構建單元整體 凸顯運算一致

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）提出，“數與運算”領域要幫助學生感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識。回顧“數與運算”領域，有的運算之間具有運算的一致性，如整數和小數的加減法，但有的運算之間看起來就像獨立的個體，學生感受不到它們的聯系，如分數除法與整數、小數的除法。那么，如何打破這些看似孤立的運算之間的壁壘，架構一致性的通道呢？對此，筆者就分數除法與整數、小數除法的一致性展開了探究，力求構建完整的數學知識網絡，以提升學生的數學素養。

一、剖析核心概念，尋找運算一致性的源頭

計數單位是數的核心概念。在數與運算中，加法運算即相同計數單位上的數量相加，減法運算是加法運算的逆運算，即相同計數單位上的數量相減。在進行加減法計算時，它們的計數單位保持不變。乘法運算可以看作加法運算的簡便算法，乘法運算的一致性體現為，計數單位與計數單位相乘為積的計數單位，計數單位上的數量與計數單位上的數量相乘為積的計數單位的數量。而除法運算是乘法運算的逆運算，計算規則是先將計數單位統一，再將計數單位上的數量相除。可見，數與運算領域的核心概念也是計數單位，其本質是計數單位之間的計算。筆者認為，教師在教授分數除法時可以從分數的計數單位出發，體現除法運算的一致性。

二、基于教材和學生認知，探究分數除法的算法一致性

在教授分數除法的教學內容時，教師需要關注教材的呈現方式和學生的認知發展水平，以學生的眼光看待教材內容的呈現形式，并探索能體現分數除法運算一致性的方式，幫助學生構建完整的知識體系。

（一）解讀分數除法運算在教材中的編排

分數除法是小學階段“數與運算”領域的最后一部分內容。在教材中，分數除法單元一般細分為三個課時，即分數除以整數、整數除以分數和分數除以分數。每種類型都是教師先通過數形結合的形式直觀解釋算式意義，再讓學生從觀察比較中歸納得出計算方法。

（二）分析整數、小數、分數除法在教材中的算理

整數除法是整數乘法的逆運算，計算的過程是整數乘法和減法的綜合運用。小數除法是利用轉化的思想，通過“商不變的規律”，將小數除法轉換為除數是整數的除法進行計算。分數除法是通過“顛倒相乘”轉化為分數乘法來計算。關于分數除法，教材中呈現了兩種思考方法：一種是平均分，利用計數單位說理；另一種是包含除，根據分數乘法的意義進行思考。兩者都無法解釋分數除法的算理。從教材上看，分數除法和整數、小數除法之間似乎有一條不可逾越的鴻溝，無法體現運算一致性的基本思想。

（三）審視分數除法的認知起點

分數除法教學是在學生已經掌握整數、小數的四則運算及分數的加、減、乘法的計算方法，形成一定的數感和運算能力的基礎上開展的。基于學生已有的知識基礎和生活經驗，聯系《九章算術》中關于分數除法“有分者，通之”的記載，即經分術，教師可以用通分的方法在分數除法和整數、小數除法之間架起一座橋梁，實現除法運算的一致性。例如，整數除法：80÷20=（8×10）÷（2×10）=8÷2。小數除法：8÷0.2=（80×0.1）÷（2×0.1）=80÷2。分數除法：÷=（8×）÷（6×）=8÷6。從三類除法中可以看出，除法運算的一致性可以體現在計數單位統一后，計數單位上的數量相除。

三、開展單元整體教學，體會除法運算的一致性

新課標提出：“改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯。”基于單元整體和運算一致性的考慮，筆者將分數除法的三個部分（分數除以整數、整數除以分數、分數除以分數）整合起來，打破教材的原有結構，嘗試重組教學，具體過程如下。

（一）學習任務一：學習同分母分數除法，初步感知除法運算的一致性

筆者先帶領學生學習同分母分數除法，讓學生初步感知除法運算的一致性。在具體教學中，筆者創設以下問題情境：“量杯里有升果汁，玻璃杯的容量是升，量杯里的果汁倒入玻璃杯能倒滿幾杯？”之后，筆者引導學生理解題意。學生發現可以用包含除法的意義來解釋：能倒滿幾杯，也就是求升里有多少個升。

