維能力。通過多樣化的作品交流與討論，進一步引導學生深入理解筆算乘法的算理和算法。每一種解題方法都需要運用推理技巧，都能夠促使學生的推理意識得到不同程度的提升，有效實現運算方法的進階，進而發展其推理意識。

參考文獻：

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（1.浙江省杭州市江心島小學

2.浙江省杭州市拱墅區教育研究院）