在探索實踐中，學生發現可以運用數形結合思想，在圖形中找到計算結果；也可以將分數化成小數，但這種方法具有一定的局限性；還可以運用“算除想乘”方法，思考多少乘等于。此外，可以根據分數的意義，因為都是平均分成10份，只需要看9份里面有幾個3份。通過比較，學生發現同分母分數的分數單位是一樣的，只要分子相除就可以得到計算結果。

在計算同分母分數除法時，學生想到了多種計算方法。重新審視這些方法，筆者發現：在數形結合的方法中，學生明確了除法是將總數平均分的意義；在“算除想乘”的方法中，學生認識到除法是乘法的逆運算。這兩種方法說明數學知識不是孤立存在的，它們之間存在著密不可分的聯系。在將分數轉化成小數和整數的方法中，學生初步感受到分數除法和整數、小數除法的聯系，體會到除法運算的一致性，即計數單位統一時，計數單位的數量相除的本質屬性。

（二）學習任務二：學習異分母分數除法，深入體會除法運算的一致性

分數除法不僅有同分母分數的除法，還有異分母分數的除法。筆者讓學生寫出異分母分數相除的例子，并讓學生思考該如何計算異分母分數除法。由于已經學習了同分母分數的除法，并積累了異分母分數加減法用通分的方式解決的知識經驗，學生很快就想到了可以先通分再分子相除。例如，÷=÷=56÷15=。之后，筆者列出除法算式“÷= ”，并詢問學生：“這樣的分數除法如果還用剛才的方法先通分再計算，你覺得怎么樣？”部分學生表示計算量特別大。于是，筆者引導學生只寫出算式不計算，如÷=÷=（2×72）÷（5×71）==。

在學習異分母分數加減法時，學生有了通分計算的經驗。當遇到異分母分數除法時，他們自然會想到先通分再計算。通分的過程也就是將計數單位統一，這體現了除法運算的一致性。

（三）學習任務三：比較歸納，換角度體會除法運算的一致性

在這一部分的教學中，筆者先列出了以下三個算式，讓學生觀察和比較并說說自己的發現。算式一：÷=÷=（5×7）÷（3×8）==×

=。算式二：÷=÷=（3×3）÷（2×4）=

=×=。算式三：÷=÷=（2×72）÷（5×71）==×=。在比較中，學生發現原來不計算的算式中也隱藏著被除數和除數，從而得出分數除法的簡便計算方法：被除數除除數等于被除數乘除數的倒數。

回顧學習分數除法的過程，學生從同分母分數除法中學到了只要分子相除的計算方法，在異分母分數除法中發現了“被除數乘除數的倒數”的計算方法。在此基礎上，筆者引導學生發現還有分數除以整數和整數除以分數這兩種情況，并讓學生明白只要把整數看成分子是1的分數，就可以轉化為分數除以分數。因此，除法運算都可以統一用“被除數乘除數的倒數”的方法，這從另一個角度詮釋了除法運算的一致性。

（四）課后拓展：提升素養，深刻領悟除法運算的一致性

分數除法中還有很多值得挖掘的思維方式，但這些思維方式的難度不同，學生的能力和水平不同，如何讓學生充分理解這些思維方式是教師需要思考的一個問題。為此，筆者根據分數除法的算理與算法，精心設計了主題作業，其框架圖如圖2所示。

主題作業是對課堂教學的補充和延伸。將課堂教學與課后作業相結合，學生會更加關注分數除法的算理與算法，體會除法運算的一致性，并在實踐中靈活運用。

結語

有學者認為，數學史可以作為數學教學的指南。筆者根據《九章算術》中對分數除法的記載重新整合教材，通過聯系整數、小數除法引導學生探索出同分母分數除法的計算方法，然后引導學生將異分母分數通分轉化成同分母分數再計算，最后讓他們比較歸納出分數除法的簡便算法，體現了除法運算的一致性和算理與算法的統一性，使學生養成了用聯系的眼光看問題的思維習慣，幫助學生構建了完整的知識網絡。分數除法這一內容蘊藏著許多可以探究的方向，教師在教學時需要抓住知識間的內在聯系，推進單元整體教學設計，認清知識的本質，體會數與運算的一致性，引導學生自主構建完整的知識體系，以培養學生的創造力，提升學生的數學素養。

（作者單位：江蘇省常熟市實驗小學）